2019-2020学年湖南省郴州市新高考高一数学下学期期末调研试题

一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知直角三角形ABC ，斜边AC =D 为AB 边上的一点，1AD =，4
BCD π
∠=，则CD 的长为
（ ）
A ．
B ．
C ．2
D ．3
2．已知扇形AOB 的圆心角3
AOB π
∠=，弧长为2π，则该扇形的面积为（ ）
A ．6π
B ．12π
C ．6
D ．12
3．已知2x >，函数4
2
y x x =+-的最小值是（ ） A ．5
B ．4
C ．8
D ．6
4．等差数列{}n a 中，已知611a a =，且公差0d >，则其前n 项和取最小值时的n 的值为( ) A ．6
B ．7
C ．8
D ．9
5．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步并不难，次日脚痛减一半，六朝才得至其关，欲问每朝行里数，请公仔细算相还”.其意思为：“有一个人走378里路，第1天健步行走，从第2天起，因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，可求出此人每天走多少里路.”那么此人第5天走的路程为（ ） A ．48里 B ．24里
C ．12里
D ．6里
6．函数y=tan （π
4
–2x ）的定义域是( ) A ．{x|x≠
π2k +3π8，k ∈Z} B ．{x|x≠kπ+
3π
4，k ∈Z} C ．{x|x≠π2k +π
4
，k ∈Z}
D ．{x|x≠kπ+π
4
，k ∈Z}
7．若x ＋2y ＝4，则2x ＋4y 的最小值是（ ）
A ．4
B ．8
C ．
D ．
8．若函数()()()()lg 1lg 3lg f x x x a x =-+---只有一个零点，则实数a 的取值范围是 A ．13a
或134
a =
B ．1334
a ≤< C ．1a ≤或134
a =
D ．134
a >
9．若直线1:240l ax y +-=与2:(1)20l x a y +++=平行，则实数a 的值为（ ） A ．2a =-或1a =
B ．1a =
C ．2a =-
D ．23
a =-
10．已知正实数,x y 满足3x y +=，则
41
x y
+的最小值（ ）
A ．2
B ．3
C ．4
D ．
103
11．根据频数分布表，可以估计在这堆苹果中，质量大于130克的苹果数约占苹果总数的（ ）
A ．10%
B ．30%
C ．60%
D ．80%
12．若数列{a n }是等比数列，且a n ＞0，则数列*)n b n N =∈也是等比数列. 若数列{}n a 是等
差数列，可类比得到关于等差数列的一个性质为( ).
A ．12n
n a a a b n
⋅⋅⋅=是等差数列
B ．12...n
n a a a b n
+++=是等差数列
C ．n b =
D ．n
n a b +
+=
是等差数列
二、填空题：本题共4小题
13．等比数列{}n a 中，若312a =，548a =，则7a =______. 14．在数列{}n a 中，21235
4,2
n n a n a a a a an bn =-
++++=+，则ab =___________.
15．若函数()cos sin ([0,2])f x x x x π=+∈的图像与直线y k =有且仅有四个不同的交点，则k 的取值范围是______
16．已知一组数据7、9、8、11、10、9，那么这组数据的平均数为__________. 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．数学的发展推动着科技的进步,正是基于线性代数、群论等数学知识的极化码原理的应用,华为的5G 技术领先世界.目前某区域市场中5G 智能终端产品的制造由H 公司及G 公司提供技术支持据市场调研预测,5C 商用初期,该区域市场中采用H 公司与G 公司技术的智能终端产品分别占比055%a =及045%b =假设两家公司的技术更新周期一致,且随着技术优势的体现每次技术更新后,上一周期采用G 公司技术的产品中有20%转而采用H 公司技术,采用H 公司技术的仅有5%转而采用G 公司技术设第n 次技术更新后,该区域市场中采用H 公司与G 公司技术的智能终端产品占比分别为n a 及n b ,不考虑其它因素的影响. (1)用n a 表示1n a +,并求实数λ使{}n a λ-是等比数列;
(2)经过若干次技术更新后该区域市场采用H 公司技术的智能终端产品占比能否达到75%以上?若能,至少需要经过几次技术更新;若不能,说明理由？(参考数据:lg 20.301,lg30.477≈≈) 18．数列{}n a 满足：11232n n a a a +==+，．
（1）求证：{}1n a +为等比数列； （2）求{}n a 的通项公式．
19．（6分）在ABC ∆中，,,a b c 分别是内角,,A B C cos sin B b A =． （1）求角B ；
（2）若2,ABC b S ∆==ABC ∆的周长．
20．（6分）已知a 、b 、c 是锐角ABC ∆中A ∠、B 、C ∠的对边，S 是ABC ∆的面积，若4a =，5b =，
S =
（1）求C ∠；
（2）求边长c 的长度． 21．（6分）已知(
)
3sin ,cos a x m x =
+，()cos ,cos b x m x =-+，且()f x a b =⋅
（1）求函数()f x 的解析式； （2）当,63x ππ⎡⎤
∈-
⎢⎥⎣
⎦时，()f x 的最小值是4-，求此时函数()f x 的最大值，并求出函数()f x 取得最大值时自变量x 的值
22．（8分）已知,n n S T 分别是数列{}{},n n a b 的前n 项和，*
121,()2n n n n S nb T n N +=+=∈且22b =.
（1）求数列{}n a 与{}n b 的通项公式； （2）求数列{}n n a b 的前n 项和n R .
参考答案
一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．A 【解析】 【分析】
设BC BD x ==，利用勾股定理求出x 的值即得解. 【详解】
如图，由于4
BCD π
∠=
，所以设BC BD x ==，
所以2
2
(1)13,2x x x ++=∴= 所以222222CD =+=. 故选：A 【点睛】
本题主要考查解直角三角形，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题. 2．A 【解析】 【分析】
可先由弧长计算出半径，再计算面积． 【详解】
设扇形半径为R ，则
23
R π
π=，6R =，
1
2662
S =
⨯π⨯=π． 故选：A ． 【点睛】
本题考查扇形面积公式，考查扇形弧长公式，掌握扇形的弧长和面积公式是解题基础． 3．D 【解析】
试题分析：因为该函数的单调性较难求，所以可以考虑用不等式来求最小值，
，因为
，由重要不等式可知
，所
以
，本题正确选项为D.
考点：重要不等式的运用. 4．C
【解析】
因为等差数列{}n a 中，611
a a =，所以6116111150,0,,2a a a a a d =-=-，有2[(8)64]2
n d
S n =--， 所以当8n =时前n 项和取最小值.故选C. 5．C 【解析】
记每天走的路程里数为{a n }，由题意知{a n }是公比
1
2
的等比数列， 由S 6=378，得166112112
a S ⎛
⎫- ⎪
⎝⎭
=-=378，解得：a 1=192，∴5411922a =⨯=12（里）．故选C ． 6．A 【解析】 【分析】
根据诱导公式化简解析式，由正切函数的定义域求出此函数的定义域． 【详解】
由题意得，y=tan （π4–2x ）=–tan （2x –π4
），由2x –πππ42k ≠+（k ∈Z ）得，x≠π2k +3π8，k ∈Z ，所以函数
的定义域是{x|x≠π2k +3π
8
，k ∈Z}，
故选:A ． 【点睛】
本题考查正切函数的定义域，以及诱导公式的应用，属于基础题． 7．B 【解析】 试题分析：由，当且仅当242x y ==时，即21x y ==等号成立，故选B ．
考点：基本不等式. 8．A 【解析】 【分析】
根据题意，原题等价于213
530x x a x x a <<⎧⎪
<⎨⎪-++=⎩
，再讨论即可得到结论．
【详解】
由题()243lg x x f x a x ⎛⎫
-+-= ⎪-⎝⎭
，故函数有一个零点
等价于2
13
43lg 0x x a x x a x ⎧⎪
<<⎪⎪<⎨⎪⎛⎫-+-⎪= ⎪⎪-⎝
⎭⎩即213530x x a
x x a <<⎧⎪
<⎨⎪-++=⎩ 当0∆=时，134a =
，5
2
x =,符合题意； 当>0∆，134a <时，令()2
53x x x g a =-++，a 满足()()1030g g ⎧>⎪⎨≤⎪⎩
解得13a ,
综上a 的取值范围是13a 或13
4
a =
故选：A ． 【点睛】
本题考查函数的零点，对数函数的性质，二次函数根的分布问题，考查了分类讨论思想，属于中档题． 9．B 【解析】 【分析】
利用直线与直线平行的性质求解． 【详解】
∵直线1:240l ax y +-=与2:(1)20l x a y +++=平行，
()120a a ∴+-=
解得a ＝2或a ＝﹣2． ∵当a ＝﹣2时，两直线重合， ∴a ＝2． 故选B ． 【点睛】
本题考查满足条件的实数值的求法，是基础题，解题时要注意两直线的位置关系的合理运用． 10．B 【解析】 【详解】
()41141144133y x x y x y x y x y ⎛⎫⎛⎫+=++=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
1533⎛≥+= ⎝，
当且仅当
4y x x y =，即21x y ==，，时41
x y
+的最小值为3. 故选B.
点睛：本题主要考查基本不等式.在用基本不等式求最值时，应具备三个条件：一正二定三相等.①一正：关系式中，各项均为正数；②二定：关系式中，含变量的各项的和或积必须有一个为定值；③三相等：含变量的各项均相等，取得最值. 11．C 【解析】 【分析】
根据频数分布表计算出质量大于130克的苹果的频率，由此得出正确选项. 【详解】
根据频数分布表可知
642123
0.6134642205
++===+++++，所以质量大于130克的苹果数约占苹果总数的
60%.
故选：C 【点睛】
本小题主要考查频数分析表的阅读与应用，属于基础题. 12．B 【解析】
试题分析：本题是由等比数列与等差数列的相似性质，推出有关结论：由“等比”类比到“等差”，由“几何平均数”类比到“算数平均数”；所以，所得结论为是等差数列.
考点：类比推理.
二、填空题：本题共4小题 13．192 【解析】 【分析】
设{}n a 的首项为1a ，公比为q ，根据312a =，548a =列出方程组，求出1a 和2
q 即可得解.
【详解】
设{}n a 的首项为1a ，公比为q ，则：214
1
1248a q a q ⎧⋅=⎨⋅=⎩，解之得123
4a q =⎧⎨=⎩， 所以：63
7134192a a q =⋅=⨯=.
故答案为：192. 【点睛】
本题考查等比数列中某项的求法，解题关键是根据题意列出方程组，需要注意的是为了简化运算不用直接求解q ，解出2q 即可，属于基础题. 14．-1 【解析】 【分析】 首先根据5
42n a n =-
，得到{}n a 是以1534=22
a =-，4d =的等差数列. 再计算其前n 项和即可求出a ，
b 的值.
【详解】 因为5
42n a n =-
，1554[4(1)]422
n n a n n a -=----=-. 所以数列{}n a 是以153
4=22a =-，4d =的等差数列. 所以
212335(4)
122222
n n n a a a a n n +-+++
+==-. 所以2a =，1
2
b =-，1ab =-. 故答案为：1- 【点睛】
本题主要考查等差数列的判断和等差数列的前n 项和的计算，属于简单题. 15
．1k ≤<【解析】 【分析】
将函数写成分段函数的形式，再画出函数()f x 的图象，则直线y k =与函数图象有四个交点，从而得到k 的取值范围. 【详解】
因为),0,4
()cos sin sin(),2,
4x x f x x x x x πππππ+≤≤=+=-<≤ 因为()cos |sin |,()cos |sin |,f x x x f x x x ππ+=-+-=-+
所以()()f x f x ππ+=-，所以图象关于x π=对称，其图象如图所示：
因为直线y k =与函数图象有四个交点， 所以12k ≤<
.
故答案为：12k ≤<【点睛】
本题考查利用三角函数图象研究与直线交点个数，考查数形结合思想的应用，作图时发现图象关于x π=对称，是快速画出图象的关键. 16．9 【解析】 【分析】
利用平均数公式可求得结果. 【详解】
由题意可知，数据7、9、8、11、10、9的平均数为79811109
96
+++++=.
故答案为：9. 【点睛】
本题考查平均数的计算，考查平均数公式的应用，考查计算能力，属于基础题. 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（1）1344n n a a λ+=+，45
λ=；（2）见解析 【解析】 【分析】
(1) 根据题意经过n 次技术更新后1n n a b +=，通过整理得到131
45
n n a a +=+，构造{}n a λ-是等比数列，求出4
5
λ=
，得证； (2)由（1）可求出通项，令75%n a >，通过相关计算即可求出n 的最小值，从而得到答案. 【详解】
（1）由题意，可设5G 商用初期，该区域市场中采用H 公司与G 公司技术的智能终端产品的占比分别为
0011955%,45%2020
a b ==
==.易知经过n 次技术更新后1n n a b +=，
则()119131(15%)20%120545n n n n n n a a b a a a +=-+=+-=+，131
(N)45n n a a n +=+∈① 由①式，可设()1133444n n n n a a a a λλλ++-=-⇔=+，对比①式可知14
455
λλ=⇒=.
又1013131114944943
,45420580580516
a a a =+=⨯
+=-=-=-. 从而当45λ=
时，45n a ⎧
⎫-⎨⎬⎩
⎭是以316-为首项，34为公比的等比数列.
（2）由（1）可知1
43313516444n n
n a -⎛⎫
⎛⎫
-=-⋅=-⋅ ⎪
⎪⎝⎭⎝⎭
，所以经过n 次技术更形后，该区域市场采用H 公
司技术的智能终端产品占比413544n
n a ⎛⎫
=-⋅ ⎪⎝⎭.由题意，令75%n a >，得
413331
31lg lg 54444545n
n
n ⎛⎫⎛⎫-⋅>⇔<⇔< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ lg5lg51lg 210.301
lg32lg 22lg 2lg32lg 2lg320.3010.477
n ---⇔>===---⨯-
0.699
0.6998 5.59250.125
=
=⨯=>. 故6n ≥，即至少经过6次技术更新，该区域市场采用H 公司技术的智能终端产品占比能达到75%以上. 【点睛】
本题主要考查数列的实际应用，等比数列的证明，数列与不等式的相关计算，综合性强，意在考查学生的阅读理解能力，转化能力，分析能力，计算能力，难度较大.
18．（1）见解析（2）31n
n a =-
【解析】 【分析】
（1）证明11n a ++和1n a +的比是定值，即得；（2）由（1）的通项公式入手，即得。

【详解】
（1）由题得，113213(1)n n n a a a ++=++=+，即有
11
31
n n a a ++=+，相邻两项之比为定值3，故{}1n a +为
公比3q =的等比数列；（2）因为{}1n a +为等比数列，且12a =，则有1113(1)3n n
n a a -+=+=，整理得
{}n a 的通项公式为31n n a =-.
【点睛】
本题考查等比数列的概念，以及求数列的通项公式，是基础题。

19．（1）3
B π
=
（2）6
【解析】
【分析】
（1cos sin B b A =利用正弦定理求B 的某个函数值，结合B 的范围确定B 的大小.
（2）由（1）及ABC S ∆=求得ac,再利用余弦定理可得.
【详解】
解：（1cos sin B b A =cos sin sin A B B A =，
又()0,A π∈,所以sin 0A ≠，
则tan B =()0,B π∈， 所以3B π
=;
（2）由已知1sin 24ABC S ac B ac ∆=
==4ac =, 由余弦定理得2222cos
3=+-b a c ac π， 所以()243a c ac =+-，则4a c +=，
因此ABC ∆的周长为6.
【点睛】
本题考查正弦定理、余弦定理及三角形面积计算，有时利用整体运算可以起到事半功倍的作用，考查计算能力，属于中档题.
20．（1）3
π；（2）6. 【解析】
【分析】
（1）利用三角形的面积公式结合C ∠为锐角可求出C ∠的值；
（2）利用余弦定理可求出边长c 的长度．
【详解】
（1）由三角形的面积公式可得1sin 10sin 2S ab C C =
∠=∠=sin C ∠=. C ∠为锐角，因此，3C π∠=
； （2）由余弦定理得2222212cos 45245362
c a b ab C =+-∠=+-⨯⨯⨯
=，因此，6c =. 【点睛】 本题考查利用三角形的面积公式求角，同时也考查了利用余弦定理求三角形的边长，考查计算能力，属于基础题.
21．（1）()21sin(2)62f x x m π=+
+-（2）5,26
x π-= 【解析】 试题分析：（1）由向量的数量积运算代入点的坐标得到三角函数式，运用三角函数基本公式化简为()()sin f x A x ωϕ=+的形式；（2）由定义域,63x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦可得到x ωϕ+的范围，结合函数单调性求得函数最值及对应的自变量值
试题解析：（1）
即22()3cos cos f x x x x m =+- 2321cos 222
x x m +=+-21sin(2)62x m π=++- （2）由,63x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，52,666x πππ⎡⎤∴+∈-⎢⎥⎣⎦，1sin(2),162x π⎡⎤∴+∈-⎢⎥⎣⎦
， 211422
m ∴-+-=-，2m ∴=± max 15()1422
f x ∴=+-=-， 此时，sin(2)=1,2=663626x x x x ππππππ⎡⎤+∈-∴+∴=⎢⎥⎣⎦
，且， 考点：1．向量的数量积运算；2．三角函数化简及三角函数性质
22．（1）13,12,2
n n n a n -=⎧=⎨
≥⎩，n b n =，（2）(1)23n n R n =-+ 【解析】
【分析】
（1）分别求出1n =和2n ≥时的n a ，n b ，再检验即可.
（2）利用错位相减法即可求出数列{}n n a b 的前n 项和n R
【详解】
（1）当1n =时，111213a S ==+=，
当2n ≥时，111121(21)222n n n n n n n n a S S ----=-=+-+=-=.
检验：当1n =时，01213a ==≠， 所以13,12,2
n n n a n -=⎧=⎨≥⎩.
因为12n n nb T +=，所以12n n n T b +=
. 当1n =时，12112
T b ==，即11b =， 当2n ≥时，11122
n n n n n n n b T T b b -+-=-=- 整理得到：101n n b b n n
+-=+. 所以数列{}n b n
是以首项为1，公差为0的等差数列. 所以1n b n
=，即n b n =. （2）1232232n R =+⨯+⨯+……12n n -+⨯
0122122232n R -=⨯+⨯+⨯+……12n n -+⨯①，
1232(2)122232n R -=⨯+⨯+⨯+……2n n +⨯②，
①-②得：012(2)222n R --=+++……122n n n -+-⨯，
12(2)212
n
n n R n ---=-⨯-， (1)23n n R n =-+.
【点睛】
本题第一问考查由数列前n 项和求数列的通项公式，第二问考查数列求和中的错位相减法，属于难题.
2019-2020学年高一下学期期末数学模拟试卷
一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知n S是等差数列{}n a的前n 项和，89
0, 0
S <S =.若
n k
S S
≥对*
n N
∈恒成立，则正整数k构成的集合是（）
A．{4,5}B．{4}C．{3,4}D．{5,6}
2．设ABC为锐角三角形，则直线22
sin cos20
x A y A
+-=与两坐标轴围成的三角形的面积的最小值是（）
A．10 B．8 C．4 D．2
3．设()
f x是周期为4的奇函数，当01
x
≤≤时，()()
1
f x x x
=+，则
9
2
f
⎛⎫
-=
⎪
⎝⎭
（）
A．
3
4
-B．
1
4
-C．
1
4
D．
3
4
4．已知：
1
sin
53
π
α
⎛⎫
-=
⎪
⎝⎭
，则
3
cos2
5
πα
⎛⎫
+=
⎪
⎝⎭
（）
A．
7
9
-B．
1
9
-C．
7
9
D．
1
9
5．已知{}n a、{}n b都是公差不为0的等差数列，且lim2
n
n
n
a
b
→∞
=，
12
n n
S a a a
=++⋯+，则
2
2
lim n
n
n
S
nb
→∞
的值为（）
A．2 B．-1 C．1 D．不存在
6．在△ABC中，AC2
=，BC＝1，∠B＝45°，则∠A＝（）
A．30°B．60°C．30°或150°D．60°或120°
7．ABC
∆的斜二测直观图如图所示，则原ABC
∆的面积为（）
A．
2
2
B．1 C．2D．2
8．如图所示，是半圆的直径，垂直于半圆所在的平面，点是圆周上不同于的任意一点，分别为的中点，则下列结论正确的是( )
A ．
B ．平面平面
C ．与所成的角为45°
D ．平面 9．一个几何体的三视图如图所示，则几何体的体积是( )
A ．2
B ．43
C ．23
D ．1
10．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足2=31n n S a -，则通项公式n a 等于( )．
A ．12n n a
B ．2n n a =
C ．13-=n n a
D ．3n n a =
11．若(1,2)a =，(1,0)b =-，则2a b -等于( )
A ．(2,3)
B ．(1,3)
C ．(3,4)
D ．(2,1)
12．ABC 中,D 在AC 上,AD DC = ,P 是BD 上的点,29AP mAB AC =+
,则m 的值（ ） A ．59 B ．79 C ．12 D ．14
二、填空题：本题共4小题
13．如图，二面角l αβ--等于120︒，A 、B 是棱l 上两点，AC 、BD 分别在半平面α、β内，AC l ⊥，BD l ⊥，且1AB AC BD ===，则CD 的长等于______．
14．计算23lim 31
n n n →+∞-=+__________． 15．已知数列{}n a 的前n 项和满足()2*2n S n n n =-∈N ，则4a =______．
16．若tan α、tan β是方程2240x x --=的两根，则tan()αβ-=__________.
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．已知数列12n n a -⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
是以2为首项，2为公比的等比数列， （1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）若2log n n b a =()n N *∈，求数列11n n b b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭
的前n 项和n T ． 18．在甲、乙两个盒子中分别装有标号为1，2，3，4的四个球，现从甲、乙两个盒子中各取出1个球，每个球被取出的可能性相等.
（1）求取出的两个球上标号为相同数字的概率；
（2）若两人分别从甲、乙两个盒子中各摸出一球，规定：两人谁摸出的球上标的数字大谁就获胜（若数字相同则为平局），这样规定公平吗？请说明理由.
19．（6分）已知函数2()f x x x m =-+.
（1）当2m =-时，解不等式()0f x >；
（2）若0m >， ()0f x <的解集为(,)a b ，求14a b
+的最小値. 20．（6分）已知数列{}n a 前n 项和为n S ，满足112a =
，2(1)n n S n a n n =-- （1）证明：数列1n n S n +⎧⎫⎨
⎬⎩⎭是等差数列，并求n S ； （2）设323n n S b n n =+ ，求证：125 (12)
n b b b +++<. 21．（6分）已知一个几何体是由一个直角三角形绕其斜边旋转一周所形成的．若该三角形的周长为12米，三边长由小到大依次为a ，b ，c ，且b 恰好为a ，c 的算术平均数．
（1）求a ，b ，c ；
（2）若在该几何体的表面涂上一层油漆，且每平方米油漆的造价为5元，求所涂的油漆的价格． 22．（8分）已知E 、F 、G 、H 为空间四边形ABCD 的边AB 、BC 、CD 、DA 上的点， 且ＥＨ∥ＦＧ．求证：EH ∥BD.
参考答案
一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．A
【解析】
【分析】
先分析出540,0a a =<，即得k 的值.
【详解】
因为9550,90,0.S a a =∴=∴=
因为8184580,()0,02
S a a a a <∴+<∴+<
所以40a <.
所以()45min n S S S ==,
所以正整数k 构成的集合是{4,5}.
故选A
【点睛】
本题主要考查等差数列前n 项和的最小值的求法，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力. 2．B
【解析】
【分析】
令0x =，0y =得直线在x 、y 轴上的截距，求得三角形面积并利用二倍角公式化简，根据三角函数图象
和性质求得面积最小值即可.
【详解】
令0x =得直线在y 轴上的截距为22cos y A
=
， 令0y =得直线在x 轴上的截距为22sin x A =， 其围成的三角形面积：
2221488161cos 422sin sin sin 21cos 42
S x y A A A A A =⨯⨯====--，
求S 的最小值转化为求函数cos4z A =的最小值，
因为A 为锐角，所以042A π<<， 当4,4A A π
π==时z 取最小值−1，
则8min S =，故围成三角形面积最小值为8.
故选：B.
【点睛】
本题考查直线方程与三角函数二倍角公式的应用，综合题性较强，属于中等题. 3．A
【解析】
【分析】
【详解】
9911113412222224f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-==-+=-=-=-+=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
⎝⎭⎝⎭
. 故选A.
4．A
【解析】
【分析】 观察已知角与待求的角之间的特殊关系，运用余弦的二倍角公式和诱导公式求解.
【详解】 令5π
αθ-=，则2322,2255
ππαθαπθ-=+=-， 所以2
217cos 212sin 1239
θθ⎛⎫=-=-⨯= ⎪⎝⎭， 所以()37cos 2cos 2cos 259παπθθ⎛⎫+=-=-=-
⎪⎝⎭
， 故选A.
【点睛】
本题关键在于观察出已知角与待求的角之间的特殊关系，属于中档题.
5．C
【解析】
【分析】 首先根据lim 2n n n a b →∞
=求出数列{}n a 、{}n b 公差之间的关系，再代入22lim n n n
S nb →∞即可。

【详解】
因为{}n a 和{}n b 都是公差不为零的等差数列， 所以设()()11121?
1n n b b n d a a n d =+-=+- 故()()1112
1lim lim 21n n n n a n d a b b n d →∞→∞+-==+-，可得122d d = 又因为()1
12112n n n d a a a na -++
+=+和()21121n b b n d =+-代入 则()()1112122122lim lim 21212n n n n n n d na S d nb nb n n d d →∞→∞⎛⎫-+ ⎪=⨯== ⎪+- ⎪ ⎪⎝⎭
． 故选：C ．
【点睛】
本题主要考查了极限的问题以及等差数列的通项属于基础题。

6．A
【解析】
【分析】
直接利用正弦定理求出sinA 的大小，根据大边对大角可求A 为锐角，即可得解A 的值．
【详解】
因为：△ABC 中，BC ＝1，
AC =∠B ＝45°， 所以：BC AC sinA sinB =，
sinA 112BC sinB AC ⋅===． 因为：BC ＜AC ，可得：A 为锐角，
所以：A ＝30°．
故选：A ．
【点评】 本题考查正弦定理在解三角形中的应用，考查计算能力，属于基础题． 7．D 【解析】 【分析】 根据直观图可计算其面积为S 直观图，原ABC ∆的面积为ABC S ∆，由=22ABC S S ∆直观图得结论. 【详解】 由题意可得1222222
S =⨯⨯=直观图， 所以由=22ABC S S ∆直观图，即2=222222
ABC S S ∆⋅=⨯=直观图. 故选：D.
【点睛】
本题考查了斜二侧画直观图，三角形的面积公式，需要注意的是与原图与直观图的面积之比为22，属于基础题.
8．B
【解析】
【分析】
对每一个选项逐一分析判断得解.
【详解】
A.，分别为
，的中点， ，又
，与所成的角为，故不正确； ，
，不成立，故A 不正确． B. 是
的直径，点是圆周上不同于，的任意一点，
，
垂直
所在的平面，所在的平面， ，
又
，平面， 又平面，平面平面，故B 正确；
C. 是的直径，点是圆周上不同于，的任意一点， ，又、、、共面，与不垂直， 平面不成立，故不正确； ，分别为，的中点， ，又，与所成的角为，故不正确；
D. 是的直径，点是圆周上不同于，的任意一点， ，又、、、共面，与不垂直，
平面
不成立，故D 不正确.
故选B.
【点睛】 本题主要考查空间位置关系的证明，考查异面直线所成的角的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.
9．C
【解析】
【分析】
由三视图知几何体为三棱锥，且三棱锥的高为2，底面是直角边长分别为1，2的直角三角形，代入体积公式计算可得答案．
【详解】
解：由三视图知几何体为三棱锥，且三棱锥的高为2，
底面是直角边长分别为1，2的直角三角形， ∴三棱柱的体积V 1112232=
⨯⨯⨯⨯=23
． 故选：C ．
【点睛】
本题考查了由三视图求几何体的体积，解题的关键是判断几何体的形状及数据所对应的几何量． 10．C
【解析】
【分析】
代入1n =求得1a ；根据1n n n a S S -=-可证得数列{}n a 为等比数列，从而利用等比数列通项公式求得结果.
【详解】
当1n =时，11231S a =- 11a ∴=
当2n ≥且*n N ∈时，11231n n S a --=-
则111222313133n n n n n n n S S a a a a a ----==--+=-，即13n n a a -=
∴数列{}n a 是以1为首项，3为公比的等比数列 13n n a -∴=
本题正确选项：C
【点睛】
本题考查数列通项公式的求解，关键是能够利用1n n n a S S -=-得到数列{}n a 为等比数列，属于常规题型. 11．C
【解析】
【分析】
直接用向量的坐标运算即可得到答案.
【详解】
由(1,2)a =，(1,0)b =-.
()()()221,21,03,4a b -=--=
故选：C
【点睛】
本题考查向量的坐标运算，属于基础题.
12．A
【解析】
()()()112AP AB BP AB BP AB AP AB AB AP AB AC
λλλλλλ→=→+→=→+→=→+→-→=-→+→=-→+→ 由题意得：29AP AB AC
m →=→+→ 229λ
∴= 4
9λ= 则519
m λ=-=
故选A
二、填空题：本题共4小题
13．1
【解析】
【分析】
由已知中二面角α﹣l ﹣β等于110°，A 、B 是棱l 上两点，AC 、BD 分别在半平面α、β内，AC ⊥l ，BD ⊥l ，且AB ＝AC ＝BD ＝1，由22()CD CA AB BD =++，结合向量数量积的运算，即可求出CD 的长．
【详解】
∵A 、B 是棱l 上两点，AC 、BD 分别在半平面α、β内，AC ⊥l ，BD ⊥l ，
又∵二面角α﹣l ﹣β的平面角θ等于110°，且AB ＝AC ＝BD ＝1，
∴0CA AB AB BD ⋅=⋅=，CA DB =＜，＞60°，1160CA BD cos ⋅=⨯⨯︒
∴2
2()CD CA AB BD =++ 2222422=CA AB BD CA AB AB BD CA BD =+++⋅+⋅+⋅
||2CD =
故答案为1．
【点睛】
本题考查的知识点是与二面角有关的立体几何综合题，其中利用22()CD CA AB BD =++，结合向量数量积的运算，是解答本题的关键．
14．23
【解析】
【分析】
采用分离常数法对所给极限式变形，可得到极限值.
【详解】
211223211233lim lim lim []313133(31)3
n n n n n n n n →+∞→+∞→+∞+--==-=+++. 【点睛】
本题考查分离常数法求极限，难度较易.
15．5
【解析】
【分析】
利用11,1,2
n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩求得n a ，进而求得4a 的值. 【详解】
当1n =时，111a S ==-，当2n ≥时，123n n n a S S n -=-=-，当1n =时上式也满足，故{}n a 的通项公式为23n a n =-，故4835a =-=.
【点睛】
本小题主要考查已知n S 求n a ，考查运算求解能力，属于基础题.
16
．【解析】
【分析】
由题意利用韦达定理求得tan α、tan β 的值，再利用两角差的正切公式，求得要求式子的值．
【详解】
解：tan α、tan β是方程2240x x --=的两根，
tan tan 2αβ∴+=，tan tan 4αβ⋅=-，
tan 1α∴=+
，tan 1β=
tan 1α=
tan 1β=+
则tan tan tan()1tan tan α
βαβαβ--==+， 故答案为：． 【点睛】 本题主要考查韦达定理，两角差的正切公式，属于基础题．
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（1）212n n
a -=；（2）21n n T n =+ 【解析】
【分析】
（1）按等比数列的概念直接求解即可；（2）先求出n b 的表达式，再利用裂项相消法即可求得数列11n n b b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭
的前n 项和n T .
【详解】
（1）由等比数列通项公式得： 112222
n n n n a --=⋅= 212n n a -∴= （2）由（1）可得：212log 2
21n n b n -==- ()()111111212122121-⎛⎫∴==- ⎪-+-+⎝⎭
b n b b n n n n 11111111112335212122121n n T n n n n ⎛⎫⎛⎫∴=
-+-+⋅⋅⋅+-=-= ⎪ ⎪-+++⎝⎭⎝⎭ 【点睛】
本题主要考查数列的通项公式问题及利用裂项相消法求和的问题，属常规考题.
18．（1）
14
（2）这样规定公平，详见解析 【解析】
【分析】 （1）利用列举法求得基本事件的总数，利用古典概型的概率计算公式，即可求解；
（2）利用古典概型及其概率的计算公式，求得(),()P B P C 的概率，即可得到结论.
【详解】
由题意，设从甲、乙两个盒子中各取1个球，其数字分别为x 、y.
用(,)x y 表示抽取结果，可得
(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4)，则所有可能的结果有16种，
（1）设“取出的两个球上的标号相同”为事件A ，则{(1,1),(2,2),(3,3),(4,4)}A =，
事件A 由4个基本事件组成，故所求概率41()164P A =
=. （2）设“甲获胜”为事件B ，“乙获胜”为事件C ，
则{}(2,1),(3,1),(3,2),(4,1),(4,2),(4,3)B =，{(1,2),(1,3),(2,3),(1,4),(2,4),(3,4)}C =. 可得63()()168
P B P C ===， 即甲获胜的概率是38，乙获胜的概率也是38
，所以这样规定公平. 【点睛】
本题主要考查了古典概型的概率的计算及应用，其中解答中认真审题，利用列举法求得基本事件的总数是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题题.
19．（1）{2x x >或}1x <-；（2）最小值为9.
【解析】
【分析】
（1）由一元二次不等式的解法即可求得结果；（2）由题()0f x =的根即为a ，b ，根据韦达定理可判断a ，b 同为正，且1a b +=，从而利用基本不等式的常数代换求出
14a b
+的最小值. 【详解】 （1）当2m =-时，不等式0f x >（
），即为220x x -->， 可得()()210x x -+>，
即不等式()0f x >的解集为{
2x x >或}1x <-.
（2）由题()0f x =的根即为a ，b ，故1a b +=，0ab m =>，故a ，b 同为正，
则14a b +=144()55249a b a b a b b a ⎛⎫⎛⎫++=++≥+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭， 当且仅当13a =
，23b =等号成立，所以14a b
+的最小值为9. 【点睛】 本题考查一元二次不等式的解法和基本不等式的知识，考查逻辑推理能力和计算能力，属中档题.
20．（1）2
1
n n S n =+．（2）见解析． 【解析】
（1）由2(1)n n S n a n n --＝可得，当2n ≥时，21()(1)n n n S n S S n n ----＝，两式相减可1n n S n +⎧⎫⎨⎬⎩⎭
是等差数列，结合等差数列的通项公式可求
1n n S n +进而可求（2）由（1）可得111()213
n b n n =-++，利用裂项相消法可求和，即可证明．
试题分析：（1）（2） 试题解析：（1）由2(1)n n S n a n n =--知，当212()(1)n n n n S n S S n n -≥=---时
即22121
(1)n n n n S n S n n -≥--=-时（） 所以11211
n n n n n S S n n -+≥-=-时， 而11111
S += 故数列1n n S n +⎧⎫⎨⎬⎩⎭
是以1为首项，1为公差的等差数列，且 （2）因为
所以
考点：数列递推式；等差关系的确定；数列的求和
21．（1）3，4，1；（2）84π元．
【解析】
【分析】
（1）由题意，根据周长、三边关系、勾股定理，a ，b ，c ，建立方程组，解得即可.
（2）根据题意，旋转得到的几何体为由底面半径为
125
米，母线长分别为米3和4米的两个圆锥所组成的几何体，计算几何体的表面积再乘单价即可求解.
【详解】
（1）由题意得12a b c ++=，2b a c =+，
所以4b =，
又222+=a b c ，且8a c +=，
二者联立解得3a =，5c =，
所以a ，b ，c 的值分别为3，4，1． （2）绕其斜边旋转一周得到的几何体为由底面半径为125
米， 母线长分别为米3和4米的两个圆锥所组成的几何体， 故其表面积为1212844+3555
S πππ=⨯⨯⨯⨯=平方米． 因为每平方米油漆的造价为1元， 所以所涂的油漆的价格为
84 5=845ππ⨯元． 所涂的油漆的价格为：84π元．
【点睛】
本题考查三角形三边关系及旋转体表面积的应用，考查计算能力与空间想象能力，属于基础题. 22．证明见解析
【解析】
【详解】
证明：EH ⊄平面BCD ，
FG ⊂平面BCD ，且//EH FG ，
//EH 平面BCD ，
EH ⊂平面ABD,
平面ABD ⋂平面BCD BD =,
//EH BD ∴.。