正交化方法-特征值与特征向量PPT课件

r 称为向量空间 V 的维数，并称 V 为 r 维向量空间.
特别地：如果向量空间 V 没有基 则 V 的维数为0。
0 维向量空间只含一个零向量 0. 2.结论1：任何 n 个线性无关的 n 维向量都是向量空间 Rn 的 一个基，由此可知 Rn 的维数为 n .
分析：因为任意n＋1个n维向量线性相关，所以按照线性相关的 线性表示定理，任意一个无关向量以外的n维向量都能由这n个线性无 关的n维向量线性表示。显然，n个无关向量可自身表示，故以上结论 成立。
证: x y 2 x y, x y x, x 2x, y y, y
用施瓦茨不等式来解析[x,y]
x, y2 x, x y, y x, y x, x y, y x y 2 x, x 2 x, x y, y y, y
x 2 2 x y y 2 ( x y )2 x y x y .
定义2 令 x x, x x12 x22 xn2 ,
x 称为 n 维向量 x 的长度（或范数）.
向量的长度（范数）有下列性质：
1.非负性 当 x 0 时， x 0; 当 x 0时，x 0;
9
第十二讲：基与正交基，特征值与特征向量
2.齐次性 x x ; 3.三角不等式 x y x y .
若向量组a1,a2 ,,ar是向量空间V的一个基，则V可表示为：
V {b / b 1a1 2a2 rar，1，，r R} 数组1,2 ,,r是向量b在基a1,a2 ,ar中的坐标 b在基中的坐标实际上就 是b用基向量组线性表示的 系数， 设向量空间的基组成的 向量组用A表示，则向量b用基A线性 表示即AX b有解，解的列向量就是 线性表示坐标
主线
知向量正交的向量－正交组性质－正交化方法－特征值与 特征向量－特征多项式－特征向量求法
作业
练习册 交：P37P38 和P41－ 42
内容概括
任意最大无关组组成的基经过施密特正交化以后， 可变成以内积、长度和施瓦茨不等式为基础定义的 规范正交基。特征值与特征向量则依赖于行列式和 齐次线性方程组求解。
1 a1 1,
1 a2 2
1
1
正交，试求一个非零向量 a3 ，使 a1, a2 , a3 两两正交.
分析：设
为所求向量，因其与
3
1，
正交，故
2
1T 3
0,
T
2
3
0,由此解出方程组即可
解：记
A
aT 1
aT 2
1 1
1 2
a3应满足齐次线性方程 Ax ， 0即
11,
x1 a3 x2 ,
aT r
4.正交基
（1）正交基的定义：用正交向量组作向量空间的基，称为 向量空间的正交基
13
第十二讲：基与正交基，特征值与特征向量
（2）规范正交基的定义
设 n 维向量 e1, e2 ,, er 是向量空间 V（VRn）的一个基
如果 e1, e2 ,, er 两两正交，且都是单位向量，则称
e1, e2 ,, er 为 V 的一个规范正交基. 例1 已知 3 维向量空间 R3 中两个向量
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第十二讲：基与正交基，特征值与特征向量
br ar
b1 , ar b1 , b1
b1
b2 , ar b2 , b2
b2
br1 , ar b , b r1 r1
br1 .
可以验证，b1 ,b2 br两两正交，这里只验证 b1 ,b2正交
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第十二讲：基与正交基，特征值与特征向量
2.正交向量组的性质（无关性） 定理1 若 n 维向量 a1,a2 ,,ar 是一组两两正交的非零向量
则 a1, a2 ,, ar 线性无关.
证 设有 1, 2 ,, r使
1a1 2a2 r ar 0
以 a1T 左乘上式的两端，得
1a1T a1 2a1T a2 r a1T ar a1T 0
(iii) x y, z x, z y, z;
证：(x y)T z (xT yT )z xT z yT z。结论成立
(iv) x, x 0, 且当 x 0 时有x, x 0.
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第十二讲：基与正交基，特征值与特征向量
（V）施瓦茨不等式 x, y2 x, x y, y.
对于施瓦茨不等式，我们证明2维向量的情形
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第十二讲：基与正交基，特征值与特征向量
3.如何求与已知向量组正交的向量（组）：
已知向量组：A : a1,ar ,求一向量组b1,bm与已知向量组正交，
即对于i 1,r, j 1,m, 满足 aiTbj 0，即得：
aT 1
b1 bm 0
aT 1
aT r
令A , X b1 bm 求解方程组AX 0即可
5.求正交基——将基正交化的施密特方法 正交化方法：
设 a1, a2 ,, ar 是向量空间 V 的一个基，要求 V 的一个规范正
交基，也就是要找一组两两正交的单位向量 e1, e2 ,, er ，
使 e1, e2 ,, er 与 a1, a2 ,, ar 等价。这样一个问题，称为把 a1, a2 ,, ar 这个基规范正交化. 步骤如下：
3
第十二讲：基与正交基，特征值与特征向量
结论2：齐次线性方程组 Ax 0的基础解系是其解集的 一个基 3.过渡矩阵概念： 设向量空间V有两个基A、B, A :1,2 ,r , B : 1, 2 ,r .如存在
矩阵C，使得：B AC ,则称C为由基A到基B的过渡矩阵
4.向量由基线性表示的系数——坐标
y
y2
,
xn
yn
称xT y x1 y1 x2 y2 xn yn为向量X、Y的内积
记作x, y，由矩阵运算，显然： xT y yT x
2.内积的性质 性质 设 x , y , z 为 n 维向量，λ为实数.
(i) x, y y, x;（由矩阵运算性质，显然：xT y yT x） (ii) x, y x, y; [显然：（x)T y (xT y)]
A是由3维向量组成的向量组，只要a1,a2 ,a3线性无关，它就是 R3的一个
基，b1,b2用基表示，即Ax B有解，解x的列向量即坐标（线性 表示系数）
解
2 2 1 1 4
1 2 2 4 2
A | B 2 1 2 0 3
0 3 6 8 7
1 2 2 4 2
0 0 9 9 6
x3
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第十二讲：基与正交基，特征值与特征向量
11
1 2
11
x1 x2 x3
0 0
由
A
1 1
1 2
11
r2 r1
1 0
1 3
1 0
1 0
1 1
1 0
1 0
0 1
10
得
xx12
x3 0.
,
令x3
1，得基础解系
1 0 . 1
1
取3
0 即为所求.
1
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第十二讲：基与正交基，特征值与特征向量
1
友情提示
本次课讲第五章第一、二节，向量组的内 积与正交，特征值概念
下次课讲第五章第二三节，特征值，相似 矩阵与对角化
下次上课时交作业P41～42
2
第十二讲：基与正交基，特征值与特征向量
一、向量空间的最大无关组——基的概念 1.基的定义
设 V 为向量空间，如果 r 个向量 a1, a2 ,, ar ∈V, 满足 （i） a1, a2 ,, ar线性无关； （ii）V 中 任 一 向量都由 a1, a2 ,, ar 线性表示， 那么，向量组 a1, a2 ,, ar 称为向量空间 V 的一个基,
1 2 0 1
0 0
2 2
32 1
0
0
1
3 1
2 3
1 0
0
2 4 3 3
0 1 0 2 1
0
0
1
3 1
2 3
因 R(A)=3 ，故a1, a2 , a3 为 R3 的一个基，
5
第十二讲：方程组解的解构与向量空间
22
4
2
且 b1 3 a1 3 a2 a3 ,b2 3 a1 a2 3 a3 .
A ~（行阶梯）求 秩与最大无关组
Ar线性表示A中向量 组B即Ar x B有解
(
Ar
,
B)
~
Er 0
,
Dnr 0
同解方程组求解
A
~
Er 0
,
Dnr 0
同解
方程组求基础解系
Dnr列为自由变量令自由变 量向量为ei (0,,0,1,0,,0)
得n r个无关解即解集的基 1，2，，nr
Dnr的列向量即线性表示系数 通解x k11 knr nr
当 x 1 时， 称 x为单位向量.
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第十二讲：基与正交基，特征值与特征向量
三、向量的正交与正交基
1.正交向量组的概念的引入：
向量的内积满足施瓦茨不等式：x, y2 x, xy, y
由此可得： x, y 1 当 x 0, y 0 时，
xy
arccos x, y
xy
称为 n 维向量 x 与 y 的夹角.
V {b / b 1a1 2a2 rar，1，，r R}
4
第十二讲：方程组解的解构与向量空间
2 2 1
1 4
例4:
设
A
a1, a2 , a3
2
1
2 ,
B
(b1, b2
)
0
3
,
1 2 2
4 2
验证 a1, a2 , a3 是 R3 的一个基，并求 b1, b2在这个基中的坐标.
n维空间任意n个 线性无关向量组 成其最大无关组
Ar线性表示V中向量 组B即Ar x B有解
(
Ar
,
B)
~
Er 0
,
Dnr 0
同解方程组求解
Dnr的列向量即B在Ar的坐标
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第十二讲：基与正交基，特征值与特征向量
二、向量的内积与长度 1.内积的定义 定义1 设有 n 维向量 x
x1
x2
,
y1
（1）正交定义： 当x, y 0时， 称 x与 y 正交.
（由内积定义，正交也可由xT y 0,或yT x 0表示）
特殊地：零向量与任何向量都正交. （2）正交向量组定义：如果向量组向量两两正交，则称 为正交向量组
即若A :1,2 ,m正交,则iT j 0, i j且i, j 1,2,, m,
例题5（b014,，b2数的学坐一标，分4分别）为：32，
2 3
,1和
4 3
,1,
2 3
从R2的基A :1
1 0
,
2
11到B
:
1
1 1
,
2
12的过渡矩阵为：____
分析：从基A到基B的过渡矩阵为C，则B AC ,即C A1B C A1B （1，2）－（1 1，2）,即AX B的解
（A,
B)～
设x ( x1, x2 ), y ( y1, y2 )
则：[ x,
y]2
( x1 y1
x2 y2 )2
x2 1
y2 1
x y2 2 22
2 x1 y1 x2 y2
[ x, x][ y,
y]
(
x2 1
x2 2
)(
y2 1
y2 2
)
x y2 2 11
x y2 2 22
x y2 2 12
x y2 2 21
1 0
1 1
1 1
12 ～
1 0
0 1
2 1
3 2
～
1 0
0 1
2 1
3 2
(
E
,
A1
B
)
所以，应填C
2 1
32
6
第十二讲：基与正交基，特征值与特征向量
向量组A与其 最大无关组Ar
Ax 0的解集S 与基础解系
向量空间V 与其基Ar
向量组秩R( A) r
解集秩R(S) n r
空间的维R(V ) r
首先把 a1,a2 ,,a正r 交化：
取 b1 a1;
b2 a2
b1 , a2 b1 , b1
b1 a2
b1 b1
2
[b1,
a2 ]
b3 a3
b1 , a3 b1 , b1
b1
b2 , a3 b2 , b2
b2 a3
b1 b1
2
[b1,
a3 ]
b2 b2
2
[b2,
a3 ]
x y2 2 11
x2 2
y2 2
2 x1 x2
y1 y2
x y2 2 12
2 x1 x2
y1 y2
x y2 2 21
＝( x1 y1 x2 y2 )2 ( x1 y2 x2 y1 )2
[ x, y]2 ( x1 y2 x2 y1 )2 [ x, y]2 3.向量的度量：（长度的概念及其性质)
1a1 , a1 2 a1 , a2 r a1 , ar 0
即
1a1 , a1 0
因 a1 0 ， 所以 a1, a1 a1 2 0, 从而必有 1 0 ，
用a2T ,, arT 分别左乘 1a1 2a2 r ar 0
同理可得：2 0,, r 0.
因此向量组 a1, a2 ,, ar 线性无关.
第十二讲：基与正交基，特征值与特征向量
时间： 年 月 日；星期
教学目的Biblioteka 掌握基与正交基的定义，掌握向量内积与长 度的概念与性质，掌握正交向量组的性质与 基的正交化方法。掌握特征值与特征向量概 念，会求矩阵的特征值与特征向量
重点 正交基与基的正交化方法
难点 同上
讲授方法 投影与板书结合
讲授内容 基－坐标－内积－长度－正交－正交组－正交基－求与已