北师大版高中数学选修汽车行驶的路程教案

第二课时 汽车行驶的路程
一：教学目标
1、知识与技能目标：了解求曲边梯形面积的过程和解决有关汽车行驶路程问题的过程的共同点；感受在其过程中渗透的思想方法：分割、以不变代变、求和、取极限（逼近）。

2、过程与方法：通过与求曲边梯形的面积进行类比，求汽车行驶的路程有关问题，再一次体会“以直代曲“的思想。

3、情感态度与价值观：在体会微积分思想的过程中，体会人类智慧的力量，培养世界是可知的等唯物主义的世界观。

二：教学重难点
重点：掌握过程步骤：分割、以不变代变、求和、逼近（取极限）难点：过程的理解 三：教学方法：探析归纳，讲练结合 四、教学过程 （一）、创设情景
复习：1．连续函数的概念；2．求曲边梯形面积的基本思想和步骤；
利用导数我们解决了“已知物体运动路程与时间的关系，求物体运动速度”的问题．反之，如果已知物体的速度与时间的关系，如何求其在一定时间内经过的路程呢？ （二）、新课探析
问题：汽车以速度v 组匀速直线运动时，经过时间t 所行驶的路程为S vt =．如果汽车作变速直线运动，在时刻t 的速度为()2
2v t t =-+（单位：km/h ），那么它在0≤t ≤1(单位：h)这
段时间内行驶的路程S （单位：km ）是多少？
分析：与求曲边梯形面积类似，采取“以不变代变”的方法，把求匀变速直线运动的路程问题，化归为匀速直线运动的路程问题．把区间[]0,1分成n 个小区间，在每个小区间上，由于
()v t 的变化很小，可以近似的看作汽车作于速直线运动，从而求得汽车在每个小区间上行驶
路程的近似值，在求和得S （单位：km ）的近似值，最后让n 趋紧于无穷大就得到S （单位：km ）的精确值．（思想：用化归为各个小区间上匀速直线运动路程和无限逼近的思想方法求出匀变速直线运动的路程）． 解：（1）．分割
在时间区间[]0,1上等间隔地插入1n -个点，将区间[]0,1等分成n 个小区间：
10,
n ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，12,n n ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，…，1,1n n -⎡⎤
⎢⎥⎣⎦ 记第i 个区间为1,(1,2,,)i i i n n n -⎡⎤
=⎢
⎥⎣
⎦，其长度为
11i i t n n n
-∆=
-= 把汽车在时间段10,
n ⎡⎤⎢⎥⎣
⎦，12,n n ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，…，1,1n n -⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上行驶的路程分别记作： 1S ∆，2S ∆，…，n S ∆ 显然，1
n
i
i S S ==
∆∑
（2）近似代替
当n 很大，即t ∆很小时，在区间1,i i n n -⎡⎤
⎢
⎥⎣⎦
上，可以认为函数()22v t t =-+的值变化很小，近似的等于一个常数，不妨认为它近似的等于左端点
1
i n
-处的函数值2
112i i v n n --⎛⎫⎛⎫
=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，从物理意义上看，即使汽车在时间段1,(1,2,,)i i i n n n -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦上
的速度变化很小，不妨认为它近似地以时刻1i n -处的速度2
112i i v n n --⎛⎫⎛⎫
=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
作匀速直线运动，即在局部小范围内“以匀速代变速”，于是的用小矩形的面积i S '∆近似的代替i S ∆，即在局部范围内“以直代取”，则有
21112i i i i S S v t n n n ⎡⎤--⎛⎫⎛⎫'∆≈∆=∆=-+⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦
2
112(1,2,,)i i n n n n -⎛
⎫=-+= ⎪⎝⎭ ①
（3）求和
由①，21111112n
n
n n i i i i i i S S v t n n n n ===⎡⎤--⎛⎫⎛
⎫'=∆=∆=-+⎢⎥ ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭⎢⎥
⎣⎦∑∑∑ =2
2
111
1102n n n n
n n
-⎛⎫⎛⎫---
-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=()2
22311212n n ⎡⎤-+++-+⎣⎦
=()()3
121126
n n n n ---
+=11111232n n ⎛⎫⎛⎫
---+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭
从而得到S 的近似值 11111232n S S n n ⎛⎫⎛⎫
≈=---+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭
（4）取极限
当n 趋向于无穷大时，即t ∆趋向于0时，11111232n S n n ⎛⎫⎛⎫
=---+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭
趋向于S ，从而有
1
111115lim lim lim 112323
n
n n n n i i S S v n
n n n →∞
→∞
→∞=-⎡⎤⎛⎫
⎛⎫⎛⎫===---+= ⎪ ⎪⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦∑
思考：结合求曲边梯形面积的过程，你认为汽车行驶的路程S 与由直线0,1,0t t v ===和曲线22v t =-+所围成的曲边梯形的面积有什么关系？
结合上述求解过程可知，汽车行驶的路程lim n n S S →∞
=在数据上等于由直线0,1,0t t v ===和
曲线22v t =-+所围成的曲边梯形的面积．
一般地，如果物体做变速直线运动，速度函数为()v v t =，那么我们也可以采用分割、近似代替、求和、取极限的方法，利用“以不变代变”的方法及无限逼近的思想，求出它在a ≤t ≤b 内所作的位移S ．
例、弹簧在拉伸的过程中，力与伸长量成正比，即力()F x kx =（k 为常数，x 是伸长量），求弹簧从平衡位置拉长b 所作的功．
分析：利用“以不变代变”的思想，采用分割、近似代替、求和、取极限的方法求解． 解： 将物体用常力F 沿力的方向移动距离x ，则所作的功为W F x =⋅．
1．分割
在区间[]0,b 上等间隔地插入1n -个点，将区间[]0,1等分成n 个小区间： 0,
b n ⎡
⎤⎢⎥⎣
⎦，2,b b n n ⎡⎤
⎢⎥⎣⎦，…，()1,n b b n -⎡⎤⎢⎥⎣⎦
记第i 个区间为()1,(1,2,,)i b i b i n n n -⎡⎤
⋅=⎢⎥⎣⎦
，其长度为 ()1i b i b b
x n n n
-⋅∆=-= 把在分段0,
b n ⎡
⎤⎢⎥⎣
⎦，2,b b n n ⎡⎤
⎢⎥⎣⎦，…，()1,n b b n -⎡⎤⎢⎥⎣⎦
上所作的功分别记作：1W ∆，2W ∆，…，n W ∆
（2）近似代替 有条件知：()()11i i b i b b W F x k n n n --⎛⎫∆=⋅∆=⋅⋅ ⎪⎝⎭
(1,2,
,)i n =
（3）求和
()1
1
1n n
n i i i i b b W W k n
n
==-=∆=⋅⋅
∑∑
=()()2
2222
110121122n n kb kb kb n n
n n -⎛⎫
++++-==-⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭
从而得到W 的近似值 2112n kb W W n ⎛⎫
≈=- ⎪⎝⎭
（4）取极限22
1
1lim lim lim 122n
n i n n n i kb kb W W W n →∞→∞→∞=⎛⎫==∆=-= ⎪⎝⎭∑ 所以得到弹簧从平衡位置拉长b 所作的功为：2
2
kb
（四）、课堂小结：求汽车行驶的路程有关问题的过程。

（五）作业：课本P80A 组2、3 五、教学后记。