《四边形》训练题

A B
C
D E
F
A E D
H C
B
F
G A
B
C
D
E
G
《四边形》训练题
一、精心选一选
1．A 、B 、C 、D 是在同一平面内的四点，从（1）AB ∥CD ；（2）AB ＝CD ；（3）BC ＝AD ；（4）BC ∥AD 四个条件中选出两个，使四边形ABCD 为平行四边形的选法种数为（ ） A 、3种 B 、4种 C 、5种 D 、6种 2．对角线互相垂直平分的四边形一定是（ ） A 、矩形 B 、菱形 C 、等腰梯形 D 、直角梯形
3．四边形ABCD 的对角线和BD 相交于点O ，设有下列条件：（1）AB ＝AD ；（2）∠DAB ＝90°；（3）AO ＝CO 、BO ＝DO ；（4）四边形ABCD 为矩形；（5）四边形ABCD 为菱形；（6）四边形ABCD 为正方形。

则下列推理不成立的是 ( )
A ．（1）（4）⇒（6）
B ．（1）（3）⇒（5）
C ．（1）（2）⇒（6）
D ．（2）（3）⇒（4）
4．如图，已知矩形ABCD 中，R 、P 分别是DC 、BC 上的点，E 、F 分别是AP 、PR 的中点，当点P 在BC 上从B 向C 移动，而R 不动时，下列结论成立的是（ ） A ．线段EF 的长逐渐增大 B ．线段EF 的长逐渐减少 C ．线段EF 的长不改变 D ．线段EF 的长不确定
A B C
D
E
5．如图，等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AE ∥DC ，∠B=60º，BC=3，△ABE 的周长为6，则等腰梯形的周长是 （ ） A 、8 B 、10 C 、12 D 、16 二、细心填一填
6．如图，在平行四边形ABCD 中，E 、F 分别是边AD 、BC 的中点，AC 分别交BE 、DF 于G 、H ，试判断下列结论：①ΔABE ≌ΔCDF ；②AG=GH=HC ；③EG=
12
BG ；④S ΔABE =3S ΔAGE ，其中正确的结论是________个
7．如图，把矩形ABCD 沿EF 折叠，使点C 落在点A 处，点D 落在点G 处，若∠CFE=60°，且DE=1，则边BC
8．平行四边形的两邻角之比为1∶2，两条高为2和3，则面积等于_______
9．如图，在△ABC 中，AB=AC ，M 、N 分别是AB 、AC 的中点，D 、E 为BC 上的点，连结DN 、EM 。

若AB=13cm ，BC=10cm ，DE=5cm ，则图中阴影部分的面积为_________cm 2。

A 1
B
C
D
10．如图，直线 L 过正方形 ABCD 的顶点 B , 点A 、C 到直线 L 的距离分别是 1 和 2 , 则正方形的边长是______________ 三、耐心解一解
11．如图，DB ∥AC ，且DB=
1
2
AC ，E 是AC 的中点，求证：BC=DE 。

12．已知：如图，在平行四边形ABCD 中，E 、F 分别为边AB 、CD 的中点，BD 是对角线，AG ∥DB 交CB 的延长线于G ．
（1）求证：△ADE ≌△CBF ；
（2）若四边形 BEDF 是菱形，则四边形AGBD 是什么特殊四边形？并证明你的结论．
D
A
B
C
E
A
M
N
13．如图，在□ABCD 中，∠DAB=60°，点E 、F 分别在CD 、AB 的延长线上，且AE=AD ，CF=CB ． (1)求证：四边形AFCE 是平行四边形．
(2)若去掉已知条件的“∠DAB=60°，上述的结论还成立吗?若成立，请写出证明过程； 若不成立，请说明理由．
提高训练部分
一、精心选一选
14．如图，在平行四边形ABCD 中，EF ∥BC ，GH ∥AB ，EF 、GH 的交点P 在BD 上，图中面积相等的四边形共有（ ）
A ．2对；
B ．3对；
C ．4对；
D ．5对．
15．已知△ABC 中，AB ＝8，AC ＝6，AD 是中线，则AD 的取值范围是（ ） A ．68AD << B ．17AD << C ．34AD << D ．214AD << 16．等腰梯形各边中点的连线组成的四边形为（ ） A. 矩形 B. 菱形 C. 正方形 D. 等腰梯形
17．已知菱形的周长为8516，则这个菱形较短的对角线长为（ ） A ．4
B ．8
C ．5
D ．10
18．如下图，在平行四边形ABCD 中，∠DAB ＝60°，AB ＝5，BC ＝3，点P 从起点D 出发，沿DC 、CB 向终点B 匀速运动。

设点P 所走过的路程为x ，点P 所经过的线段与线段AD 、AP 所围成图形的面积为y ，y 随x 的变化而变化。

在下列图象中，能正确反映y 与x 的函数关系的是（ ）
D
A
B
C F
二、细心填一填
19．如图，面积为16的平行边形ABCD 的两条对角线AC 、BD 交于点O ，EF 经过点O ，且与AB 、CD 分别交于点E 、点F ，则图中阴影部分的面积为___________
A B
C
O
E F
20．如图，矩形ABCD 沿DF 折叠后，点C 落在AB 边上的点E 处，DE 、DF 三等分∠ADC ，若AB=6 3 ，则梯形ABFD 的中位线的长为_______________.
A B
C
D
P
M N
21．已知，等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB=CD,AC ⊥BD ，AD ＝2，BC ＝8，则该等腰梯形的面积为____________ 22．如图，已知图中每个小正方形方格的边长为1，则点C 到AB 所在直线的距离等于_______
23．如图，点P 是边长为2的正方形ABCD 的对角线AC 上一动点，M 、N 分别为AB 、BC 的中点，则MP ＋NP 的最小值为____________ 三、耐心解一解
24．两个全等的含30°, 60°角的三角板ADE 和三角板ABC 如图所示放置，E,A,C 三点在一条直线上，连结BD ，取BD 的中点M ，连结ME ，MC ．试判断△EMC 的形状，并说明理由．
25．如图，在梯形纸片ABCD 中，AD ∥BC ，AD > CD ，将纸片沿过点D 的直线折叠，使点C 落在AD 上的点C ′处，折痕DE 交BC 于点E ，连结C ’E （1）求证：四边形CDC ’E 是菱形；
（2）若BC = CD + AD ，试判断四边形ABED 的形状，并加以证明.
C'
E
D
C
B
A
26．已知，点P 是正方形ABCD 内的一点，连PA 、PB 、PC.
（1）将△PAB 绕点B 顺时针旋转90°到△P ′CB 的位置（如图1）.
①设AB 的长为a ，PB 的长为b （b<a ），求△PAB 旋转到△P ′CB 的过程中边PA 所扫过区域（图1中阴影部分）的面积；
②若PA=2，PB=4，∠APB=135°，求PC 的长.
（2）如图2，若2
2
2
PA +PC =2PB ，请说明点P 必在对角线AC 上.
A
B
C
D
P
图2
A
B
C
D
P
P′
图1
能力提升部分
27．如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠B ＝90°，AB ＝14cm ，AD ＝15cm ，BC ＝21cm,点M 从A 点开始，沿AD 边向D 运动，速度为1厘米／秒，点N 从点C 开始沿CB 边向点B 运动，速度为2厘米／秒，设四边形MNCD 的面积为S ．
（1）写出面积S 与时间t 之间的函数关系式； （2）当t 为何值时，四边形MNCD 是平行四边形？ （3）当t 为何值时，四边形MNCD 是等腰梯形？
28．如图：∠MON = 90°，在∠MON 的内部有一个正方形AOCD ，点A 、C 分别在射线OM 、ON 上，点B1是ON 上的任意一点，在∠MON 的内部作正方形AB1C1D1。

（1）连续D1D ，求证：∠ADD1 = 90°；
（2）连结CC1，猜一猜，∠C1CN 的度数是多少？并证明你的结论；
（3）在ON 上再任取一点B2，以AB2为边，在∠MON 的内部作正方形AB2C2D2，观察图形，并结合（1）、（2）的结论，请你再做出一个合理的判断。

A
M D
C
N B
1．B 2．B 3．C 4．C 5．A
6．4个 7．3 8．．
三、耐心解一解（第11~12题各6分，第18题8分，共20分） 13．（1）证：∵四边形ABCD 是平行四边形
∴DC ∥AB ，∠DCB=∠DAB=60°∴∠ADE=∠CBF=60°∵AE=AD ，CF=CB ∴△AED ，△CFB 是正三角形
在Y ABCD 中，AD=BC ，DC ∥=AB ∴ED=BF
∴ED+DC=BF+AB 即 EC=AF 又∵DC ∥AB 即EC ∥AF ∴四边形AFCE 是平行四边形 （2）上述结论还成立
证明：∵四边形ABCD 是平行四边形∴DC ∥AB ，∠DCB=∠DAB ，AD=BC ，DC ∥=AB ∴∠ADE=∠CBF ∵AE=AD ，CF=CB ∴∠AED=∠ADE ，∠CFB=∠CBF ∴∠AED=∠CFB 又∵AD=BC ∴△ADE ≌△CBF ∴ED=FB ∵DC=AB ∴ED+DC=FB+AB 即EC=FA ∵DC ∥AB ∴四边形EAFC 是平行四边形
B 卷（激活训练部分，50分）
一、精心选一选（每题3分，共15分） 14．D 15．B 16．B 17．A 18．C 二、细心填一填（每题3分，共15分）
19．4 20．6.5 21．25 22 23．2 三、耐心解一解（第24～25题各6分，第26题8分，共20分） 25．（1）证明：根据题意，可知：CD = C ’D ，∠C ’DE =∠CDE ，CE = C ’E ， ∵ AD ∥BC ， ∴ ∠C ’DE =∠CED. ∴ ∠CDE =∠CED. ∴ CD = CE. ∴ CD = C ’D = C ’E = CE. ∴ 四边形CDC ’E 为菱形. （2）答：当BC = CD + AD 时，四边形ABED 是平行四边形. 证明：由（1）知CE = CD. ∵ BC = CD + AD ， ∴ AD = BE. 又∵ AD ∥BE ， ∴ 四边形ABED 为平行四边形. 26．（1）①S 阴影=
()2
24
a b π
-
②连结PP ′，证△PBP ′为等腰直角三角形，从而PC=6;
（2）将△PAB 绕点B 顺时针旋转90°到△P ′CB 的位置，由勾股逆定理证出∠P ′CP=90°，再证∠BPC+∠APB=180°，即点P 在对角线AC 上.
C 组（能力提升部分，20分）
27．（1）根据题意：S=
1
2
(MD ＋NC)×AB 又∵MD ＝AD －AM ＝15－t ，NC=2t ，而AB=14cm
()1152142S t t =
-+⨯∴S ＝1
2
（15－t ＋2t ）×14＝7t ＋105（010.5t <≤） （2）假设当t ＝a 时，四边形MNCD 为平行四边形，根据平行四边形的判定定理有MD ＝NC ，即：()152a a
-=解得5a =
∴当5t =秒时，四边形为平行四边形．
（3）假设当t=a 时，四边形MNCD 是等腰梯形，则CD ＝MN （如右下图）
又作ME ，DF 分别垂直于BC ，则
∵AD ∥BC ，ME ⊥BC ，DF ⊥BC ，∴ME ＝DF ，∴NE ＝CF ∴()26156t t ---=， 解得9t =（秒）．
28．解：（1）∵四边形AOCD 、AB 1C 1D 1是正方形，∴AB 1＝AD 1，AO ＝AD 。

又∵∠OAD ＝∠B 1AD 1＝90°，∴∠OAB 1＝∠DAD 1，∴△OAB 1≌△DAD 1（SAS ） ∴∠ADD 1＝∠AOB 1－90°， （2）答：∠C 1CN ＝45° 理由：作C 1H ⊥ON 于H ，
∵四边形AOCD 、AB 1C 1D 1是正方形，∴∠AOB 1＝∠C 1HB 1＝90°，AB 1＝B 1C 1 又∵∠AB 1O ＋∠C 1B 1H ＝90°，∠AB 1O ＋∠OAB 1＝90°
∴∠C 1B 1H ＝∠OAB 1，∴△OAB 1≌△HB 1C 1，∴B 1H ＝OA ，C 1H ＝OB 1。

又OA ＝OC ，∴OC ＝B 1H ，∴OB 1＝CH ，∴CH ＝C 1H ，∴∠C 1CN ＝45°。