弗里施沃定理的证明

弗里施沃定理的证明
弗里施沃定理（Frobenius-Schur Theorem）是群论的一个定理，描述了有限群在复数域上的不可约表示的一些重要性质。

下面是弗里施沃定理的证明和相关参考内容：
证明：我们将使用表示论的一些基本概念和结果来证明弗里施沃定理。

首先，我们需要了解一些基本定义。

定义1：给定一个有限群G和一个复数域上的有限维线性表示V，如果对于G的任意元素g和V的任意向量v，都有gv =
λ(g)v，其中λ(g)是一个复数，那么称V为G的一个表示。

定义2：如果一个表示V的所有λ(g)都是单位复数（即
|λ(g)|=1），那么称V为G的一个保持符号的表示。

定理1（Frobenius-Schur定理）：对于有限群G，它的保持符
号的不可约复表示只能具有维度1和维度2。

证明思路：为了证明这个定理，我们将首先证明一个引理，然后利用这个引理来证明定理1。

引理：设V是有限群G的一个保持符号的不可约复表示，对
于每个g∈G，令χ(g) = trace(ρ(g))，其中ρ是V的表示矩阵，
那么χ(g)一定是实数。

证明引理：设V的维度为n，令ρ(g) = [a_ij]为V的表示矩阵。

由于V是保持符号的，所以ρ(g)的每个特征值λ都满足|λ|=1。

根据代数学的基本定理，V存在一个正交基{v_1, v_2, ..., v_n}，使得ρ(g)v_i = λ(g)i v_i，其中λ(g)i是ρ(g)的第i个特征值。

考虑特征值的共轭：设λ(g)i = x + yi，其中x和y是实数，那
么有|λ(g)i|^2 = |x + yi|^2 = x^2 + y^2 = 1。

根据复数的性质，这
意味着x^2 = 1 - y^2，所以x^2是一个非负实数。

另一方面，trace(ρ(g)) = a_11 + a_22 + ... + a_nn = λ(g)1 + λ(g)2 + ... + λ(g)n = (λ(g)1 + λ(g)1^*) + (λ(g)2 + λ(g)2^*) + ... + (λ(g)n
+ λ(g)n^*) = 2(x_1 + x_2 + ... + x_n)。

因此，我们可以得出结论，trace(ρ(g))是一个实数。

由于g是
G的任意元素，所以这个结论对于G的任意元素都成立，即
χ(g)是实数。

现在我们来证明定理1。

证明定理1：设V是G的一个保持符号的不可约复表示。

根
据引理的结论，对于G的任意元素g，χ(g)是实数。

现在我们
需要证明V的维度只能为1或2。

假设V的维度大于2，即n > 2。

我们考虑χ(g)和χ(g^2)之间的关系，其中g^2是g的平方。

根据复表示的定义和矩阵的迹的
性质，我们可以得出结论：χ(g^2) = trace(ρ(g^2)) = trace(ρ(g)^2) = |χ(g)|^2 ≥ 0。

另一方面，根据Frobenius-Schur定理的假设，V是保持符号的，所以存在一个元素g使得χ(g) ≠ 1。

于是我们有χ(g) +
χ(g^{-1}) ≠ 2。

由于χ(g^{-1}) = χ(g)^{-1}，我们可以推出χ(g) + χ(g^{-1}) ≠ χ(g) + χ(g)^{-1} = 2。

综上所述，我们得出结论：对于G的任意元素g，χ(g) +
χ(g^{-1}) ≠ 2且χ(g^2) ≥ 0。

这与复表示矩阵的特征值的性质矛盾。

因此，我们可以得出结论，V的维度只能为1或2，这就完成了对定理1的证明。

参考内容：
1. Serre, J. P. (1977). Linear representations of finite groups. Springer-Verlag.
2. Fulton, W., & Harris, J. (1991). Representation Theory: A First Course (Graduate Texts in Mathematics). Springer-Verlag.
3. Etingof, P., Golberg, I., Hensel, S., Liu, T., Schwendner, A., Vaintrob, A., & Yudovina, E. (2011). Introduction to Representation Theory (Student Mathematical Library, Vol. 59). American Mathematical Society.
4. 志渊谦治（译）。

（2005）。

《群论导引》。

高等教育出版社。