宁夏银川市第九中学高三数学上学期第二次月考试题 文

银川九中2015-2016学年度第一学期第二次月考试卷
高三年级数学（文科）试卷
（本试卷满分150分）
（注：班级.姓名.学号.座位号一律写在装订线以外规定的地方，卷面不得出现任何标记） 一、 选择题（本大题共12小题，每小题5分） 1错误!未指定书签。

．已知集合
()
{
}lg 3A x y x ==+，{}2B x x =≥，则A B =I （ ）
A. (3,2]-
B.(3,)-+∞
C.[2,)+∞
D.[3,)-+∞ 2错误!未指定书签。

．已知命题p ：1≤∈x cos R x ，有对任意，则 A ．1≥∈⌝x cos R x p ，使：存在 B ．1≥∈⌝x cos R x p ，有：对任意 C ．1>∈⌝x cos R x p ，使：存在 D ．1>∈⌝x cos R x p ，有：对任意
3错误!未指定书签。

．已知函数
()⎩⎨⎧≤>=.0,2,0,log 3x x x x f x
则⎥
⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛91f f 的值为（ ）
A.41
B.4
C.2
D. 21
4．已知
232cos =⎪⎭⎫ ⎝⎛-ϕπ，且2πϕ<
，则tan φ＝（ ） A ．
33- B ．33
C ．3-
D ．3
5．若角α的终边在直线y ＝2x 上，则ααα
αcos 2sin cos sin 2+-的值为( )
A ．0 B. 34 C ．1 D. 5
4
6．设)(x g 是将函数x x f 2cos )(=向左平移3π
个单位得到的，则)
6(πg 等于（ ）
A.1
B.21
-
C.0
D.1-
7．已知条件:1p x >或3x <-，条件:q x a >，且q 是p 的充分不必要条件，则a 的取值范围是（ ）
（A ）1a ≥ （B ）1a ≤ （C ）3a ≥- （D ）3a ≤-
8．三个数3
.0222,3.0log ,3.0===c b a 之间的大小关系是（ ）
A.a c b <<
B.a b c <<
C.b a c <<
D.b c a <<.
9．曲线
3
24y x x =-+在点(1,3)处的切线的倾斜角为（ ） A ．30° B ．45° C ．60° D ．120° 10．下列函数中，最小正周期为π的奇函数是 （ ）
A 、y ＝sin(2x ＋2π)
B 、y ＝cos(2x ＋2π
) C 、y ＝sin2x ＋cos2x D 、y ＝sinx ＋
cosx
11．函数πsin 23y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭在区间
ππ2⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦，的简图是（ ）
12错误!未指定书签。

．设函数()log (2)
a f x x a =-+在区间(1,)+∞上恒为正值，则实数a 的
取值范围是
A ．(1,2]
B ．(1,2)
C ．(0,1)(1,2)⋃
D ．5
(1,)2
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分）
13错误!未指定书签。

．函数f(x)=sin(x+φ)-2sin φcosx 的最大值为___________
14错误!未指定书签。

．已知函数y ＝f (x )的图象在点M (1，f (1))处的切线方程是2x －3y ＋1＝0，则f (1)＋f ′(1)＝________.
15错误!未指定书签。

．若sin cos θθ+=tan 3πθ⎛
⎫+ ⎪
⎝⎭的值是 ___________. 16错误!未指定书签。

．函数f (x )＝sin ⎝
⎛⎭
⎪⎫
2x －
π3(x ∈R)的图象为C ，以下结论正确的是________．(写出所有正确结论的编号)
Ａ． Ｂ．
Ｃ．
Ｄ．
① 图象C 关于直线x ＝11π
12
对称；
② 图象C 关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，0对称； ③函数f (x )在区间⎝ ⎛⎭
⎪⎫
－
π12，5π12内是增函数； ④由y ＝sin 2x 的图象向右平移
π
3
个单位长度可以得到图象C . 三、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或求解演算步骤）
17．（本题满分12分）已知a ，b ，c 分别为△ABC 内角A ，B ，C 的对边，sin 2
B=2sinAsinC （Ⅰ）若a=b ，求cosB ；
（Ⅱ）设B=90°，且a=2，求△ABC 的面积.
18．（本题满分12分）已知函数x x x f ωωcos 3sin )(+=的最小正周期为π，（R x ∈，
0>ω是常数）
(1)求ω的值；
(2)若
56)122(=+πθf ，)2 , 0(πθ∈，求θ2sin ． 19．（本题满分12分）
已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ) (A>0，ω>0，|φ|<π
2
)在一个周期内的图象如图所示． (1)求函数的解析式；
(2)设0<x<π，且方程f(x)＝m 有两个不同的实数根，求实数m 的取值范围以及这两个根的和．
20．（本题满分12分）
已知函数f (x )＝x 3－3ax 2
＋2bx 在点x ＝1处有极小值－1 (1)求a 、b 的值；
(2)讨论函数f(x)的单调性．
21．（本题满分12分）已知函数
c bx x x x f ++-
=2
321)(。

（Ⅰ）若)(x f 在),(+∞-∞是增函数，求b 的取值范围；
（Ⅱ）若)(x f 在1=x 时取得极值，且]2,1[-∈x 时，2
)(c x f <恒成立，求c 的取值范围。

请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，解答时请写清题号.
22.（本题满分10分）选修4—1：几何证明选讲
如图，ABC ∆是直角三角形，︒=∠90ABC ， 以AB 为直径的圆O 交AC 于点E ，点D 是BC 边 的中点，连接OD 交圆O 于点M .
（1）求证：O 、B 、D 、E 四点共圆； （2）求证：AB DM AC DM DE ⋅+⋅=2
2
23．（本小题满分10分）选修4－4：极坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy 中，直线L 的参数方程为（t 为参数），在极坐标系（与直
角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴）中，圆C 的方程为
．
（Ⅰ）求圆C 的圆心到直线L 的距离；
（Ⅱ）设圆C 与直线L 交于点A 、B ．若点P 的坐标为（3，），求|PA|+|PB|．
24．（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲 已知函数()|21||23|.f x x x =++- （1）求不等式6)(≤x f 的解集；
（2）若关于x 的不等式|1|)(-<a x f 的解集非空，求实数a 的取值范围.
O
A
B
C
E
M
银川九中高三文科数学第二次月考试卷答案
二、填空题：
13．1 14．5
3 15．-2-3 16．①②③
三、解答题：
17．已知a ，b ，c 分别为△ABC 内角A ，B ，C 的对边，sin 2
B=2sinAsinC （Ⅰ）若a=b ，求cosB ；
（Ⅱ）设B=90°，且a=2，求△ABC 的面积.
解：（Ⅰ）由题设及正弦定理可得2
2b ac =，又a b =，可得2,2b c a c ==，
由余弦定理可得
2221
cos 24a c b B ac +-==
；--------------------6分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知2
2b ac =，因为B=90°，由勾股定理知2
2
2
b a
c =+， 故2
2
2a c ac +=，得a c ==
，所以△ABC 的面积为1.----------------------12分.
18．已知函数x x x f ωωcos 3sin )(+=的最小正周期为π，（R x ∈，0>ω是常数） (1)求ω的值；
(2)若
56)122(=+πθf ，)2 , 0(π
θ∈，求θ2sin ． 解析：⑴
)
3sin(2cos 3sin )(π
ωωω+
=+=x x x x f
由)(x f 的最小正周期
π
ω
π
==
2T ,得2=ω------------------------------6分
⑵由⑴知
)
32sin(2)(π
+
=x x f
56
cos 2)2sin(2]3)122(2sin[2)122(=
=+=++⨯=+θπθππθπθf ,
53cos =θ-----------8分
∵
)
2 , 0(πθ∈，∴
54
cos 1sin 2=
-=θθ--------------------------10分
2524
cos sin 22sin =
=θθθ--------------------------------------------12分
19．已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ) (A>0，ω>0，|φ|<
π
2
)在一个周期内的图象如图所示． (1)求函数的解析式； (2)设0<x<π，且方程f(x)＝m 有两个不同的实数根，求实数m 的取值范围以及这两个根的和．
解 (1)观察图象，得A ＝2，T ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫11π12－π6×43＝π.
∴ω＝
2π
T
＝2，∴f(x)＝2sin(2x ＋φ)． ∵函数经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，2， ∴2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π6＋φ＝2， 即sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π3＋φ＝1.
又∵|φ|<π2，∴φ＝π
6
， ∴函数的解析式为f(x)＝
2sin ⎝
⎛
⎭
⎪⎫
2x ＋
π6. …………… 6分 (2)∵0<x<π，∴f(x)＝m 的根的情况，相当于f(x)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6与g(x)＝m 的交点个数
情况，且0<x<π，∴在同一坐标系中画出y ＝2sin ⎝
⎛
⎭
⎪⎫
2x ＋
π6和y ＝m(m∈R)的图象．由图可知，当－2<m<1或1<m<2时，直线y ＝m 与曲线有两个不同的交点，即原方程有两个不同的实数根．
∴m 的取值范围为－2<m<1或1<m<2； …………… 9分 当－2<m<1时，此时两交点关于直线x ＝23π对称，两根和为4
3
π；
当1<m<2时，此时两交点关于直线x ＝π6对称，两根和为π
3. …………… 12分
20．已知函数f (x )＝x 3－3ax 2
＋2bx 在点x ＝1处有极小值－1. (1)求a 、b 的值；
(2)讨论函数f(x)的单调性．
解析：(1)f (1)＝1－3a ＋2b ＝－1，又f ′(x )＝3x 2
－6ax ＋2b ，
∴f ′(1)＝3－6a ＋2b ＝0，∴a ＝13，b ＝－1
2
.
(2)f (x )＝x 3
－x 2
－x ，∴f ′(x )＝3x 2
－2x －1＝(3x ＋1)(x －1)． 当x <－13或x >1时，f ′(x )>0；当－1
3
<x <1时，f ′(x )<0.
∴f (x )的单调增区间为(－∞，－13)和(1，＋∞)，单调减区间为(－1
3
，1)．
21．已知函数
c bx x x x f ++-
=2
321)(。

（Ⅰ）若)(x f 在),(+∞-∞是增函数，求b 的取值范围；
（Ⅱ）若)(x f 在1=x 时取得极值，且]2,1[-∈x 时，2
)(c x f <恒成立，求c 的取值范围。

解；（1），∵
在是增函数， ∴
恒成立，∴
，解得
．
∵时，只有
时，，∴b 的取值范围为．……4分
（2）由题意，
是方程
的一个根，设另一根为
，
则 ∴ ∴，…………………………………6分
x
1
2 ＋ 0 －
0 ＋
递增
极大
值
递减
极小
值
递增
∴当时，的最大值为
，………………………………………9分 ∵对
时，
恒成立，∴
，解得
或
，
故c 的取值范围为 (12)
分
22.（本题满分10分）选修4—1：几何证明选讲
如图，ABC ∆是直角三角形，︒=∠90ABC ，
O
A
E
M
以AB 为直径的圆O 交AC 于点E ，点D 是BC 边 的中点，连接OD 交圆O 于点M .
（1）求证：O 、B 、D 、E 四点共圆； （2）求证：AB DM AC DM DE ⋅+⋅=2
2 证明：（1）连接BE 、OE ，则EC BE ⊥
又D 是BC 的中点，所以BD DE = 又OB OE =，OD OD = 所以ODB ODE ∆≅∆ 所以︒=∠=∠90OBD OED 所以O 、B 、D 、E 四点共圆 。

5分 （2）延长DO 交圆O 于点H .
因为)(2
OH DO DM DH DM DE +⋅=⋅=OH DM DO DM ⋅+⋅=.。

7分
所以)21()21(2AB DM AC DM DE ⋅+⋅=所以AB DM AC DM DE ⋅+⋅=2
2。

10分
23． （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy 中，直线L 的参数方程为（t 为参数），在极坐标系（与直
角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴）中，圆C 的方程为
．
（Ⅰ）求圆C 的圆心到直线L 的距离；
（Ⅱ）设圆C 与直线L 交于点A 、B ．若点P 的坐标为（3，），求|PA|+|PB|．
（Ⅰ）由
，可得
，即圆C 的方程为
．由
可得直线l 的方程为
．
所以，圆C 的圆心到直线l 的距离为． 5分
（Ⅱ）将l的参数方程代入圆C的直角坐标方程，得，即．由于△=．故可设t1、t2是上述方程的两个实根，所以，又直线l过点，
故由上式及t的几何意义得． 10分
24．已知函数
()|21||23|.
f x x x
=++-
（1）求不等式
6
)
(≤
x
f的解集；
（2）若关于x的不等式
|1
|
)
(-
<a
x
f的解集非空，求实数a的取值范围.。