高中数学选择性必修一课件：2.2.1直线的点斜式方程

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【例题迁移1】 (变换条件)若将本例中“直线l与l1平行”改为“直 线l与l1垂直”，其他条件不变，又如何求解？
解：由斜截式方程知直线l1的斜率k1＝－2. 又因为l⊥l1，所以l的斜率k＝－k11＝12. 由题意知l2在y轴上的截距为－2， 所以l在y轴上的截距b＝－2. 由斜截式方程可得直线l的方程为y＝12x－2.
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题型1 求直线的点斜式方程
求满足下列条件的直线的点斜式方程． (1)过点P(4，－2)，倾斜角为150°； (2)过点P(20，－19)，且与x轴平行； (3)过点Q(－6,2)，且与y轴平行； (4)过P(1,3)，Q(2,5)两点． 素养点睛：考查数学抽象、数学运算的核心素养．
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直线的点斜式方程
斜率为k (点斜式)
斜率不存在
方程形式 特殊情况
y_－__y_0_＝__k_(x_－__x_0) 倾斜角为0°的直线方程为 _y_－__y_0_＝__0或__y_＝__y_0__
__x_＝__x_0__
2．过点M(－3,1)，斜率为2的直线的方程是
()
A．y＝2x＋7
B．y＝2x－7
C．y＝－2x＋7
D．y＝－2x－7
【答案】A
【解析】由直线的点斜式方程可得y－1＝2(x＋3)，即y＝2x＋7.
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直线的点斜式方程能否表示坐标平面上的所有直线呢？
【答案】提示：不能．有斜率的直线才能写成点斜式方程，凡是垂 直于x轴的直线，其方程都不能用点斜式方程表示．
故12×|b|×－3b＝6，解得b＝±6， 因为b>0，所以b＝6. 所以直线的方程为y＝3x＋6.
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错解分析：错误的根本原因是误认为b是边长或是距离，只能取正 值，混淆截距的概念，没有真正理解截距的定义实质．
正解：由题意，设直线的方程为y＝3x＋b. 令x＝0，得y＝b；令y＝0，得x＝－3b. 由于直线与两坐标轴围成的三角形的面积为6， 故12×|b|×－3b＝6，解得b＝±6. 所以直线的方程为y＝3x＋6或y＝3x－6.
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【预习自测】
1．一条直线的方程为y＝－2x－3，则该直线在y轴上的截距等于 ________．
【答案】－3 【解析】由直线的斜截式方程的形式可知直线y＝－2x－3在y轴上 的截距为－3. 2．(1)过点(2,1)，平行于y轴的直线方程为________． (2)过点(2,1)，平行于x轴的直线方程为________． 【答案】(1)x＝2 (2)y＝1 【解析】(1)过点(2,1)，平行于y轴的直线方程为x＝2. (2)过点(2,1)，平行于x轴的直线方程为y＝1.
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【例题迁移2】 (变换条件)若将本例中“且与l2在y轴上的截距相同” 改为“且与l2在y轴上的截距互为相反数”，又如何求解？
解：由斜截式方程知直线l1的斜率k1＝－2. 又因为l∥l1，所以l的斜率k＝k1＝－2. 由题意知l2在y轴上的截距为－2， 所以l在y轴上的截距b＝2.
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【预习自测】
1．思维辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)过点(x0，y0)斜率为k的直线的点斜式方程也可写成yx－ －yx00＝k.
(2)y轴所在直线的方程为y＝0.
() ()
(3)过点(1,1)的所有直线都可以用点斜式的形式表示出来． ( )
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1．已知直线l过点P(3,4)，它的倾斜角是直线y＝x＋1倾斜角的两倍，
则直线l的方程为
()
A．y－4＝2(x－3)
B．y－4＝x－3
C．y－4＝0
D．x－3＝0
【答案】D
【解析】直线y＝x＋1的倾斜角为45°，由题意得直线l的倾斜角为
90°，所以直线l的斜率不存在，其方程为x－3＝0.
1．点斜式与斜截式的关系 (1)直线的斜截式方程与一次函数解析式的区别和联系． (2) 直 线 的 斜 截 式 方 程 是 点 斜 式 方 程 的 特 殊 情 况 ， 即 过 定 点 P(0 ， b)．它们都不能表示斜率不存在的直线． (3)在直线方程的各种形式中，点斜式是最基本的形式，它是推导其 他形式的基础． (4)点斜式与斜截式是两种常见的直线方程的形式，点斜式的形式不 唯一，而斜截式的形式是唯一的．
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题型2 求直线的斜截式方程
已知直线l1的方程为y＝－2x＋3，l2的方程为y＝4x－2，直线 l与l1平行且与l2在y轴上的截距相同，求直线l的方程．
素养点睛：考查数学运算的核心素养．
解：由斜截式方程知直线l1的斜率k1＝－2. 又因为l∥l1，所以l的斜率k＝k1＝－2. 由题意知l2在y轴上的截距为－2， 所以l在y轴上的截距b＝－2. 由斜截式方程可得直线l的方程为y＝－2x－2.
1－0 3－0
＝
1 3
，AB边上的高所在直线的斜率为
－3且过点C，
所以AB边上的高所在直线的方程为y－3＝－3(x－1)．
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(2)直线BC的斜率k2＝
3－1 1－3
＝－1，BC边上的高所在直线的斜率为1
且过点A，
所以BC边上的高所在直线的点斜式方程为y＝x.
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防范措施：准确理解截距的概念 直线在y轴上的截距是直线与y轴的交点的纵坐标，可正，可负，可 为零，截距不是距离，若把截距理解为正值，则易漏解.
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第二章 直线和圆的方程
2.2 直线的方程
2.2.1 直线的点斜式方程
学习目标 1.掌握直线的点斜式方程和直线的斜截式方程 2.结合具体实例理解直线的方程和方程的直线概念及 直线在y轴上的截距的含义 3.会根据斜截式方程判断两条直线的位置关系
素养要求 数学抽象 直观想象 数学运算
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(3)由(2)知过点A与BC平行的直线的斜率为－1，其点斜式方程为y＝
－x.
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易错警示 求直线的斜截式方程
已知直线l的斜率为3，且与两坐标轴围成的三角形的面积为6， 则直线l的方程为________．
错解：由题意，设直线的方程为y＝3x＋b.
令x＝0，得y＝b；令y＝0，得x＝－3b. 由于直线与两坐标轴围成的三角形的面积为6，
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2．一条直线经过点P(－2,3)，且与过点(－4,4)和(－3,2)的直线平 行，求这条直线的方程．
解：过点(－4,4)和(－3,2)的直线的斜率为－44－－2－3＝－2， 由题意，得所求直线的斜率为－2. 又因为该直线过点(－2,3)， 所以该直线的点斜式方程为y－3＝－2(x＋2)， 即2x＋y＋1＝0.
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题型3 两直线垂直和平行的应用
已知直线l1：y＝－x＋3a与直线l2：y＝(a2－5)x＋6. (1)当a为何值时，l1∥l2? (2)当a为何值时，l1⊥l2? 素养点睛：考查直观想象、数学运算的核心素养．
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(5)直线的斜截式方程与一次函数解析式的区别和联系 ①斜截式方程中，k≠0时，y＝kx＋b即为一次函数，k＝0时，y＝ b不是一次函数． ②一次函数y＝kx＋b(k≠0)一定可以看成一条直线的斜截式方程． 2．截距的理解 (1)直线的斜截式方程是由点斜式推导而来的．直线与y轴的交点(0， b)的纵坐标b称为此直线的纵截距，值得强调的是，截距是坐标，它可 能是正数，也可能是负数，还可能是0，不能将其理解为“距离”而恒 为非负数．
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|素x＋6在y轴上有相同的截距，且l的斜率与l1 的斜率互为相反数，求直线l的方程．
解：由直线l1的方程可知它的斜率为3，在y轴上的截距为6， 所以直线l的斜率为－3，在y轴上的截距为6. 由斜截式可得直线l的方程为y＝－3x＋6.
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直线的斜截式方程
1．直线在y轴上的截距 (1)定义：直线l与y轴交点(0，b)的__纵__坐__标__b____． (2)符号：可正，可负，也可为零． 2．斜截式方程 (1)已知条件：斜率为k，在__y_轴_____上的截距为b. (2)方程形式__y_＝__k_x_＋__b___．
由斜截式方程可得直线l的方程为y＝－2x＋2.
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求直线的斜截式方程的策略 (1)直线的斜截式方程是点斜式方程的特殊形式，其适用前提是直线 的斜率存在，只要点斜式中的点在y轴上，就可以直接用斜截式表示． (2)直线的斜截式方程y＝kx＋b中只有两个参数，因此要确定直线 方程，只需知道参数k，b的值即可． (3)利用直线的斜截式求方程务必灵活，如果已知斜率k，只需引入 参数b；同理如果已知截距b，只需引入参数k.
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(2)直线与x轴的交点(a,0)的横坐标a称为此直线的横截距．并不是
每条直线都有横截距和纵截距，如直线x＝1没有纵截距，直线y＝2没有
横截距．
3．对直线l在y轴上的截距b的两点说明
(1)本质：直线l与y轴交点的纵坐标．
(2)四种情况：
①当直线l与y轴正半轴相交时，截距b>0.
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(4)过点P(1,3)，Q(2,5)的直线的斜率kPQ＝25－－13＝2. 又因为直线过点P(1,3)， 所以直线的点斜式方程为y－3＝2(x－1)．
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求直线的点斜式方程的步骤
提醒：斜率不存在时，过点P(x0，y0)的直线与x轴垂直，直线上所 有点的横坐标相等，都为x0，故直线方程为x＝x0.
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【答案】解：(1)因为直线过点P(4，－2)， 斜率k＝tan 150°＝－ 33， 由直线的点斜式方程得直线方程为y＋2＝－ 33(x－4)． (2)与x轴平行的直线，其斜率k＝0，由直线的点斜式方程可得直线 方程为y－(－19)＝0×(x－20)，即y＋19＝0. (3)此直线与y轴平行，斜率不存在，无法用点斜式方程表示， 因为过点Q(－6,2)，所以此直线的方程为x＝－6.
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(2)垂直的判定．
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4．在△ABC中，已知A(0,0)，B(3,1)，C(1,3)．
(1)求AB边上的高所在直线的方程；
(2)求BC边上的高所在直线的方程；
(3)求过点A与BC平行的直线方程．
解：(1)直线AB的斜率k1＝
解：设直线l1，l2的斜率分别为k1，k2， 则k1＝－1，k2＝a2－5. (1)当l1∥l2时，有a32a－≠56＝，－1， 解得a＝－2. (2)当l1⊥l2时，k1·k2＝－1，即a2－5＝1， 所以a2＝6，所以a＝± 6.
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两条直线平行和垂直的判定 (1)平行的判定．
②当直线l与y轴负半轴相交时，截距b<0.
③当直线l经过原点时，截距b＝0.
【答案】(1)× (2)× (3)×
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【解析】(1)点(x0，y0)不满足
y－y0 x－x0
＝k，所以
y－y0 x－x0
＝k不能表示过点
(x0，y0)斜率为k的直线．
(2)y轴所在直线方程为x＝0.
(3)过点(1,1)且斜率不存在的直线不能用点斜式的形式表示出来．