江苏省宿豫中学2018-2019学年高二上学期椭圆检测试题

江苏省宿豫中学2018-2019学年高二上学期椭圆检测试题 一.填空题（每题5分，共70分）
1．椭圆2
2
1x my +=的焦点在y 轴上，长轴长是短轴长的两倍，则m 的值为 .
2．若方程
22
153
x y k k +=--表示椭圆，则k 的取值范围是 . 3．若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是 . 4．椭圆的两个焦点是1F (－1,0)，2F (1,0)，P 为椭圆上一点，且12F F 是1PF 与2PF 的等差中项，则该椭圆方程是 .
5．设M (－5,0)，N (5,0)，MNP ∆的周长是36，则M NP ∆的顶点P 轨迹方程为 . 6．已知12F F 、是椭圆的两个焦点，满足120MF MF ?的点M 总在椭圆内部，则椭圆离心
率的取值范围是 .
7．过椭圆22
154
x y +=的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A B 、两点，O 为坐标原点，则OAB ∆的面积为 .
8．已知椭圆的短半轴长为1，离心率e 满足0e <?
，则长轴最大值是 . 9．直线1+=x y 被椭圆422
2
=+y x 截得的弦的中点坐标 .
10. 椭圆
19
252
2=+y x 的两焦点为21F F ，，椭圆上一点P 到左焦点1F 的距离为3，Q 为1PF 的中点，则=OQ .
11. 椭圆
116
252
2=+y x 上任意经过原点的弦的两个端点与椭圆上的任一点（除这两点外）连线
斜率之积为 .
12. 若椭圆)0(12222>>=+b a b y a x ，过点），（2
1,1作圆12
2=+y x 的切线，切点分别为A 、B ，
直线AB 恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆的方程为 .
13.在平面直角坐标系xoy 中，以椭圆)0(122
22>>=+b a b
y a x 上的一点A 为圆心的圆与x 轴
相切于椭圆的一个焦点，与y 轴相交于B C 、两点，若ABC ∆是锐角三角形，则该椭圆的离心率的取值范围是 .
14.已知动直线l 与椭圆22
:132x y C +
=交于1122(,)(,)P x y Q x y ，两不同点，且OPQ ∆的面积
OPQ S ∆=
其中O 为坐标原点.则22
12x x += . 二解答题（15-17题每题14分，18-20题每题16分，共90分）
15. 已知圆36)2(2
2
=++y x 的圆心为M ，设A 为圆上任一点，N (2,0)，线段AN 的垂直平分线交AM 于点P ，求动点P 的轨迹方程
16．已知椭圆C 1：x 2
4＋y 2
＝1，椭圆C 2以C 1的长轴为短轴，且与C 1有相同的离心率．
(1)求椭圆C 2的方程；
(2)设O 为坐标原点，点A ，B 分别在椭圆C 1和C 2上，OB →＝2OA →
，求直线AB 方程．
17.椭圆x 29＋y 2
4＝1的焦点为F 1，F 2，点P 为其上的动点，当∠F 1PF 2为钝角时，求点P 的横坐标
的取值范围．
18. 已知椭圆14
22=+y x G ：，过点(),0m 作22
1x y +=的切线l 交椭圆G 于,A B 两点
求||AB 的最大值．
19.已知椭圆C ：)0(122
22>>=+b a b
y a x 的离心率为23，且过点A (2,1)．若P ，Q 是椭圆C
上的两个动点，且使∠PAQ 的角平分线总垂直于x 轴. （1）求椭圆C 的方程
（2）试判断直线PQ 的斜率是否为定值？若是，求出该值；若不是，请说明理由．
20.在平面直角坐标系xoy 中，已知椭圆C ：22
221(0)x y a b a b
+=>>的离心率e =
圆C 上的点到(02)Q ，的距离的最大值为3. （1）求椭圆C 的方程；
（2）在椭圆C 上，是否存在点(,)M m n 使得直线:1l mx ny +=与圆22
:1O x y +=相交于不同的两点A B 、，且AOB ∆的面积最大？若存在，求出点M 的坐标及相对应的C 的面积；若不存在，请说明理由。

江苏省宿豫中学2018-2019学年高二上学期椭圆检测试题
参考答案
一.填空题（每题5分，共70分）
1. 14
2. (3,4)∪(4,5)
3. 3
5
4. x 24＋y 23＝1
5. x 2169＋y 2144＝1(y ≠0)
6. ⎝
⎛
⎭⎪⎫
0，
22 7. 53 8. 4 9.
），（3132- 10. 2
7 11. 25
16- 12. 14522=+y x 13. ⎝ ⎛⎭⎪⎫6－2
2，5－12 14.3
二解答题（15-17题每题14分，18-20题每题16分，共90分） 15. 解：点P 在线段AN 的垂直平分线上，
所以||||PN PA =， 又AM 是圆的半径，
所以||46||||||||||MN AM PA PM PN PM =>==+=+
由椭圆定义知，P 的轨迹是以M 、N 为焦点的椭圆,其方程为15
92
2=+y x ．
16. 解：（1）由已知可设椭圆C 2的方程为y 2a 2＋x 2
4
＝1(a >2)，
其离心率为32，故a 2
－4a ＝3
2，则a ＝4，
故椭圆C 2的方程为y 216＋x 2
4
＝1.
（2）A ，B 两点的坐标分别记为(x A ，y A )，(x B ，y B )，由OB →＝2OA →
及(1)知，O ，A ，B 三点共线且点A ，B 不在y 轴上，因此可设直线AB 的方程为y ＝kx . 将y ＝kx 代入x 2
4＋y 2＝1中，得(1＋4k 2)x 2
＝4，
所以x 2
A ＝41＋4k
2，
将y ＝kx 代入y 216＋x 2
4＝1中，得(4＋k 2)x 2
＝16，
所以x 2
B ＝164＋k
2，
又由OB →＝2OA →，得x 2B ＝4x 2
A ，即164＋k 2＝161＋4k 2，
解得k ＝±1，故直线AB 的方程为y ＝x 或y ＝－x .
17. 解：设点P 的坐标为(x ，y )，F 1(－5，0)，F 2(5，0)， 在三角形PF 1F 2中， 由余弦定理得：
cos ∠F 1PF 2＝PF 21＋PF 22－F 1F 22
2PF 1·PF 2
，
因为PF 1＋PF 2＝6，F 1F 2＝25，
故cos ∠F 1PF 2＝36－2PF 1·PF 2－202PF 1·PF 2＝162PF 1·PF 2－1≥162⎝ ⎛⎭⎪⎫PF 1＋PF 222
－1＝－1
9，
当且仅当PF 1＝PF 2时取等号，即－1
9≤cos ∠F 1PF 2≤1.
所以当－1
9≤cos ∠F 1PF 2<0时，∠F 1PF 2为钝角．
令PF 1→·PF 2→＝0，因为PF 1→
＝(－5－x ，－y )，
PF 2→
＝(5－x ，－y )，则x 2－5＋y 2＝0， y 2＝－x 2＋5，代入椭圆方程得： x 2＝95
，x ＝±
35
5
， 所以点P 的横坐标的取值范围是－355<x <35
5.
18解：由题意得：点(),0m 在圆2
2
1x y +=上或在圆外
所以11-≤≥m m 或 当1=m 时，切线1:=x l
由⎪⎩⎪⎨⎧=+=141
2
2
y x x 得⎪⎩
⎪⎨⎧±==231y x ，故3||=AB 同理1-=m 时，3||=
AB
当11-<>m m 或时，设)(:m x k y l -=，),(),,(2211y x B y x A
因为直线l 与圆22
1x y +=相切
所以
11||2
=+k km ，即2221k m k +=
由⎪⎩⎪⎨⎧=+-=14)(2
2y x m x k y 得
0448)412
2222=-+-+m k mx k x k （ 所以⎪⎩
⎪⎨⎧+-=+=
+>-+-=∆22221222122224414
4,4180)1)(41(1664k m k x x k m k x x m k k m k 所以]4))[(1(||212212x x x x k AB -++=
2
|
|3
||343|
|3441)44(44164)[122
222242
≤+
=
+=
+--
++=m m m m k m k k m k k （
当且仅当3±=m 时取等号 综上可知：||AB 的最大值为2.
19. 解：（1）因为椭圆C 的离心率为
2
3
，且过点A(2,1)， 所以⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+===+2222223114c b a a c b a ，解得⎪⎩⎪⎨⎧==28
22
b a
所以椭圆C 的方程为12
82
2=+y x （2）因为∠PAQ 的角平分线总垂直于x 轴，
所以PA 与AQ 所在的直线关于直线x ＝2对称． 设直线PA 的斜率为k ，则直线AQ 的斜率为－k. 所以直线PA 的方程为y －1＝k(x －2)， 直线AQ 的方程为y －1＝－k(x －2)．
设点),(),,(2211y x Q y x P ，由⎪⎩⎪
⎨⎧=+-=-128
)2(12
2y x x k y 得
041616)816()412
2
2
2
=--+--+k k x k k x k （① 因为点A(2,1)在椭圆C 上，所以x ＝2是方程①的一个根，
则22141416162k k k x +--=，所以2
21412
88k k k x +--= 同理2
22412
88k k k x +-+=
所以2
221221414
16,4116k k x x k k x x +-=++-=-
又2
2121418)4(k
k
x x k y y +-=-+=-， 所以直线PQ 的斜率2
1
2121=--=
x x y y k PQ ，
所以直线PQ 的斜率为定值，该值为
2
1. 20. 解：（1
）∵c e a =
==
，∴可设,(0)a c k ==
> 。

∴b k =
，故椭圆C 的方程为22
2213x y b b
+=。

设(,)
()P x y b y
b -＃为椭圆上的任一点，则22233x b y =-。

∵2
2
2
2
2
2
2
2
||(2)24432(1)3636PQ x y y y b y b b
=+-=--++=-+++?，
∴当1y =-时，2
||PQ 取得最大值2
36b +，即||PQ。

又∵椭圆C 上的点到Q （0，2）的距离的最大值为3，
，解得1b =。

∴所求的椭圆C 方程为2
213
x y +=。

（2）假设点M （m ，n ）存在，则2
213
m n += ， 即2233m n += 圆心O 到直线l
的距离1d =
<。

∴221m n +>。

∵1
||2AB =
∴1
||2
OAB S AB d ==
=
1
112
==?
=
2
2
2m n +=时取等号）。

解2222332m n m n ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩得223212m n ìïï=ïïíïï=ïïïî
，即m n ìïï=ïïïíïïï=ïïî
或m n ìïï=ïïïíï-ïï=ïïî
或m n ìïï=ïïïíï=î-ïïïï
或m n ìïï=ïïïíï=-î
-ïïïï。

∴所求点M
的坐标为(()2222
----、、， 对应的△OAB 的面积为
12。