2020年 (文科)数学高考高效提分 纠错本之 专题03 导数及其应用

专题03 导数及其应用
易错点1 不能正确识别图象与平均变化率的关系
A ，
B 两机关单位开展节能活动，活动开始后两机关的用电量()()12W t W t ,与时间t (天)的关系如图
所示，则一定有
A ．两机关单位节能效果一样好
B ．A 机关单位比B 机关单位节能效果好
C ．A 机关单位的用电量在0[0]t ,上的平均变化率比B 机关单位的用电量在0[0]t ,上的平均变化率大
D ．A 机关单位与B 机关单位自节能以来用电量总是一样大 【错解】选C.
因为在(0，t 0)上，()1W t 的图象比()2W t 的图象陡峭，所以在(0，t 0)上用电量的平均变化率，A 机关单位比B 机关单位大．
【错因分析】识图时，一定要结合题意弄清图形所反映的量之间的关系，特别是单调性，增长(减少)的快慢等要弄清．
1．平均变化率
函数()y f x =从1x 到2x 的平均变化率为
21
21
()()
f x f x x x --，若21x x x ∆=-，2(
)y f x ∆=-1()f x ，则平
均变化率可表示为y
x
∆∆.学科+网 2．瞬时速度
一般地，如果物体的运动规律可以用函数()s s t =来描述，那么，物体在时刻t 的瞬时速度v 就是物体在
t 到t t +∆这段时间内，当t ∆无限趋近于0时，
s
t
∆∆无限趋近的常数.
1．巍巍泰山为我国的五岳之首，有“天下第一山”之美誉，登泰山在当地有“紧十八，慢十八，不紧不慢又十八”的俗语来形容爬十八盘的感受，下面是一段登山路线图．同样是登山，但是从A 处到B 处会感觉比较轻松，而从B 处到C 处会感觉比较吃力．想想看，为什么？你能用数学语言来量化BC 段曲线的陡峭程度吗？
【答案】见解析.
【解析】山路从A 到B 高度的平均变化率为h AB ＝1001
5005
-=-，
山路从B 到C 高度的平均变化率为h BC ＝
15101
70504
-=-， ∴h BC >h AB ，
∴山路从B 到C 比从A 到B 要陡峭的多．
易错点2 求切线时混淆“某点处”和“过某点”
若经过点P (2,8)作曲线3
y x =的切线，则切线方程为
A ．12160x y --=
B ．320x y -+=
C ．12160x y -+=或320x y --=
D ．12160x y --=或320x y -+=
【错解】设()3f x x =，由定义得f ′(2)=12，
∴所求切线方程为()8122y x -=-，即12160x y --=.
【错因分析】曲线过点P 的切线与在点P 处的切线不同．求曲线过点P 的切线时，应注意检验点P 是否在曲线上，若点P 在曲线上，应分P 为切点和P 不是切点讨论．
【参考答案】D
1．导数的几何意义
函数()y f x =在0x x =处的导数0()f x '就是曲线()y f x =在点00(,())x f x 处的切线的斜率k . 2．曲线的切线的求法
若已知曲线过点00(),P x y ，求曲线过点P 的切线，则需分点P (x 0，y 0)是切点和不是切点两种情况求解： （1）当点00(),P x y 是切点时，切线方程为()000()y y f x x x '-=-；
（2）当点00(),P x y 不是切点时，可分以下几步完成： 第一步：设出切点坐标P ′(x 1，f (x 1))；
第二步：写出过()11()P x f x '，的切线方程为()()()111 y f x f x x x -='-； 第三步：将点P 的坐标(x 0，y 0)代入切线方程求出x 1；
第四步：将x 1的值代入方程()()()111 y f x f x x x -='-，可得过点00(),P x y 的切线方程．
2．过点()e,e -作曲线e x
y x =-的切线，则切线方程为
A ．()21e e y x =--+
B ．()2e 1e y x =--
C ．()e 1e 2e 1e y x ++=--
D ．()
e e 1e 1e y x +=--
【答案】C
【解析】由e x y x =-，得e 1x y '=-，设切点为000e x
x x （-，），则00|e 1x
x x y '-＝＝，∴切线方程为
()
()0000e e 1x x y x x x ---＝+，∵切线过点()e,e -，∴−e x 0＝e x 0(e −x 0)，解得0e 1x =+．∴切线方程为
e 1e 1
e e e 1y x x ++-=---（），整理得：()
e 1e 2e 1e y x ++=--.
故选C ．
在求曲线()y f x =的切线方程时，要注意区分是求某点处的切线方程，还是求过某点（不在曲线()f x 上）的切线方程，前者的切线方程为()()()000y f x f x x x -='-，其中切点()()
00,x f x ，后者一般先设出切点坐标，再求解.
易错点3 不能准确把握导数公式和运算法则
求下列函数的导数：
（1）22
()2f x a ax x =+-； （2）sin ()ln
x x
f x x
=
. 【错解】（1）2
2
()(2)22f x
a ax x a x ''=+-=+； （2）2sin (sin )sin cos ()(
)sin cos 1ln (ln )x x x x x x x
f x x x x x x x x
'+''====+'
.
【错因分析】（1）求导是对自变量求导，要分清表达式中的自变量.本题中的自变量是x ，a 是常量；（2）商的求导法则是：分母平方作分母，分子是差的形式，等于分子的导数乘以分母的积减去分母的导数乘以分子的积.本题把分数的导数类同于分数的乘方运算了.
1．导数计算的原则
先化简解析式，使之变成能用八个求导公式求导的函数的和、差、积、商，再求导． 2．导数计算的方法
①连乘积形式：先展开化为多项式的形式，再求导；
②分式形式：观察函数的结构特征，先化为整式函数或较为简单的分式函数，再求导； ③对数形式：先化为和、差的形式，再求导； ④根式形式：先化为分数指数幂的形式，再求导；
⑤三角形式：先利用三角函数公式转化为和或差的形式，再求导；
3．若函数()f x 满足()()3
2113
f x x f x x '=-⋅-，则()1f '的值为 A ．0 B ．2 C ．1
D ．1-
【答案】A
【解析】()()2211,f x x f x ''=--令x =1,则()()()()211211121,10.f f f f '''=-⨯-='-∴= 故答案为A.
（1）要准确记忆导数公式表和导数的运算法则，不要将幂函数()y x αα=∈Q 与指数函数(0x
y a a =>且
1)a ≠的导数公式，sin y x =与cos y x =的导数，ln y x =与lg y x =的导数及积与商的导数公式记混弄
错．
（2）本题中()1f '要将其看作一个常数进行计算，否则无法求解．
易错点4 审题不细致误
设函数()2ln a
f x ax x x
=-
-. （1）若()20f '=，求函数()f x 的单调区间；
（2）若()f x 在定义域上是增函数，求实数a 的取值范围． 【错解】（1）∵()2
2a f x a x x '=+-，∴()2104a f a '=+-=，∴4
5
a =. ∴()()2224422
252555f x x x x x x
'=
+-=-+， 令()0f x '>，得2x >或12x <，令()0f x '<，得1
22
x <<，
∴函数()f x 的单调递增区间为122()()-∞+∞U ，，，单调递减区间为1
()2
2，．
（2）∵()f x 在定义域上为增函数，∴()0f x '≥恒成立，
∵()222
22a ax x a f x a x x x
-+'=+-=，∴2
20ax x a -+≥恒成立， ∴2
0440
a a >⎧⎨
∆=-≤⎩，∴1a ≥，即实数a 的取值范围是[1,)+∞.学！科网
【错因分析】错解有多处错误：一是忽视了定义域的限制作用，研究函数一定要注意函数的定义域；二是将单调区间取并集，函数的单调区间不要随意取并集；三是对不等式恒成立处理不当，对于自变量取值有限制条件的恒成立问题要和自变量在R 上取值的恒成立问题加以区分． 【试题解析】（1）由已知得x >0，故函数()f x 的定义域为(0，+∞)．
∵()22
a f x a x x '=+
-， ∴()2104
a
f a '=+-=，
∴45
a =.
∴()()2224422
252555f x x x x x x
'=+-=-+，
令()0f x '>，得2x >或12x <，令()0f x '<，得1
22
x <<，
∴函数()f x 的单调递增区间为()102)2(+∞,,,，单调递减区间为1
()2
2，．
【参考答案】（1）函数()f x 的单调递增区间为()1
02)2(+∞,,,，单调递减区间为1()2
2，；
（2）[1,)+∞.
用导数求函数()f x 的单调区间的“三个方法”： 1．当不等式()0f x '>(或()0f x '<)可解时， ①确定函数()y f x =的定义域； ②求导数()y f x '='；
③解不等式()0f x '>，解集在定义域内的部分为单调递增区间； ④解不等式()0f x '<，解集在定义域内的部分为单调递减区间． 2．当方程()0f x '=可解时， ①确定函数()y f x =的定义域；
②求导数()y f x '='，令()0f x '=，解此方程，求出在定义区间内的一切实根；
③把函数()f x 的间断点(即()f x 的无定义点)的横坐标和上面的各实数根按由小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数()f x 的定义区间分成若干个小区间；
④确定()f x '在各个区间内的符号，根据符号判定函数在每个相应区间内的单调性． 3．当不等式()0f x '>(或()0f x '<)及方程()0f x '=均不可解时， ①确定函数()y f x =的定义域；
②求导数并化简，根据()f x '的结构特征，选择相应基本初等函数，利用其图象与性质确定()f x '的符号； ③得单调区间．
4．已知函数()2
ln f x x a x =-.
（1）若函数()f x 在点()()
3,3f 处切线的斜率为4，求实数a 的值； （2）求函数()f x 的单调区间；
（3）若函数()()21ln 222a a
g x x f x x ⎛⎫=--- ⎪⎝
⎭在[]1,4上是减函数，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）6；（2）见解析；（3）7,16⎡⎫
-+∞⎪⎢⎣⎭
. 【解析】（1）()2a f x x x ='-
，而()34f '=，即2343
a
⨯-=，解得6a =. （2）函数()f x 的定义域为()0,+∞.
①当0a ≤时，()0f x '>，()f x 的单调递增区间为()0,+∞；
②当0a >时，()2
2222222a a x x a x a f x x x x x
⎛
⎫⎛⎫-+ '⎪⎪
-⎝
⎭⎝⎭=-==.
当x 变化时，()(),f x f x '的变化情况如下:
由此可知，函数()f x 的单调递减区间是20,
2a ⎛
⎫
⎪ ⎪⎝⎭，单调递增区间是2,2a ⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭
. （3）()2
1ln 22
g x x ax x =--，于是()21212ax x g x ax x x +-=--=-'.
因为函数()g x 在[]1,4上是减函数，
所以()0g x '≤在[]1,4上恒成立，即
221
0ax x x
+-≥在[]1,4上恒成立. 又因为函数()g x 的定义域为()0,+∞， 所以有2
210ax x +-≥在[]1,4上恒成立.
于是有212
a x x ≥
-在[]1,4上恒成立， 设1t x =，则1
14
t ≤≤，
所以有()22
211a t t t ≥-=--，114
t ≤≤，
当14t =时，()2
11t --有最大值716
-，
于是要使()0g x ≤在[]1,4上恒成立，只需716a ≥-
，即实数a 的取值范围是7,16⎡⎫
-+∞⎪⎢⎣⎭
.
若()f x 的单调减区间为[],m n ，则在()x m x n ==的两侧函数值异号，且()()0()0f m f n '='=；
若()f x 在区间[],m n 上单调递减，则()0f x '≤在[],m n 上恒成立．
易错点5 极值的概念理解不透彻
已知()3
2
2
f x x ax bx a =+++在1x =处有极值10，则a b +=________.
【错解】7-或0
由题得，2
()32f x x ax b '=++，由已知得2(1)10110,,(1)0230f a a b f a b =⎧+++=⎧∴⎨⎨'=++=⎩⎩解得411a b =⎧⎨
=-⎩或3
3
a b =-⎧⎨=⎩，所以a b ＋等于7-或0.
【错因分析】极值点的导数值为0，但导数值为0的点不一定为极值点，错解忽视了“()101f x '=≠>=是f (x )的极值点”的情况．
【试题解析】由题得，2
()32f x x ax b '=++，由已知得2(1)10110,,(1)0230f a a b f a b =⎧+++=⎧∴⎨⎨'=++=⎩⎩解得4
11
a b =⎧⎨
=-⎩或3
3a b =-⎧⎨=⎩
，所以a b ＋等于7-或0.
当4,11a b ==-时，2
()3811(311)(1)f x x x x x '=+-=+-在x =1两侧的符号相反，符合题意.
当3,3a b =-=时，2
()3(1)f x x '=-在x =1两侧的符号相同，所以3,3a b =-=不合题意，舍去. 综上可知，4,11a b ==-， 所以7a b +=-. 【参考答案】7-
对于给出函数极大(小)值的条件，一定既要考虑()00f x '＝，又要考虑在0x x =两侧的导数值符号不同，否则容易产生增根．
1．函数极值的判断：先确定导数为0的点，再判断导数为0的点的左、右两侧的导数符号． 2．求函数()f x 极值的方法： ①确定函数()f x 的定义域． ②求导函数()f x '． ③求方程()0f x '=的根．
④检查()f x '在方程的根的左右两侧的符号，确定极值点．如果左正右负，那么()f x 在这个根处取得极大值，如果左负右正，那么()f x 在这个根处取得极小值，如果()f x '在这个根的左右两侧符号不变，则
()f x 在这个根处没有极值．学@科网
3．利用极值求参数的取值范围：确定函数的定义域，求导数()f x '，求方程()0f x '=的根的情况，得关于参数的方程(或不等式)，进而确定参数的取值或范围.
5．若函数()()
23e x f x x ax =++在()0,+∞内有且仅有一个极值点，则实数a 的取值范围是 A ．(
,22⎤-∞-⎦
B ．()
,22-∞- C ．(],3-∞-
D ．(),3-∞-
【答案】C
【解析】()()2
23e x
f x x a x a '⎡⎤=++++⎣⎦，因为函数()f x 在()0,+∞内有且只有一个极值点，所以
()00f '<，即30,3a a +<<-，又当3a =-时，()()2e x f x x x '=-，当0x >时，令()0,1f x x '==，
满足题意.所以3a ≤-，故选C.
（1）()f x 在0x x =处有极值时，一定有()00f x '=，()0f x 可能为极大值，也可能为极小值，应检验()f x 在0x x =两侧的符号后才可下结论；
（2）若()00f x '=，则()f x 未必在0x x =处取得极值，只有确认102x x x <<时，()()120f x f x ⋅<，才可确定()f x 在0x x =处取得极值．
（3）在本题中，不要遗漏掉3a =-这种特殊情况.
一、导数的概念及计算 1．导数的定义：00()()
()lim
lim
x x y f x+x f x f x x x
∆→∆→∆∆-'==∆∆. 2．导数的几何意义：函数()y f x =在0x x =处的导数()0f x '就是曲线()y f x =在点00(,())x f x 处的切线的斜率k ，即0()k f x '=.
求曲线()y f x =的切线方程的类型及方法
（1）已知切点()00,P x y ，求()y f x =过点P 的切线方程：求出切线的斜率f ′(x 0)，由点斜式写出方程； （2）已知切线的斜率为k ，求()y f x =的切线方程：设切点()00,P x y ，通过方程()0k f x ='解得x 0，再
由点斜式写出方程；
（3）已知切线上一点(非切点)，求()y f x =的切线方程：设切点()00,P x y ，利用导数求得切线斜率()0f x '，
再由斜率公式求得切线斜率，列方程(组)解得x 0，最后由点斜式或两点式写出方程．
（4）若曲线的切线与已知直线平行或垂直，求曲线的切线方程时，先由平行或垂直关系确定切线的斜率，
再由()0k f x ='求出切点坐标()00,x y ，最后写出切线方程． （5）①在点P 处的切线即是以P 为切点的切线，P 一定在曲线上.
②过点P 的切线即切线过点P ，P 不一定是切点．因此在求过点P 的切线方程时，应首先检验点P 是 否在已知曲线上． 3．基本初等函数的导数公式
函数
导数
4．导数的运算法则
（1）()()()()u x v x u x v x ±'⎡⎦'⎤±⎣'＝.
（2）()()()()()()·u x v x u x v x u x v x ⎡⎤⎣⎦'''＝＋. （3）2
()()()()()
[
](()0)()()
u x u x v x u x v x v x v x v x ''-'=≠. 5．复合函数的导数
复合函数()()
y f g x =的导数和函数()()y f u u g x ==,的导数间的关系为x u x y y u '='⋅'，即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积． 二、导数的应用
1．函数的单调性与导数的关系 一般地，在某个区间(a ,b )内：
①如果()0f x '>，函数f (x )在这个区间内单调递增; ②如果()0f x '<，函数f (x )在这个区间内单调递减; ③如果()=0f x '，函数f (x )在这个区间内是常数函数．
（1）利用导数研究函数的单调性，要在函数的定义域内讨论导数的符号；
（2）在某个区间内，()0f x '>(()0f x '<)是函数f (x )在此区间内单调递增(减)的充分条件，而不是必要条
件.例如，函数3
()f x x =在定义域(,)-∞+∞上是增函数，但2
()30f x x '=≥.
（3）函数()f x 在(a ,b )内单调递增(减)的充要条件是()0f x '≥(()0f x '≤)在(a ,b )内恒成立，且()f x '在(a ,b )
的任意子区间内都不恒等于0.这就是说，在区间内的个别点处有()0f x '=,不影响函数()f x 在区间内 的单调性.
2．函数的极值与导数的关系 一般地，对于函数()y f x =，
①若在点x = a 处有f ′(a )= 0，且在点x = a 附近的左侧()0f 'x <，右侧()0f 'x >，则称x= a 为f (x )的极小值点；()f a 叫做函数f (x )的极小值.
②若在点x =b 处有()f 'b =0，且在点x=b 附近的左侧()0f 'x >，右侧()0f 'x <，则称x= b 为f (x )的极大值点，()f b 叫做函数f (x )的极大值．
③极小值点与极大值点通称极值点，极小值与极大值通称极值. 3．函数的最值与极值的关系
①极值是对某一点附近(即局部)而言，最值是对函数的定义区间[,]a b 的整体而言；
②在函数的定义区间[,]a b 内，极大（小）值可能有多个（或者没有），但最大（小）值只有一个（或者没有）；
③函数f (x )的极值点不能是区间的端点，而最值点可以是区间的端点； ④对于可导函数，函数的最大(小)值必在极大(小)值点或区间端点处取得.
求函数()y f x =在[a ,b ]上的最大值与最小值的步骤
①求函数()y f x =在(a ,b )内的极值；
②将函数()y f x =的各极值与端点处的函数值f (a )，f (b )比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．
1．[2018新课标全国Ⅰ文科]设函数32()(1)f x x a x ax =+-+.若()f x 为奇函数，则曲线()y f x =在点
(0,0)处的切线方程为
A ．2y x =-
B ．y x =-
C ．2y x =
D ．y x =
【答案】D
【名师点睛】该题考查的是有关曲线在某个点处的切线方程的问题，在求解的过程中，
首先需要确定函数解析式，此时利用到结论多项式函数中，奇函数不存在偶次项，偶函数不存在奇次项，从而求得相应的参数值，之后利用求导公式求得，借助于导数的几何意义，结合直线方程的点斜式
求得结果.
2．[2016新课标全国Ⅰ卷文]若函数1()sin 2sin 3
f x x x a x =-+在(,)-∞+∞上单调递增，则a 的取值范围
是 A ．[1,1]- B ．1[1,]3
- C ．11[,]33-
D ．1[1,]3
--
【答案】C 【解析】2
()1cos 2cos 03
f x x a x '=-
+…对x ∈R 恒成立， 故221(2cos 1)cos 03
x a x -
-+…，即245cos cos 033a x x -+…恒成立，
即245
033t at -
++…对[1,1]t ∈-恒成立，构造245()33
f t t at =-++，易知开口向下的二次函数()f t 的最小值的可能值为端点值，故只需保证1(1)03
1(1)0
3f a f a ⎧
-=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩
……，解得1133a -剟．故选C ．
【名师点睛】本题把导数与三角函数结合在一起进行考查,有所创新,求解的关键是把函数单调性转化为不等式恒成立,再进一步转化为二次函数在闭区间上的最值问题,注意与三角函数值域或最值有关的问题,即注意正、余弦函数的有界性. 3．函数2ln x x y x
=
的图象大致是
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】B 【解析】2ln x x y x
=
Q ，∴0x ≠，且当0x >时，ln y x x =，()1ln y x x ='+，则函数ln y x x =在
区间10e ⎛
⎫ ⎪⎝⎭，上单调递减，在区间1e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭
，
上单调递增，由函数图象的对称性可知应选B. 【名师点睛】本题运用导数来画出函数图象，可以先判断其奇偶性，然后求导得出单调性，继而给出图象.
4．已知函数()()2e e ln (e e
x
f x f x '=-是自然对数的底数），则()f x 的极大值为 A ．2e 1- B ．1
e
-
C ．1
D ．2ln 2
【答案】D
【解析】函数()()2e e ln e x
f x f x '=-
的定义域为()0,+∞，()()2e e 1,e
f f x x ''=-令e x =，则()()()2e e 11
e ,e ,e
e e
f f f '=
-∴=''()()212ln ,,e e x f x x f x x ==-'∴-令()0f x '>，得02e,x <<
令()0f x '<，得2e,x >即函数()f x 在()0,2e 上单调递增，在()2e,+∞上单调递减，故函数()f x 在
2e x =处取得极大值，极大值为()2e 2ln 2e 22ln 2,f =-=
故选D.
【名师点睛】本题考查导数的运用——求单调区间和求极值，考查运算能力，属于基础题．解本题时，求函数的导数，令e x =，先求出()e f '的值再求()f x 的极大值为即可得．
5．设()()f x g x 、分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，当x <0时，()()()()0f x g x f x g x '+'>，且
()30g -=，则不等式()()0f x g x <的解集是 A ．()(3,03)-+∞U ，
B ．()()3,00,3-U
C ．3()()3-∞-+∞U ，
，
D ．()3()0,3-∞-U ，
【答案】D
【解析】设F (x )= f (x )g (x )，当x <0时，()()()()()0F x f x g x f x g x '='+'>，∴F (x )在x <0时为增函数．∵()()()()()()F x f x g x f x g x F x -=--=-⋅=-，∴F (x )为奇函数，∴F (x )在(0，+ ∞)上亦为增函数．已知()30g -=，必有()()330F F -==.
构造如图的F (x )的图象，可知F (x )<0的解集为x ∈()3()0,3-∞-U ，
．
故选D.
6．已知定义在()0,+∞上的函数()()2
,6ln 4f x x m h x x x =-=-，设两曲线()y f x =与()y h x =在公
共点处的切线相同，则m 值等于 A ．−3 B ．1 C ．3
D ．5
【答案】D
【解析】设函数()()2
,6ln 4f x x m h x x x =-=-在公共点（a ,b ）（a ＞0）处的切线相同，
由题得()()6
2,4,f x x h x x =-'=所以26ln 46
24
b a m b a a a a ⎧
⎪=-⎪=-⎨⎪⎪=-⎩
，解之得a =1,b =−4,m =5.
故答案为D.
【名师点睛】(1)本题主要考查导数的几何意义，考查曲线的切线问题，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.
(2)解答本题的关键是根据已知得到方程组26ln 4624
b a m b a a a a ⎧
⎪=-⎪
=-⎨⎪⎪=-⎩
.
7．若函数()()
2
5e x
f x x ax =++在1322⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
，上单调递增，则实数a 的取值范围是
A ．[
)8,-+∞ B ．[
)4,-+∞ C ．[)2,-+∞
D ．[]
4,2-
【答案】B
【解析】()()()()
()2225e 5e 25e x x x f x x ax x ax x a x a '''⎡⎤=+++++=++++⎣⎦
，
要使函数()()
25e x
f x x ax =++在区间1322⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上单调递增，需()0f x '≥在1322⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
，上恒成立；
即()2
25e 0x
x a x a ⎡⎤++++≥⎣⎦在1322⎡⎤
⎢⎥⎣⎦，上恒成立，即()2
250x a x a ++++≥在1322⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
，上恒成立， 即2251x x a x
---≥+在1322⎡⎤⎢⎥⎣⎦，
上恒成立， 而()()()2
2
1425441214,1111x x x x x x x x x
-+----==-+-≤-+⋅=-++++当且仅当1x =时等号成
立，此时符合题意. 即4a ≥-.故选B ．
【名师点睛】本题考查了导数在研究函数单调性中的应用，重点考查了转化思想与分类讨论的思想，此类问题关键是把问题转化成求最值问题解决．解本题时，函数在区间1322⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
，内是增函数，转化成导数在这个区间上大于等于0恒成立的问题，然后把恒成立转化成导数的最小值大于等于0即可顺利求解． 8．若方程330x x m -+=在[0,2]上有解，则实数m 的取值范围是 A ．[]2,2- B ．[0,2]
C ．[]2,0-
D ．2()()2-∞-+∞U ，
， 【答案】A
9．设函数()ln f x x ax =+，若存在()00,x ∈+∞，使()00f x >，则a 的取值范围是 A ．1,1e ⎛⎫- ⎪⎝⎭
B ．1,e ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭
C ．()1,-+∞
D ．1,e ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭
【答案】D
【解析】()f x 的定义域是()0,+∞，()11ax f x a x x
'+=
+=， 当0a ≥时，()0f x '>，则()f x 在()0,+∞上单调递增，且()10f a =≥，故存在()00,x ∈+∞，使
()00f x >；
当0a <时，令()0f x '>，解得10x a <<-
，令()0f x '<，解得1x a >-，()f x ∴在10,a ⎛
⎫- ⎪⎝
⎭上单
调递增，在1,a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上单调递减，()max
11ln 10f x f a a ⎛⎫⎛⎫
∴=-=--> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，解得1e a >-. 综上，a 的取值范围是1
,e ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭
.故选D.
【名师点睛】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，是一道中档题.求出函数的导数，通过讨论a 的范围，确定函数的单调性，求出()f x 的最大值，得到关于a 的不等式，解出即可.
10．[2018天津文科]已知函数f (x )=e x ln x ，f ′(x )为f (x )的导函数，则f ′（1）的值为__________．
【答案】e
【解析】由函数的解析式可得，则
.即
的值为e.
【名师点睛】本题主要考查导数的运算法则，基本初等函数的导数公式等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
11．[2018新课标全国Ⅱ文科]曲线2ln y x =在点(1,0)处的切线方程为__________．
【答案】y =2x –2 【解析】由
，得
.
则曲线在点处的切线的斜率为
，
则所求切线方程为
，即
.
【名师点睛】求曲线在某点处的切线方程的步骤：①求出函数在该点处的导数值即为切线斜率；②写出切线的点斜式方程；③化简整理. 12．[2017新课标全国Ⅰ卷文]曲线2
1
y x x
=+
在点（1，2）处的切线方程为______________． 【答案】1y x =+
【解析】设()y f x =，则21
()2f x x x
'=-，所以(1)211f '=-=， 所以曲线2
1
y x x
=+
在点(1,2)处的切线方程为21(1)y x -=⨯-，即1y x =+． 【名师点睛】求曲线的切线方程是导数的重要应用之一，用导数求切线方程的关键在于求出斜率，其求法为：设),(00y x P 是曲线)(x f y =上的一点，则以P 为切点的切线方程是000()()y y f x x x '-=-．若曲线)(x f y =在点))(,(00x f x P 处的切线平行于y 轴（即导数不存在）时，由切线定义知，切线方程为0x x =．
13．[2018新课标全国Ⅲ文科]已知函数21
()e
x
ax x f x +-=． （1）求曲线()y f x =在点(0,1)-处的切线方程； （2）证明：当1a ≥时，()e 0f x +≥． 【答案】（1）210x y --=；（2）见解析.
【解析】（1）2(21)2()e
x
ax a x f x -+-+'=，(0)2f '=． 因此曲线()y f x =在点(0,1)-处的切线方程是210x y --=． （2）当1a ≥时，21()e (1e )e x x f x x x +-+≥+-+． 令21()1e x g x x x +≥+-+，则1()21e x g x x +'≥++．
当1x <-时，()0g x '<，()g x 单调递减；当1x >-时，()0g x '>，()g x 单调递增； 所以()g x (1)=0g ≥-．因此()e 0f x +≥．
14．[2018新课标全国Ⅰ文科]已知函数()e ln 1x
f x a x =--．
（1）设2x =是()f x 的极值点，求a ，并求()f x 的单调区间；
（2）证明：当1
e
a ≥时，()0f x ≥．
【答案】（1）a =
2
1
2e ，f （x ）在（0，2）单调递减，在（2，+∞）单调递增；（2）见解析. 【解析】（1）f （x ）的定义域为(0)+∞，
，f ′（x ）=a e x –1x
． 由题设知，f ′（2）=0，所以a =2
12e ． 从而f （x ）=
21e ln 12e x x --，f ′（x ）=211e 2e x x
-． 当0<x <2时，f ′（x ）<0；当x >2时，f ′（x ）>0．
所以f （x ）在（0，2）单调递减，在（2，+∞）单调递增． （2）当a ≥1e 时，f （x ）≥e ln 1e
x
x --．
设g （x ）=e ln 1e x x --，则e 1
()e x g x x
'=-．
当0<x <1时，g′（x ）<0；当x >1时，g′（x ）>0．所以x =1是g （x ）的最小值点． 故当x >0时，g （x ）≥g （1）=0． 因此，当1
e
a ≥
时，()0f x ≥． 15．[2018新课标全国Ⅱ文科]已知函数()()
321
13
f x x a x x =-++．
（1）若3a =，求()f x 的单调区间；
（2）证明：()f x 只有一个零点．
【答案】（1）f （x ）在（–∞，323-），（323+，+∞）单调递增，在（323-，323+）单调递减；（2）见解析.
（2）由于2
10x x ++>，所以()0f x =等价于3
2
301
x a x x -=++． 设()g x =3
2
31
x a x x -++，则g ′（x ）=2222(23)(1)x x x x x ++++≥0，仅当x =0时g ′（x ）=0，
所以g （x ）在（–∞，+∞）单调递增．
故g （x ）至多有一个零点，从而f （x ）至多有一个零点．
又f （3a –1）=2
2111626()0366a a a -+-=---<，f （3a +1）=103
>，故f （x ）有一个零点．
综上，f （x ）只有一个零点．
16．[2017新课标全国Ⅰ卷文]已知函数()2e
e
()x
x
f x a a x =--．
（1）讨论()f x 的单调性；
（2）若()0f x ≥，求a 的取值范围． 【答案】（1）见解析；（2）3
4[2e ,1]-．
【解析】（1）函数()f x 的定义域为(,)-∞+∞，22()2e e (2e )(e )x x x x
f x a a a a '=--=+-，
①若0a =，则2()e x
f x =，在(,)-∞+∞单调递增． ②若0a >，则由()0f x '=得ln x a =．
当(,ln )x a ∈-∞时，()0f x '<；当(ln ,)x a ∈+∞时，()0f x '>，故()f x 在(,ln )a -∞单调递减，在
(ln ,)a +∞单调递增．
③若0a <，则由()0f x '=得ln()2
a
x =-．
当(,ln())2a x ∈-∞-时，()0f x '<；当(ln(),)2a x ∈-+∞时，()0f x '>，故()f x 在(,ln())2
a -∞-单
调递减，在(ln(),)2
a
-+∞单调递增．
（2）①若0a =，则2()e x
f x =，所以()0f x ≥．
②若0a >，则由（1）得，当ln x a =时，()f x 取得最小值，最小值为2
(ln )ln f a a a =-．从而当且
仅当2ln 0a a -≥，即1a ≤时，()0f x ≥．
③若0a <，则由（1）得，当ln()2a x =-时，()f x 取得最小值，最小值为2
3(ln())[24
a f a -=-
ln()]2a -．从而当且仅当23[ln()]042
a
a --≥，即342e a ≥-时()0f x ≥．
综上，a 的取值范围为3
4[2e ,1]-．
【名师点睛】本题主要考查导数两大方面的应用：（1）函数单调性的讨论：运用导数知识来讨论函数
单调性时，首先考虑函数的定义域，再求出()f x '，由()f x '的正负，得出函数()f x 的单调区间； （2）函数的最值（极值）的求法：由确认的单调区间，结合极值点的定义及自变量的取值范围，得出函数()f x 的极值或最值．
17．设函数()()23e
x
x ax
f x a +=∈R . （1）若()f x 在0x =处取得极值，确定a 的值，并求此时曲线()y f x =在点()()
1,1f 处的切线方程； （2）若()f x 在[)3,+∞上为减函数，求a 的取值范围. 【答案】（1）0a =，3e 0x y -=；（2）9
[,)2
-+∞. 【解析】（1）求导得()()()
()222
6e 3e 36()e e x x
x
x x a x ax x a x a f x +-+-+-+'=
=，
因为()f x 在0x =处取得极值， 所以(0)0f '=，即0a =.
当0a =时，23()=,e x x f x 236()e x
x x
f x -+'=,故33(1)=,(1)e e f f '=, 从而()f x 在点(1
(1))f ，处的切线方程为33
(1)e e
y x -=-,化简得3e 0x y -=. （2）由（1）得，()236()e
x
x a x a
f x -+-+'=, 令2
()3(6)g x x a x+a =-+-，由()0g x =
，解得1266=6
6
a a x x ---=
. 当1x x <时，()g x <0,()0f x '<,故()f x 为减函数； 当12x x x <<时，()g x >0, ()0f x '>,故()f x 为增函数； 当2x x >时，()g x <0, ()0f x '<,故()f x 为减函数；
由()f x 在[3,)+∞
上为减函数，知23x =≤，解得92a ≥-，
故a 的取值范围为9[,)2
-+∞.
18．已知函数()e 1(0)x f x ax a =-->，e 为自然对数的底数.
（1）求函数)(x f 的最小值；
（2）若0)(≥x f 对任意的x ∈R 恒成立，求实数a 的值； （3）在（2）的条件下，证明：111
1ln(1)()23n n n
*+
++⋅⋅⋅+>+∈N . 【答案】（1）函数)(x f 的最小值为ln 1a a a --；（2）1=a ；（3）见解析.
（2）0)(≥x f 对任意的x ∈R 恒成立，即在x ∈R 上，0)(min ≥x f ． 由（1），设1ln )(--=a a a a g ，所以0)(≥a g ． 由0ln 1ln 1)(=-=--='a a a g 得1=a ．
易知)(a g 在区间)1,0(上单调递增，在区间),1(+∞上单调递减， ∴)(a g 在1=a 处取得最大值，而0)1(=g ． 因此0)(≥a g 的解为1=a ， ∴1=a .
（3）由（2）得e 1x x ≥+，即x x ≤+)1ln(，当且仅当0=x 时，等号成立，
令*1()x k k =
∈N ，则11
ln(1),k k
>+即11ln(
)k k k +>， 所以1ln(1)ln (1,2,,)k k k n k >+-=⋅⋅⋅，累加得*
1111ln(1)()23n n n
+++⋅⋅⋅+>+∈N .
________________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________________。