北京版-数学-九年级上册-19.4 二次函数的一些应用 课堂导学

二次函数的一些应用
名师导学
典例分析
例1 在以x 为自变量的二次函数y=－x2+(2m+2)x －(m2+4m －3)中，m 为非负整数，它的图象与x 轴交于A 和B 两点(A 在原点左边，B 在原点右边)，求此二次函数的表达式.
思路分析:求此表达式关键是确定m 的值，若设图象与x 轴两交点的横坐标分别为x1和x2(不妨设x1<x2)，则x1、x2是方程－x2+(2m+2)x －(m2+4m －3)=0的两个根，x1<0，
x2>0⎩⎨⎧<>-⇒,0,
04212x x ac b 从而确定m 的值.
解：根据题意可知方程－x2+(2m+2)x －(m2+4m －3)=0有两个异号实数根.
∴⎩⎨⎧<>-,0,04212x x ac b 即⎩⎨⎧<-+>-+-+.034,0)34(4)22(222m m m m m ②①
由①解得m<2.又∵m 是非负整数∴m=0或1，分别代入②验证.∵当m=0时，m2+4m －3=－3<0，适合；当m=1时，m2+4m －3=2>0，不适合，应舍去.∴m=0，所求二次函数表达式为y=－x2+2x+3. 例2 某公司生产的A 种产品，它的成本是2元，售价是3元，年销售量100万件.为了获得更好的效益，公司准备拿出一定的资金做广告.根据经验，每年投入的广告费是x(10万元)
时，产品的年销售量将是原销售量的y 倍，且1531012++-
=x x y ，如果把利润看成是销售总额减去成本费和广告费，(1)试写出年利润S(10万元)与广告费x(10万元)的函数关系式.(2)如果投入广告费为10～30万元，问广告费在什么范围内，公司获得的年利润随广告费的增大而增大？(3)在(2)中，投入的广告费为多少万元时，公司获得的年利润最大？是多少？
思路分析：(1)由于原年销售量为100万件，即10个10万件，故当投入x(10万元)的广告
费时，年销售量将为y×10=)153101(102++-
x x 十万件，从而年利润S 应为)23()153101(102-⨯++-x x ，再减去广告费x ，即为公司所获利润，从而能得到S 与x 的关系式；(2)由投入广告费为10～30万元，可知1<x<3，并借助S 与x 的图象即可得到结论；
(3)可利用二次函数的最值问题得到结论.
解：(1)∵年销售量为100万件，即10个10万件，当投入x(10万元)广告费后，年销售应
为y×l0，即)153101(102++-
x x (10万件)，从而有x x x S --⨯++-=)23()153101(102 1052++-=x x .
(2)∵
465)25(10522+--=++-=x x x S ，故可画出如图20－5－2所示的草图.由于年广告费在10万元到30万元之间，所以1≤x≤3，借助图象和表达式可知，当x=25
时，S 能取得最大值，故当广告费在10万元至25万元之间时，公司获得的年利润随广告费的增大而增大.
(3)当x=25时，S 的最大值为465
(10万元)，即当投入的广告费为25万元时，该公司的年利润的最大值为162.5万元。

突破易错☆挑战零失误
规律总结
善于总结★触类旁通
1 方法点拨：解决此类题的关键是熟知一元二次方程的相关知识，因此，在学习这部分知识的同时，应及时复习旧知识.另外，充分挖掘题目中的隐含条件也是解好本题目的关键，得出答案后勿忘验证答案.
2 方法点拨：此类题目中的单位转换很重要，很容易由于把握不准而致错，就本题而言，也可将10万元化为100 000元来进行计算，但会出现较大的计算量.另外在解决此类问题时应结合图象，由于自变量的限制，往往只涉及图象的一部分(因为是实际问题)，这一点应引起注意.。