八年级初二数学第二学期二次根式单元质量专项训练试题

一、选择题
1．下列计算正确的是（ ）
A 5
B ＝2y C
a
=
D =
2．a 的值可能是（ ） A ．2-
B ．2
C ．
32
D ．8
3．若01x <<=( ). A ．
2
x
B ．2x
-
C ．2x -
D ．2x
4．下列计算结果正确的是（ ）
A B ．3=
C =D
=
5．已知44
220,24,180x y x y >+=++=、.则xy=（ ）
A ．8
B ．9
C ．10
D ．11
6．以下运算错误的是（ ）
A =
B ．2= C
D 2=a ＞0）
7．2的结果是（ ） A ．±3
B ．﹣3
C ．3
D ．9
8．下列各组二次根式中，能合并的一组是（ ）
A B 和
C D
9．的值应在（ ） A ．1和2之间
B ．3和4之间
C ．4和5之间
D ．5和6之间
10．在实数范围内有意义，则x 的取值范围是（ ） A ．x ＞0
B ．x ＞3
C ．x ≥3
D ．x ≤3
二、填空题
11．能力拓展：
1A =
2A =；3:A =；
4:54A -=________．
…n A ：________．
()1请观察1A ，2A ，3A 的规律，按照规律完成填空． ()2比较大小1A 和2A
∵32+________21+
∴
32+________21
+ ∴32-________21-
()3同理，我们可以比较出以下代数式的大小：
43-________32-；
76-________54-；1n n +-________1n n --
12．实数a 、b 满足22a -4a 436-12a a 10-b 4-b-2+++=+，则22a b +的最大值为_________． 13．已知3x x
+
=，且01x <<，则2691x x x =+-______．
14．已知实数a 、b 、c 在数轴上的位置如图所示，化简2a ﹣|a ﹣c |+2()c b -﹣|﹣b |＝_______．
15．已知|a ﹣20072008a -=a ，则a ﹣20072的值是_____． 16．已知a ，b 是正整数，若有序数对（a ，b ）使得11
)a b
的值也是整数，则称（a ，b ）是11)a b 的一个“理想数对”，如（1，4）使得11
2(a b =3，所以（1，4）是11)a b 的一个“理想数对”．请写出11)a b
其他所有的“理想数对”： __________． 17．已知整数x ，y 满足20172019
y x x =
+--，则y =__________．
18．如果332y x x --，那么y x =_______________________． 19．化简(32)(322)+-的结果为_________. 20．4x -x 的取值范围是_____
三、解答题
21．观察下列等式：
1
==；
==
== 回答下列问题：
（1
（2）计算：
【答案】（1（2）9 【分析】
（1）根据已知的31
=-n=22代入即可
求解；（2）先利用上题的规律将每一个分数化为两个二次根式的差的形式，再计算即可． 【详解】
解：（1
=
（2+
99+
=1100++-
=1 =10-1 =9.
22．-
10 【分析】
先根据二次根式的性质和平方差公式化简，然后再进行计算即可 【详解】
=(2
2
⎡⎤--⎢⎥⎣⎦
=()212--
10+．
10． 【点睛】
本题主要考查了二次根式的性质、平方差公式，灵活运用二次根式的性质化简是解答本题的关键．
23．先化简，再求值：222
2212⎛⎫----÷ ⎪-+⎝⎭x y x y x x x xy y
，其中x y =
=． 【答案】原式x y
x
-=-
，把x y ==
代入得，原式1=-. 【详解】
试题分析：先将括号里面进行通分，再将能分解因式的分解因式，约分化简即可． 试题解析：
222
2212⎛⎫----÷ ⎪-+⎝⎭
x y x y x x x xy y ()()()2
22=x y x y x x x x x x y x y -⎛⎫---⋅ ⎪+-⎝⎭
=
y x x y x x y ---⋅+ x y
x
-=-
把x y =
=代入得：
原式1==-+考点：分式的化简求值．
24．先化简，再求值：
24224x x x x x x ⎛⎫÷- ⎪---⎝⎭
，其中2x =． 【答案】2
2
x x +-
，1 【分析】
先把分式化简，然后将x 、y 的值代入化简后的式子求值即可． 【详解】 原式(2)(2)22(2)2
x x x x x x x x +-+=
⋅=---，
==.
当2
x=时，原式1
【点睛】
本题考查了分式的化简求值这一知识点，把分式化到最简是解题的关键．
25．观察下列各式．
====……
根据上述规律回答下列问题．
（1）接着完成第⑤个等式： _____；
n n≥的式子写出你发现的规律；
（2）请用含(1)
（3）证明（2）中的结论．
=+3）见解析【答案】（1=2(n
【分析】
（1）当n=5=
=+
（2(n
（3）直接根据二次根式的化简即可证明．
【详解】
解：（1=
=+
（2(n
（3=(n
==+
【点睛】
此题主要考查探索数与式的规律，熟练发现规律是解题关键．
26．(1)已知a2+b2=6，ab=1，求a﹣b的值；
b=，求a2+b2的值．
(2)已知
【答案】（1）±2；（2）2．
【分析】
（1）先根据完全平方公式进行变形，再代入求出即可；
（2）先分母有理化，再根据完全平方公式和平方差公式即可求解．
【详解】
（1）由a 2+b 2=6，ab=1，得a 2+b 2-2ab=4， （a-b ）2=4， a-b=±2． （2
）a =
==
b =
==
2
222()22312a b a b ab +=+-=-=-=⎝⎭
【点睛】
本题考查了分母有理化、完全平方公式的应用，能灵活运用公式进行变形是解此题的关键．
27．计算 （1
）
)(
1
21
12
3-⎛⨯-- ⎝⎭
（2
）已知：
1
1,2
2
x y =
=
，求22x xy y ++的值．
【答案】（1）28-；（2）17． 【分析】
（1）先利用完全平方公式和平方差公式计算二次根式的乘法、负指数幂运算，再计算二次根式的加减法即可得；
（2）先求出x y +和xy 的值，再利用完全平方公式进行化简求值即可得． 【详解】
（1
）原式(
)(
(
2
2
1312
⎡
⎤=⨯+--⎢⎥⎣⎦，
((
)1
475452
=⨯+---
230=+
28=-；
（2
）
(
1119,
2
2
x y
==
，
11
2
2
x y
∴+=+
=，
()111
191122
24
xy =
⨯
=⨯-=，
则()2
22x xy y x y xy ++=+-，
2
2=
-，
192=-， 17=． 【点睛】
本题考查了二次根式的混合运算、完全平方公式和平方差公式等知识点，熟练掌握二次根式的运算法则是解题关键．
28．先阅读下面的解题过程，然后再解答.
a ，
b ，使a b m +=，ab n =，即22m +==
0)a b ==±>.
这里7m =，12n =， 由于437+=，4312⨯=，
所以22+==，
2===.
. 【答案】见解析 【分析】
应先找到哪两个数的和为13，积为42．再判断是选择加法，还是减法． 【详解】
根据题意，可知13m =，42n =， 由于7613+=，7642⨯=，
所以2213+=，=
===
【点睛】
此题考查二次根式的性质与化简，解题关键在于求得13m =，42n =.
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一、选择题
1．C
解析：C
【分析】
根据二次根式的性质对A、B进行判断；利用分母有理化对C进行判断；利用二次根式的加减法对D进行判断．
【详解】
解：A、原式＝5，所以A选项错误；
B、原式＝，所以B选项错误；
C
a
=，所以C选项正确；
D D选项错误．
故选：C．
【点睛】
本题主要考查了二次根式的性质以及合并同类项法则，正确化简各式是解题的关键．2．B
解析：B
【分析】
直接利用最简二次根式的定义分析得出答案．
【详解】
∴a≥0，且a
故选项中-2，3
2
，8都不合题意，
∴a的值可能是2．
故选：B．
【点睛】
此题主要考查了最简二次根式的定义，正确把握定义是解题关键．3．D
解析：D
【分析】
根据二次根式的意义先化简各项，再进行分式的加减运算可得出解.【详解】
解：∵0＜x ＜1， ∴0＜x ＜1＜1x
， ∴10x x +
>，1
0x x
-<．
原式=11x x x x
+-- =11x x x x +
+- =2x ． 故选D ．
点睛：本题考查了二次根式的性质和绝对值化简，也考查了分式的加减.
4．C
解析：C 【分析】
根据二次根式的加法、减法、乘法、分母有理化逐一进行计算判断即可． 【详解】
A 不能合并，故A 选项错误；
B ．-=B 选项错误；
C =
D
5==，故D 选项错误， 故选C ． 【点睛】
本题考查了二次根式的运算，分母有理化，熟练掌握各运算法则是解题的关键．
5．D
解析：D 【分析】
利用完全平方公式、平方差公式化简第二个等式即可. 【详解】
44180+=
配方得2
2222
180⎡⎤+
-+⋅=⎣
⎦
2
2
2180⎡⎤⎡⎤+=⎣⎦⎣⎦
222()180x y +-=
22162(2)180xy x xy y +-+= 22122()180xy x y ++=
将2224x y +=代入得：12224180xy +⨯= 计算得：11xy = 故选：D. 【点睛】
本题考查了完全平方公式、平方差公式的综合应用，熟记公式是解题关键，这两个公式是常考点，需重点掌握.
6．C
解析：C 【分析】
利用二次根式的乘法法则对A 、B 进行判断；利用二次根式的化简对C 、D 进行判断． 【详解】
A ．原式=
所以A 选项的运算正确；
B ．原式＝所以，B 选项的运算正确；
C ．原式=
=5，所以C 选项的运算错误；
D ．原式＝2，所以D 选项的运算正确． 故选C ． 【点睛】
本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
7．C
解析：C 【分析】
根据二次根式的性质即可求出答案． 【详解】 原式＝3， 故选C ． 【点睛】
本题考查二次根式的性质，解题的关键是熟练运用二次根式的性质，本题属于基础题型．
8．B
解析：B 【分析】
先化简，再根据同类二次根式的定义解答即可． 【详解】
解：A、是最简二次根式，被开方数不同，不是同类二次根式;
B
C
D
故选B．
【点睛】
本题考查的知识点是同类二次根式的定义，解题关键是熟记同类二次根式的定义．9．B
解析：B
【分析】
原式利用多项式除以单项式法则计算，估算确定出范围即可．
【详解】
＝
∵1＜2＜4，
∴1＜2，
即3＜＜4，
则原式的值应在3和4之间．
故选：B．
【点睛】
本题考查了二次根式的混合运算，以及无理数的估算，解题的关键是熟练掌握运算法则进行解题．
10．C
解析：C
【详解】
解：根据题意得：x-3≥0
解得：x≥3
故选C.
二、填空题
11．(1)、；(2);(3)
【解析】
【分析】
（1）观察A1，A2，A3的规律可知将等式的右边乘以分母的有理化分式，即可得到左边的代数式；
（2）先根据不等式的性质等式的两边同时加上或減去一个数，等
解析：(1)
=；(2),,><<;(3) ,,<<< 【解析】
【分析】
（1）观察A 1，A 2，A 3的规律可知将等式的右边乘以分母的有理化分式，即可得到左边的代数式；
（2）先根据不等式的性质等式的两边同时加上或減去一个数，等式仍成立，求得
>1）的结论解答；
（3）利用（2）的结论进行填空.
【详解】
解：（1）观察A 1，A 2，A 3的规律可知，将等式右边的分式分母有理化，即得等式左边的代数式，所以
=，
（2>
1>>，
<
<
（3）由（1）、（2<，
故答案为：
=；(2),,><<;(3),,<<< 【点睛】
主要考查二次根式的有理化．根据二次根式的乘除法法则进行二次根式有理化．二次根式有理化主要利用了平方差公式，所以一般二次根式的有理化因式是符合平方差公式的特点的式子．即一项符号和绝对值相同，另一项符号相反绝对值相同.
12．【分析】
首先化简，可得|a-2|+|a-6|+|b+4|+|b-2|=10，然后根据|a-2|+|a-6|≥4，|b+4|+|b-2|≥6，判断出a ，b 的取值范围，即可求出的最大值．
【详解】
解析：【分析】
10-b 4-b-2=+，可得|a-2|+|a-6|+|b+4|+|b-2|=10，然后根据|a-2|+|a-6|≥4，|b+4|+|b-2|≥6，判断出a ，b 的取值范围，即可求出22a b +的最大值．
【详解】
10-b 4-b-2=+，
1042b b =-+--， ∴261042a a b b -+-=-+--， ∴264210a a b b -+-+++-=，
∵264a a -+-≥，426b b ++-≥，
∴ 264a a -+-=，42=6b b ++-，
∴2≤a≤6，-4≤b≤2，
∴22a b +的最大值为()2
26452+-=，
故答案为52．
【点睛】
本题考查了二次根式的性质与化简，绝对值的意义，算术平方根的性质．解题的关键是要明确化简二次根式的步骤：①把被开方数分解因式；②利用算术平方根的性质，把被开方数中能开得尽方的因数（或因式）都开出来；③化简后的二次根式中的被开方数中每一个因数（或因式）的指数都小于根指数2． 13．．
【分析】
利用题目给的求出，再把它们相乘得到，再对原式进行变形凑出的形式进行计算．
【详解】
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴原式
．
故答案是：．
【点睛】
本题考查二次根式的运
解析：
1
2
．
【分析】
，再把它们相乘得到
1
x
x
-，再对原式进行变形凑出
1
x
x
-的形式进行计算．
【详解】
3
=，
∴
2
2
1
239
x
x
=++==，
∴
1
7
x
x
+=，
∴
2
1
2725
x
x
=-+=-=，
∵01
x
<<，
=，
∴
1
x
x
=-=-
∴原式
=
==
=．
．
【点睛】
本题考查二次根式的运算和乘法公式的应用，解题的关键是熟练运用乘法公式对式子进行巧妙运算．
14．-2a
【分析】
根据数轴判断出a 、b 、c 的正负情况以及大小情况，然后根据绝对值和二次根式的性质去掉根号和绝对值号，再进行计算即可得解．
【详解】
由图可知，
∴
∴﹣|a ﹣c|+﹣|﹣b|
＝
解析：-2a
【分析】
根据数轴判断出a 、b 、c 的正负情况以及大小情况，然后根据绝对值和二次根式的性质去掉根号和绝对值号，再进行计算即可得解．
【详解】
由图可知，0c a b ＜＜＜
∴00.a c c b ＞，＜
|a ﹣c ﹣|﹣b |
＝||()||a a
c c b b =()a
a c
b
c b =a
a c
b
c b =-2a .
【点睛】
本题考查二次根式的性质与化简和化简绝对值.在解决本题时需注意①对于任意实数a ,都有
||a =；②在化简绝对值时，绝对值内如果是一个多项式,要给化简后的结果带上括号. 15．2008
【解析】
分析：本题首先能够根据二次根式的被开方数为非负数的条件，得到a 的取值范围；再根据a 的取值范围，化简去掉绝对值；最后进行整理变形．
详解：∵|a ﹣2007|+=a ，∴a≥2008，
解析：2008
【解析】
分析：本题首先能够根据二次根式的被开方数为非负数的条件，得到a 的取值范围；再根据a 的取值范围，化简去掉绝对值；最后进行整理变形．
详解：∵|a ﹣2007=a ，∴a ≥2008，∴a ﹣2007=a ，
=2007，两边同平方，得：a ﹣2008=20072，∴a ﹣20072=2008．
故答案为：2008．
点睛：解决此题的关键是能够得到a 的取值范围，从而化简绝对值并变形．
16．（1，1）、（4，1）、（4，4）、（9，36）、（16，16）、（36，9）
【解析】
试题解析：当a=1，=1，要使为整数，=1或时，分别为4和3，得出（1，4）和（1，1）是的“理想数对”，
解析：（1，1）、（4，1）、（4，4）、（9，36）、（16，16）、（36，9）
【解析】
试题解析：当a =1，要使或12时，分
别为4和3，得出（1，4）和（1，1）是的“理想数对”，
当a =412，要使+或12时，分别为3和2，
得出（4，1）和（4，4）是的“理想数对”，
当a =913，要使16时，=1，
得出（9，36）是的“理想数对”，
当a =1614，要使14时，=1，
得出（16，16）是的“理想数对”，
当a =3616，要使13时，=1，
得出（36，9）是的“理想数对”， 即其他所有的“理想数对”：（1，1）、（4，1）、（4，4）、（9，36）、（16，16）、（36，9）．
故答案为：（1，1）、（4，1）、（4，4）、（9，36）、（16，16）、（36，9）． 17．2018
【解析】
试题解析：
，
令，，
显然，
∴，
∴，
∵与奇偶数相同，
∴，
∴，
∴．
故答案为：2018.
解析：2018
【解析】 试题解析：
y ==
=
令a =
b = 显然0a b >≥，
∴224036a b -=，
∴()()4036a b a b +-=，
∵()a b +与()-a b 奇偶数相同，
∴20182a b a b +=⎧⎨-=⎩
， ∴10101008a b =⎧⎨=⎩
， ∴2018y a b =+=．
故答案为：2018.
18．【分析】
根据二次根式的有意义的条件可求出x ，进而可得y 的值，然后把x 、y 的值代入所求式子计算即可．
【详解】
解：∵x －3≥0，3－x≥0，∴x=3，
∴y=﹣2，
∴．
故答案为：．
【点睛】 解析：19
【分析】
根据二次根式的有意义的条件可求出x ，进而可得y 的值，然后把x 、y 的值代入所求式子计算即可．
【详解】
解：∵x －3≥0，3－x ≥0，∴x =3，
∴y =﹣2， ∴2139
y x -==． 故答案为：
19． 【点睛】
本题考查了二次根式有意义的条件和负整数指数幂的运算，属于常考题型，熟练掌握基本知识是解题的关键．
19．1
【分析】
根据平方差公式进行计算即可.
【详解】
原式=.
故答案为：1.
【点睛】
本题考查二次根式的计算，熟练应用平方差公式是解题关键.
解析：1
【分析】
根据平方差公式进行计算即可.
【详解】
原式=(223981-=-=.
故答案为：1.
【点睛】
本题考查二次根式的计算，熟练应用平方差公式是解题关键. 20．x≥4
【解析】
试题分析：根据算术平方根的意义，可知其被开方数为非负数，因此可得x-4≥0，解得x≥4.
故答案为x≥4.
点睛：此题主要考查了平方根的意义，解题时要注意被开方数为非负数的条件，然
解析：x≥4
【解析】
试题分析：根据算术平方根的意义，可知其被开方数为非负数，因此可得x-4≥0，解得x≥4.故答案为x≥4.
点睛：此题主要考查了平方根的意义，解题时要注意被开方数为非负数的条件，然后列不等式求解即可，是一个中考常考的简单题.
三、解答题
21．无
22．无
23．无
24．无
25．无
26．无
27．无
28．无。