【全国市级联考】陕西省汉中市2019届高三上学期教学质量第一次检测考试数学(文)试题-含答案

高中培优联盟2018-2019学年高二上学期冬季联赛
数学（文）试题
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合{|0A x x =<<，{}|12B x x =≤<，则()R C A B =（ ）
A.{|1x x ≤≤
B.{|1x x ≤<
C.{}
2x x <
D.{}
2x x <
2.在区间[]3,4-内随机取一个实数x ，则满足22x
≥的概率为（ ） A.
27
B.
37
C.
47
D.
57
3.若,x y 满足约束条件，则z x y =+的最大值为（ ）
A.4
B.8
C.2
D.6
4.已知等比数列{}n a 满足11a =，1357a a a ++=，则357a a a ++=（ ） A.7
B.14
C.21
D.26
5.已知函数()2log ,0
10,0
x x x f x x ->⎧=⎨≤⎩，则()18lg 3f f ⎛⎫
+
⎪⎝⎭
等于（ ） A.8
B.10
C.6
D.
13
6.已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b -=>>C 的渐近线方程为（ ）
A.14y x =±
B.13y x =±
C.1
2
y x =± D.y x =±
7.函数tan 4
2y x π
π⎛⎫=-
⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则向量OA 与OB 的数量积为（ ）
A.
4
π B.5 C.2 D.6
8.命题p ：复数()12z i i =-∙对应的点在第二象限；命题q ：00x ∃>，使得00ln 2x x =-，则下列命题中为真命题的是（ ） A.p q ∧
B.()p q ∧⌝
C.()p q ⌝∧
D.()()p q ⌝∧⌝
9.我国有一道古典数学名著——两鼠穿墙：“今有垣厚十尺，两鼠对穿，初日各一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问几何日相逢？”题意是：“有两只老鼠从墙的两边打洞穿墙（连线与墙面垂直），大老鼠第一天进一尺，以后每天加倍，小老鼠第一天也进一尺，以后每天减半，那么两鼠第几天能见面.”假设墙厚16尺，如图是源于该题思想的一个程序框图，则输出的n =（ ）
A.3
B.4
C.5
D.6
10.已知函数()sin 2f x x x R =∈，则下列结论不正确的是（ ）
A.最大值为2
B.把函数2sin 2y x =的图象向右平移
3
π
个单位长度就得到()f x 的图像
C.最小正周期为π
D.单调递增区间是5k ,12
12k π
πππ⎡⎤
-
+
⎢⎥⎣
⎦
，k Z ∈ 11.已知,l m 表示两条不同的直线，,αβ表示两个不同的平面，l α⊥，m β≠
⊂，则有下面四个命题：①若
//αβ，则l m ⊥；②若αβ⊥，则//l m ；③若//l m ，则αβ⊥；④若l m ⊥，则//αβ.其中所有正
确的命题是（ ） A.①③
B.①④
C.②③
D.①②③④
12.已知定义在R 上的奇函数()f x 满足()()2f x f x +=-，当[]0,1x ∈时，()f x =
()()1
2
g x f x x =-
-在区间[]3,6-上所有零点之和为（ ） A.2
B.4
C.6
D.8
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.已知()1,2a =，()2,b m =-，若a b ⊥，则实数m =________.
14.在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，若1b =，3c =，且cos
2A =
，则a =________. 15.若直线()10,0ax by a b +=>>过圆22
2220x y x y +---=的圆心，则14a b
+的最小值为________.
16.在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为2
2
8150x y x +-+=，若直线2y kx =-上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，则实数k 的最大值是________.
三、解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生依据要求作答.
17.在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别是,,a b c )cos cos 2cos a C c A b A ∙+∙=∙. （1）求角A 的大小；
（2）已知公差为()0d d ≠的等差数列{}n a 中，1sin 1a A ∙=，且124,,a a a 成等比数列，记1
4
n n n b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和n S .
18.在中学生综合素质评价某个维度的测评中，分优秀、合格、尚待改进三个等级进行学生互评.某校高一年级有男生500人，女生400人，为了了解性别对该维度测评结果的影响，采用分层抽样方法从高一年级抽取了45名学生的测评结果，并作出频数统计表如下：
表一：男生
表二：女生
（1）求x ,y 的值；
（2）从表二的非优秀学生中随机抽取2人交谈，求所选2人中恰有1人测评等级为合格的概率； （3）由表中统计数据填写22⨯列联表，并判断是否有90%的把握认为“测评结果优秀与性别有关”.
参考公式：()()()()()
2
2
n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.
参考数据：
19.如图，在四棱锥A BCDE -中，AB AC ⊥，底面BCDE 为直角梯形，90BCD ∠=︒，,O F 分别为
,BC CD 中点，且22AB AC CD BE ====，AF =.
（1）OA ⊥平面BCDE ；
（2）若P 为线段CD 上一点，且//OP 平面ADE ，求CP
CD
的值； （3）求四棱锥A BCDE -的大小.
20.已知椭圆()222210x y a b a b +=>>的右焦点F 与抛物线2
8y x =的焦点重合，过
x 轴正半轴一点(),0m 且斜率为l 交椭圆于,A B 两点.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）是否存在实数m 使0FA FB ∙=，若存在求出实数m 的值；若不存在需说明理由. 21.已知函数()1
ln 2f x a x x x
=+
+，且曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线与直线2y x =平行. （1）求函数()f x 的单调区间； （2）若关于x 的不等式()2m
f x x x
≥+
恒成立，求实数m 的取值范围. 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.
22.[选修4-4：坐标系与参数方程]
在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为：22cos ,
2sin ,
x y αα=+⎧⎨=⎩（α为参数），以平面直角坐标系的原
点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线2C 的极坐标方程为：cos sin 2ρθρθ+=. （1）求曲线1C 的普通方程和2C 的直角坐标方程； （2）设1C 和2C 交点为,A B ，求AOB ∆的面积. 23.[选修4-5：不等式选讲]
已知函数()21f x x =-，()212
m
g x x m =++
-. （1）若0m =，解不等式()()f x g x ≤；
（2）若()()20f x g x +≥对任意x R ∈恒成立，求实数m 的取值范围.
高中2019届毕业班第一次诊断性考试
数学（文史类）参考答案
一、选择题
1-5:CBABC 6-10:CDCBB 11、12：AD
二、填空题
13.1 14.4 3
三、解答题
17.解：（1
)
sin cos sin cos2sin cos
A C A
B A
∙+∙=∙，
()2sin cos
A C
B A
+=
2sin cos
B B A
=
又B为三角形的内角，所以sin0
B≠
，于是cos A=
又A为三角形的内角，所以
6
A
π
=.
（2）因为
1
sin1
a A=，
124
,,
a a a且成等比数列，所以
1
1
2
sin
a
A
==，且2
214
a a a
=∙
所以()()
2
2223
d d
+=+，且0
d≠，解得2
d=
所以2
n
a n
=，所以
()
1
4111
11
n
n n
b
a a n n n n
+
===-
++
所以
11111111
11
22334111
n
n
S L
n n n n
⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫
=-+-+-++-=-=
⎪ ⎪ ⎪ ⎪
+++
⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
.
18.解：（1）设从高一年级男生中抽取m人，则
45
500500400
m
=
+
解得25
m=，则从女生中抽取20人
所以251555
x=--=，201532
y=--=.
（2）表二中非优秀学生共5人，记测评等级为合格的3人为,,
a b c，尚待改进的2人为,A B，则从这5
人中任选2人的所有可能结果为()()()(),,,,,,,a b a c b c A B ，()()(),,,,,a A a B b A ，()()(),,,,,b B c A c B ，共10种
记事件C 表示“从表二的非优秀学生中随机选取2人，恰有1人测评等级为合格”，则C 的结果为
()()(),,,,,a A a B b A ，()()(),,,,,b B c A c B ，共6种，所以()63105P C ==，即所求概率为3
5.
（3）22⨯列联表如下：
()2
45155151030152520K ⨯⨯-⨯=
⨯⨯⨯ 22451559 1.125 2.706301525208
⨯⨯===<⨯⨯⨯， 因为10.90.1-=，()
2
2.7060.10P K ≥=
所以没有90%的把握认为“测评结果优秀与性别有关”. 19.解：（1）证明：连结OF
2AB AC ==，O 为BC 的中点
OA BC ⊥∴，且BC =OC =
又
90BCD ∠=︒，F 是CD 中点，2CD =，
OF ∴
由已知AF =2
2
2
AF OA OF =+∴
OA OF ⊥∴，且,BC OF 是平面BCDE 内两条相交直线 OA ⊥∴平面BCDE .
（2）连接BF ，由已知底面BCDE 为直角梯形，2CD BE =，//BE CD 则四边形BFDE 为平行四边形 所以//BF DE
因为//OP 平面ADE ，OP ≠
⊂平面BCDE ，平面ADE
平面BCDE DE =，
所以//OP DE 所以//OP BF
因为O 为BC 中点，所以P 为CF 中点 所以1
2CP CF =，又因为点F 为CD 的中点. 所以
1
4
CP CD =.
（3）由（1）OA ⊥平面BCDE 得OA 为四棱锥A BCDE -的高，且OA =
又因为BCDE 是直角梯形，CD CB ⊥，22AB AC CD BE ====， 所以直角梯形BCDE
的面积为21
22
CD BE S BC ++=⨯=⨯=则四棱锥A BCDE -
的体积11
233
V S OA =∙=∙= 20.解：（1）
抛物线28y x =的焦点是()2,0
()2,0F ∴，2c =∴，又
c a =
a ∴，26a =，则2222
b a
c =-=
故椭圆的方程为22
162
x y +=
.
（2）由题意得直线l
的方程为)()0y x m m =->
由)22
162x y y x m
⎧+=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩
消去y 得22
2260x mx m -+-=. 由()
22
4860m m ∆=-->
，解得m <-.
又0m >
，0m <<∴设()11,A x y ，()22,B x y ，则12x x m +=，21262
m x x -=
.
))()2
1212121213
33m m y y x m x m x x x x ⎡⎤⎡⎤=-∙-=-++⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦∴.
()112,FA x y =-，()222,FB x y =-，
()()()()2
1212121223462243333m m m m FA FB x x y y x x x x -+∙=--+=-+++=∴ 则由0FA FB ∙=，即()2303
m m -=，
解得0m =或3m =.又0m <<
3m =∴.
即存在3m =使0FA FB ∙=.
21.解：（1）函数()f x 的定义域为{}|0x x >，()212a f x x x '=-+， 又曲线()y f x =在点()()
1,1f 处的切线与直线2y x =平行 所以()1122f a '=-+=，即1a = ()1ln 2f x x x x =++∴，()()()()2
1210x x f x x x +-'=> 由()0f x '<且0x >，得102x <<，即()f x 的单调递减区间是10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭
由()0f x '>得12x >，即()f x 的单调递增区间是1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭
. （2）由（1）知不等式()2m f x x x ≥+恒成立可化为1ln 22m x x x x x
++≥+恒成立 即ln 1m x x ≤∙+恒成立
令()ln 1g x x x =∙+ ()ln 1g x x '=+ 当10,x e ⎛
⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0g x '<，()g x 在10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭
上单调递减. 当1,x e ⎛⎫
∈+∞ ⎪⎝⎭
时，()0g x '>，()g x 在1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭
上单调递增. 所以1x e
=时，函数()g x 有最小值 由ln 1m x x ≤∙+恒成立
得11m e ≤-，即实数m 的取值范围是1,1e ⎛⎤-∞- ⎥⎝
⎦. 22.解：（1）曲线1C 的参数方程为22cos 2sin x y αα=+⎧⎨=⎩（α为参数），即22cos 2sin x y αα-=⎧⎨=⎩
平方相加得1C 的普通方程为：()2224x y -+=（或2240x y x +-=）
cos x ρθ=，sin y ρθ=
代入直线2C 的极坐标方程cos sin 2ρθρθ+= 得2C 的直角坐标方程2x y +=.
（2）由（1）知1C 是以()2,0为圆心，为2半径的圆，且直线2x y +=过圆心()2,0
4AB =∴，又由于原点到直线2x y +=的距离为
d ==
则AOB ∆的面积为11422
AB d =∙=. 23.解：（1）当0m =时()1g x x =+ 原不等式可化为211x x -≤+
两端平方得()()22
211x x -≤+化简得220x x -≤ 解得02x ≤≤
则不等式()()f x g x ≤的解集为{}|02x x ≤≤.
（2）()()2221212f x g x x x m m +=-+++- 2212120x x m m -+++-≥∴对任意x R ∈恒成立，即 221222x x m m -++≥-对任意x R ∈恒成立，即{}2min 22122m m x x -≤-++ 又因为()()212221223x x x x -++≥--+= 则223m m -≤，解得312
m -≤≤
则实数m 的取值范围为3|12m m ⎧⎫-≤≤⎨⎬⎩⎭
.。