四川省宜宾市叙州区第一中学2021届高三数学一诊模拟试题 文.doc

四川省宜宾市叙州区第一中学2021届高三数学一诊模拟试题 文
第I 卷 (选择题 共60分）
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题所给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的，把正确选项的代号填在答题卡的指定位置.） 1．若复数21i
z i
-=
+， 则||z = A ．1
B ．10
C ．
102
D ．3
2．已知集合{}A |2,x x x R =≤∈，集合B 为函数y lg(1)x =-的定义域，则B A ⋂ A ．(1,2)
B ．[1,2]
C ．[1,2)
D ．(1,2]
3．已知a 、b 为实数，则
是
的
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
4．在ABC ∆中，若2,23,30,a b A ===︒则B 等于 A ．30
B ．30150︒︒或
C ．60︒
D ．60120︒︒或
5．秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州（现四川省安岳县）人，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法.如图的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例，若输入的值为2，则输出的值为
A ．
B ．
C ．
D ．
6．已知点P 是椭圆22
214
x y a += (a ＞2)上的一点，F 1，F 2分别是椭圆的左、右焦点，且△PF 1F 2
的周长为12，则椭圆的离心率为 A ．45 B ． 56 C ．12 D ．2
2
7．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为
A ．12
B ．18
C ．24
D ．30 8．已知5
3
)2cos(=+
π
α,则=α2cos A ．51
-
B ．
5
1
C ．25
7
-
D ．
25
7 9．已知F 是抛物线2
:2(0)C y px q =>的焦点，过点(2,1)R 的直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点，R 为线段AB 的中点，若5FA FB +=，则直线l 的斜率为 A ．3
B ．1
C ．2
D ．
12
10．已知三棱锥P ABC -的四个顶点都在半径为2的球面上，AB BC CA 22===，PA ⊥平面ABC ，则三棱锥P ABC -的体积为 A ．6
B ．22
C ．
9
4
D ．
83
11．已知三棱锥BCD A -中，,,AC AB AC AB ⊥=DC BD ⊥，6
π
=∠DBC ，若三棱锥BCD
A -的最大体积为
2
3
，则三棱锥BCD A -外接球的表面积为 A.34π
B.8π
C.12π
D.312π
12．已知偶函数()f x （0x ≠）的导函数为
'()f x ，且满足(1)0f =.当0x >时，
'()2()xf x f x <，则使得()0f x >成立的x 的取值范围是
A ．(,1)(0,1)-∞-
B ．(,1)(1,)-∞-+∞
C ．(1,0)(0,1)-
D ．),1()0,1(+∞-
第Ⅱ卷（非选择题共90分）
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
13．双曲线2
2x y 12
-=的离心率是__________.
14．若00x y >>，，且4xy =，则
11
x y
+的最小值为______； 14.为弘扬我国优秀的传统文化，某小学六年级从甲、乙两个班各选出7名学生参加成语知识竞赛，他们取得的成绩（满分100分）的茎叶图如图，其中甲班学生的平均分是85，乙班学生成绩的中位数是83，则
y
x
的值为 ． 16．平面上线段4GH =，如果三角形GPH 上的顶点P 永远保持2PG PH =，那么随着P 的运动,三角形GPH 面积的最大值等于_________.
三、解答题（共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，第17 ~ 21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答.）
17.（12分）根据《中华人民共和国道路交通安全法》规定：“车辆驾驶员血液酒精溶度（单位mg/100ml ）/在[)80,20，属于酒后驾驶；血液浓度不低于80，属于醉酒驾驶。

”2021年“中秋节”晚9点开始，济南市交警队在杆石桥交通岗前设点，对过往的车辆进行检查，经过4个小时，共查处喝过酒的驾驶者60名，下图是用酒精测试仪对这60名驾驶者血液中酒精溶度进行检测后所得结果画出的频率分布直方图。

（Ⅰ）求这60名驾驶者中属于醉酒驾车的人数（图中每组包括左端点，不包括右端点） （Ⅱ）若以各小组的中值为该组的估计值，频率为概率的估计值，求这60名驾驶者血液的酒精浓度的平均值。

第19题图
E
P
A
D
C
F
18．（12分）如图，在四边形ABCD 中，22
,3,sin 33
ADC AD BCD π∠=
=∠=，连接,34BD BD BC =.
（Ⅰ）求BDC ∠的值； （Ⅱ）若3,3
BD AEB π
=∠=，求ABE ∆的面积最大值.
19．(12分)四棱锥ABCD E -中,⊥AP 平面ABCD ，22
1
==
==AB BC DC AD ，3=AP ，E 为AP 的中点，CD AB //，过点A 作BP AF ⊥于F . （Ⅰ） 求证：//DE BCP 平面；
（Ⅱ）求三棱锥P EFC -的体积.
20．（12分）已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为2
2
，且以两焦点为直径的圆
的内接正方形面积为2． （Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；
（Ⅱ）若直线l ：2y kx =+与椭圆C 相交于A ，B 两点，在y 轴上是否存在点D ，使直线AD 与BD 的斜率之和AD BD k k +为定值？若存在，求出点D 坐标及该定值，若不存在，试说明理由．
21．（12分）已知函数().x
f x e =
（Ⅰ）讨论函数()()g x f ax x a =--的单调性； （Ⅱ）证明：()3ln f x x
x ++>
（二）选考题：共10分，请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.
22. [选修4-4：坐标系与参数方程]（10分） 在平面直角坐标系中，曲线1C 的参数方程为2cos sin x r y r ϕ
ϕ=+⎧⎨
=⎩
（0r >，ϕ为参数），以坐标原
点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线1C 经过点6P π⎛
⎫ ⎪⎝
⎭，曲线2C 的极坐
标方程为()2
2cos26ρ
θ+=．
（Ⅰ）求曲线1C 的极坐标方程；
（Ⅱ）若1,6A πρα⎛⎫- ⎪⎝⎭，2,3B πρα⎛⎫+ ⎪⎝
⎭是曲线2C 上两点，求2211OA OB +的值．
23．（10分）已知函数()1f x x =-.
（Ⅰ）解不等式1
()2
f x >
；
（Ⅱ）若正数a ，b ，c ，满足124()22
a b c f ++=+.
四川省叙州区第一中学高2021届一诊模拟考试
文科数学试题参考答案
1．C 2．D
3．B
4．D
5．C
6．A
7．C
8．D
9．B
10．D
11．C 12．C
13．
2
6
. . 14．1 15．
35
16．
3
16 17：(1)由频率分布直方图可知： 醉酒驾驶的频率为 所以醉酒驾驶的人数为(人)
（2）由频率分布直方图可知 酒精浓度 25 35 45 55 65 75 85 频率 0.25
0.15
0.2
0.15
0.1
0.1
0.05
所以250.25350.15450.2550.15650.1750.1850.05x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯ =47
18．（Ⅰ）在BCD ∆中，由正弦定理得sin sin BD BC
BCD BDC
=∠∠，
∴sin 321
sin 432
BC BCD BDC BD ⋅∠∠=
=⨯=． ∵34BD BC =，∴ BD BC >， ∴BDC ∠为锐角，∴6
BDC π
∠=
．
（Ⅱ）在ABD ∆中，23,3,362
AD BD ADB πππ
==∠=-=， ∴22223(3)23AB AD BD =
+=+=在ABE ∆中，由余弦定理得2
2
2
2cos
3
AB AE BE AE BE π
=+-⋅⋅，
∴22122=AE BE AE BE AE BE AE BE AE BE =+-⋅≥⋅-⋅⋅，当且仅当AE BE =时等号成
立，
∴12AE BE ⋅≤，
∴11sin 122322
ABE S AE BE π∆=
⋅⋅⋅≤⨯⨯=，即ABE ∆
面积的最大值为 19.(I)证明:取PB 的中点M ，连接MC EC ,,因为E 是AP 的中点，
∴AB EM //,AB EM 2
1
=
故CD EM //,CD EM =
∴四边形CDEM 为平行四边形， 3 分
MC ED //，CBP CM 面⊂，CBP DE 面⊄
所以BCP DE 平面// 5 分 (II)过C 作AB CN ⊥交AB 于N 点，因为⊥AP 平面ABCD
∴CN AP ⊥，ABP CN 面⊥，所以CN 为点C 到面PEF 的距离
而 32
2
=-=BN CB CN
在直角ABP ∆中，BP AF ⊥，3=AP ，4=AB AP=5，5
12
=⋅=BP AP AB AF ,5
9
22=
-=AF AP PF 8 分
∴25274
1
21=⋅==∆∆PF AF S S PAF PEF , 325
931PEF -=⋅=∆PEF C S CN V 三棱锥 10 分 PEF -C EFC P V V 三棱锥三棱锥=- ∴
三
棱
锥
EFC
P -的体积
325
9
12 分
20：（1）
由已知可得222
,224,c a csin a b c π⎧=⎪⎪
⎪=⎨⎪=+⎪⎪⎩
解得22a =，22
1b c ==，所求椭圆方程为2
212x y +=．
（2）由2
21,22,x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩
得()22
12860k x kx +++=，
E
A
则(
)2
2
2
64241216240k k
k
∆=-+=->
，解得k <
k >．
设()11,A x y ，()22,B x y ，则122812k x x k +=-+，122
612x x k
=+， 设存在点()0,D m ，则11
AD y m k x -=
，22BD y m k x -=，
所以()
12211212
AD BD y x y x m x x k k x x +-++=
()()
121212
22kx x m x x x x +-+=
()
6423
k k m --=
．
要使AD BD k k +为定值，只需()642684k k m k k mk --=-+ ()221m k =-与参数k 无关， 故210m -=，解得1
2
m =， 当1
2
m =
时，0AD BD k k +=． 综上所述，存在点10,
2D ⎛⎫
⎪⎝
⎭
，使得AD BD k k +为定值，且定值为0． 21．（1）解：()()(),1x
x
g x f ax x a e x a g x ae =--=-='--， ①若0a ≤时，()()0,g x g x '<在R 上单调递减； ②若0a >时，当1
ln x a a
<-时，()()0,g x g x '<单调递减； 当1
ln x a a
>-
时，()()0,g x g x '>单调递增； 综上，若0a ≤时，()g x 在R 上单调递减； 若0a >时，()g x 在1,ln a a ⎛⎫-∞-
⎪⎝⎭上单调递减；在1ln ,a a ⎛⎫
-+∞ ⎪⎝⎭
上单调递增； （2）证明：要证(
)3ln f x x x ++
>(
)
ln 30x
x x e +->， 由（1）可知当1a =时，10x e x --≥，即1x e x ≥+，
当10x +>时，上式两边取以e 为底的对数，可得()ln 1(1)x x x +≤>-，
用1x -代替x 可得ln 1(0)x x x ≤->，又可得11
ln 1(0)x x x
≤->， 所以1
ln 1(0)x x x
≥-
>， (
)
1ln 3113x x x e x x x ⎛⎫
+->-+++- ⎪⎝⎭
(
)2
22211x x x =++-=+-
(
()
2
2
110≥-=≥，即原不等式成立.
22．（1）将1C 的参数方程化为普通方程得：()2
222x y r -+=
由cos x ρθ=，sin y ρθ=得1C 的极坐标方程为：2
2
4cos 40r ρρθ-+-=
将点6P π⎛
⎫
⎪⎝
⎭代入1C
中得：2
12406
r π
-+-=，解得：24r = 代入1C 的极坐标方程整理可得：4cos ρθ=
1C ∴的极坐标方程为：4cos ρθ=
（2）将点1,6A πρα⎛⎫
-
⎪⎝
⎭
，2,3B πρα⎛⎫
+
⎪⎝
⎭
代入曲线2C 的极坐标方程得： 212cos 263πρα⎡⎤⎛⎫+-= ⎪⎢⎥⎝
⎭⎣
⎦
，222222cos 22cos 2633ππραρα⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫++=--= ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝
⎭⎝
⎭⎣
⎦
⎣
⎦
2222
122cos 22cos 2111123363OA OB
ππααρρ⎛⎫⎛
⎫+-+-- ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭∴+=+== 23．解：（1
）因为()1f x x =
-，
所以()21f x x x =---
①当1x ≤时，()2(1)1f x x x =---=，由1
()2f x >
，解得1x ≤； ②当12x <<时，()32f x x =-，由1()2f x >，即1
322
x ->，
解得54x <，又12x <<，所以5
14
x <<；
③当2x ≥时，()1f x =-不满足1
()2
f x >，此时不等式无解
优质资料\word 可编辑
- 11 - / 11- 11 - 综上，不等式1()2f x >的解集为：5(,)4
-∞ （2）解法1：124()232
a b c f ++=+= 12412424()3
a b c a b c a b c ++∴++=++⨯ 1[(1416)3=+++224488]b a c a c b a b a c b c +++++
1(213≥+
493
=当且仅当37a b c ===时等号成立.
3
解法2：124()232a b c f ++=+=1241124(24)()3a b c a b c a b c ∴++=++++ ,,0a b c >∴
由柯西不等式：上式
2221]3=++
⋅222⎡⎤++⎢⎥⎣⎦
213⎡≥⎢⎣2149(124)3
3=++= 当且仅当37a b c ===时等号成立.。