通信原理(陈启兴版)第8章课后习题答案

第8章最佳接收机
8.1 学习指导
8.1.1 要点
最佳接收机的要点主要包括数字信号的统计特性、数字信号的最佳接收和确知信号的最佳接收。

1.数字信号的统计特性
假设通信系统中的噪声是均值为0的高斯白噪声，其单边功率谱密度为n0，发送的二进制码元为“0”和“1”，其发送概率分别为P(0)和P(1)，显然，P(0) + P(1) = 1。

如果通信系统的基带截止频率小于f H，则根据低通信号抽样定理，接收噪声电压可以用其抽样值表示，抽样速率要求不小于其奈奎斯特速率2f H。

设在一个码元持续时间T s内以2f H 的速率抽样，共得到k个抽样值，即k ＝2f H T s。

由于每个噪声电压抽样值n i都是正态分布的随机变量，k 维联合概率密度函数又可以表示为
)s200
n
11
()exp()d (8-1)
T
k
f n t t
n
⎡⎤
=-⎢⎥
⎣⎦
⎰
n
其中，n= (n1, n2, …, n k)是k 维矢量，表示一个码元内噪声的k个抽样值。

码元持续时间T s、噪声单边功率谱密度n0和抽样数k给定后，f(n)仅决定于该码元期间
内噪声的能量s2
()d
⎰T n t t。

由于噪声的随机性，每个码元持续时间内噪声的波形和能量都是
不同的，这就使被传输的码元中有一些会发生误码。

设接收电压r(t)为信号电压s(t)和噪声电压n(t)之和，即r(t) = s(t) + n(t)。

在发送码元确定之后，接收电压r(t)的随机性将完全由噪声决定，故它仍服从高斯分布，其方差仍为σn2，但是均值变为s(t)。

所以，当发送码元“0”的信号波形为s0(t)时，接收电压r(t)的k维联合概率密度函数为
)[]
s
2
00
n
11
()exp()()d (8-2)
T
k
f r t s t t
n
⎧⎫
=--
⎨⎬
⎩⎭
⎰
r
其中，r = s + n是k维矢量，表示一个码元内接收电压的k个抽样值；s是k 维矢量，表示一个码元内信号电压的k个抽样值。

同理，当发送码元“1”的信号波形为s1(t)时，接收电压r(t)的k维联合概率密度函数为
()[]
s
2
11
n
11
()exp()()d (8-3)
T
k
f r t s t t
n
⎧⎫
=--
⎨⎬
⎩⎭
⎰
r
2.数字信号的最佳接收
在数字通信系统中，传输质量的主要技术指标是误码率。

因此，可以将误码率最小作为数字信号接收的最佳准则。

设在一个二进制通信系统中发送码元“1”的概率为P(1)，发送码元“0”的概率为P(0)，
则总误码率P e 等于
e (1)(0/1)(0)(1/0) (8-4)P P P P P =+
其中，P(0/1)和P(1/0)分别是发送符号“1”时错判为“0”、 发送符号“0”时错判为“1”
的条件概率或转移概率。

接收端收到的每个码元持续时间内的电压可以用一个k 维矢量表示，接收机对每个接收矢量作判决，判定它是发送码元“1”，还是“0”。

判决接收矢量的两个联合概率密度函数分别为f 0(r )和f 1(r )。

总的误码率为
00'
e 10'
(1)(0/1)(0)(1/0)(1)()d (0)()d (8-5)r r P P P P P P f r r P f r r ∞
-∞
=+=+⎰
⎰ 决准则可以表示为：若
01()(1)(0)()f P P f <r r ， 则判为“0”；反之， 若01()
(1)(0)()
f P P f >
r r ，则判为“1”。

如果发送“0”和发送“1”的先验概率相等时，上述判决准则还可以简化为：若
f 0(r ) > f 1(r )，则判为符号“0”；反之，若f 0(r ) < f 1(r )，则判为符号“1”。

这个判决准则常称为最大似然准则。

3. 确知数字信号的最佳接收机
确知信号是指其取值在任何时间都是可以预知的信号。

在理想的恒参信道中传输数字信号时，接收到的信号可以被认为是确知信号。

以二进制数字通信系统为例，介绍确知数字信号的最佳接收机。

接收到的两种波形s 1(t )和s 0(t )是确知的，设它们的持续时间为T s ，且功率相同，高斯白噪声的平均功率和单边功率谱密度分别为σ2和n 0。

当发送码元为“0”时，波形为s 0(t )；当发送码元为“1”时，波形为s 1(t )。

如果
[][]
s
s
2
2
100000
1
1
(1)exp ()()d (0)exp ()()d (8-6)T T P r t s t t P r t s t t n n ⎧⎫⎧⎫
-
-<--⎨⎬⎨⎬⎩⎭
⎩
⎭
⎰⎰ 则判决接收到的波形为s 0(t )，发送符号为“0”；如果
[][]s
s
2
2
1
1
1
(1)exp ()()d (0)exp ()()d (8-7)T T P r t s t t P r t s t t n n ⎧⎫⎧⎫-
->--⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭
⎰
⎰
则判决接收到的波形为s 1(t )，发送符号为“1”。

将上两式的两端分别取对数，判决准则可以表示为：如果
[][]s
s
2
2
01000
ln (1)()()d ln (0)()()d (8-8)T T n P r t s t t n P r t s t t -+->-+-⎰⎰
则判决接收到的波形为s 0(t )，发送符号为“0”；如果
[]
[]
s
s
2
2
01000
ln (1)()()d ln (0)()()d (8-9)T T n P r t s t t n P r t s t t -+-<-+-⎰
⎰
则判决接收到的波形为s 1(t )，发送符号为“1”。

由于事先假设了两种符号的功率相等，即
s
s
22010
()d ()d =⎰
⎰T T s t t s t t
判决准则可以进一步简化为：如果
s s 0100011
ln (1)()()d ln (0)()()d (8-10)22
T T o n P r t s t t n P r t s t t +<+⎰⎰
则判决接收到的波形为s 0(t )，发送符号为“0”；如果
s s 0100011
ln (1)()()d ln (0)()()d (8-11)22
T T o n P r t s t t n P r t s t t +>+⎰⎰
则判决接收到的波形为s 1(t )，发送符号为“1”。

8.1.2 难点
最佳接收机的难点主要包括确知数字信号的最佳接收机的误码率和数字通信系统的匹
配滤波接收法。

1. 确知数字信号的最佳接收机的误码率 以二进制数字通信系统为例，介绍确知数字信号的最佳接收机的误码率。

接收到的两种波形分别是s 1(t )和s 0(t )，设它们的持续时间为T s ，且功率相同，高斯白噪声的平均功率和单边功率谱密度分别为σ2和n 0。

由式(8-7)可知，在求总误码率之前，需要计算出错误转移概率P (0/1)和P (1/0)。

概率P (1/0)就是使不等式(8-9)成立的概率，即
[]
[]
s
s
2
2
01000
ln (1)()()d ln (0)()()d -+-<-+-⎰
⎰
T T n P r t s t t n P r t s t t
把r (t ) = s 0(t ) + n (t )带入上式，可得
[]
s
s
2
200100
ln (1)()()()d ln (0)()d -+-+<-+⎰
⎰T T n P s t s t n t t n P n t t
化简为
[][]s
s
2
001010
(1)1()()()d ()()d 2(0)2-<⨯--⎰
⎰T T o
n P n t s t s t t s t s t t P
上不等式的右边仅与先验概率P (0)和P (1)、确知信号s 1(t )和s 0(t )、噪声的单边功率谱密度n 0有关，左边与噪声电压n (t )有关的随机过程。

如果用一个随机过程ξ代表上不等式的左边，用参数a 代表上不等式的右边，则上不等式可以表示为
ξ < a
其中，
[][]s
s
010
2
001()()()d (1)1()()d 2(0)2=-=⨯--⎰⎰T T o
n t s t s t t
n P a s t s t t
P ξ 由于噪声电压n (t )是一个高斯平稳过程，它经过积分运算后，仍然为高斯平稳过程。

随机过程ξ的数学期望和方差分别为
()[]{}
[][]s
s ξ010
010
()()()d ()()()d 0 (8-12)
T T a E E
n t s t s t t
E n t s t s t t ξ==-=⨯-=⎰
⎰
()()[][]{}
[][][]s s
s s
22ξ010100
01010
()()()(')(')(')d d '
()(')()()(')(')d d '
===--=⨯--⎰
⎰
⎰
⎰
T T T T D E E
n t s t s t n t s t s t t t E n t n t s t s t s t s t t t σξξ
上式中，E [n (t )n (t ’)]是噪声电压n (t )的自相关函数，即
[]0
n ()(')()()2
==
n E n t n t R τδτ
随机过程ξ的方差又可以表示为
[]s
2
20ξ010
()()d (8-13)2
T n s t s t t σ=
-⎰
高斯随机过程ξ在任一时刻上的取值是一个正态分布的随机变量，其一维概率密度为
()2ξ
2
ξ()2⎡⎤
-⎢⎥=-⎢⎥⎣⎦
a f ξξσ 因此，不等式ξ < a 成立的概率为
(
)2a
ξ
2-ξ22ξ()()d d 2 exp d 2∞-∞
⎡⎤-⎢⎥<==-⎢⎥⎣⎦⎡⎤=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦
⎰⎰a
a a P a f ξξξξξσξξσ
所以，概率P (1/0)可以表示为
22ξ(1/0)()exp d (8-14)2a
P P a ξξξσ-∞⎡⎤
=<=
-⎢⎥⎢⎥⎣⎦
其中，
[]s
2
001(1)1()()d 2(0)2=⨯--⎰T o
n P a s t s t t P
[]
s
2
20
ξ
010()()d 2
=-⎰T n s t s t t σ
同理，概率P (0/1)可以表示为
22ξ(0/1)()exp d (8-15)2b
P P b ξξξσ-∞⎡⎤
=<=
-⎢
⎥⎢⎥⎣
⎦ 其中，
[]s
2
0010
(0)1()()d 2(1)2=⨯--⎰T n P b s t s t t P
总的误码率为
22
22ξ
ξ
e 22(1)(0/1)(0)(1/0) (1)e
d (0)e
d (8-16)b
a
P P P P P P P ξξσσξξ-
-
-∞
-∞
=+⎡
⎤⎡
⎤⎥⎥=+⎥⎥⎦⎦
⎰
⎰
下面，就先验概率相等的情况，讨论两种接收波形s 0(t )和s 1(t )对误码率的影响。

它们的相关系数ρ可以表示为
s
s
0101()()()()d T T s t s t dt
s t s t t ρ=
=
其中，接收信号的码元能量s
2
000
()d =
⎰
T E s t t ，s
2110
()d =⎰T E s t t 。

显然，当s 0(t ) = s 1(t )时，ρ
＝1，为最大值；当s 0(t ) = -s 1(t )时，ρ ＝－1，为最小值。

所以，ρ 的取值范围在-1 ≤ ρ ≤ +1。

当接收信号的两码元能量相等时，令E 0 = E 1 = E b ，则相关系数ρ可以表示为
s
010
b
()()d (8-18)T s t s t t E ρ=
⎰
参数α可以表示为
s
s
2010
220011b 0
1[()()]d 21 [()2()()()]d (1) (8-19)
2T T s t s t t
s t s t s t s t t E αρ=--=--+=--⎰⎰
误码率可以表示为
222222b ξ
ξ
ξ
b (1)
222e (1)
e d e d e d (8-20)E E P ξξξα
ρσσσρξξξ-
-
-
--∞
-∞
-∞
-=
=
=
令=x 22
2
ξ2=x ξσ
，d =x ，误码率又可以表示为
2
b ξ
b ξ
2
2
b ξ
2
b ξ
e ξ(1)(1)0
(1)0(1)0e
d e d e
d e d 1 e
d 1erf
(8-21)
22x x E E x x E E x P x x
x x x ρρρρ∞
∞
----∞
-----=
⎤
=
+⎥⎦⎛
⎫⎡⎤⎡ ⎪=
-+=-
⎪⎦⎝
⎭
⎰⎰⎰
其中，误差函数2
erf ()d a
x a e x -=。

由于
s
220ξ100b 0
()[()()]d (1)2
==
-=-⎰
T n D s t s t t n E σξρ
误码率又可以表示为
e 111er
f erfc (8-22)22P ⎡
⎤=-=⎢⎥⎢⎥⎣⎦
其中互补误差函数erfc(x ) = 1- erf(x )。

上式是一个先验概率相等情况下计算误码率的理论公式。

实际通信系统中得到的误码率
只可能比它差，不可能优于它。

当ρ ＝1时，P e = 0.5，此时误码率最大；当ρ ＝-1时，P e = 0.5erfc[(E b /n 0)0.5]，此时误码率最小；当ρ ＝ 0时，P e = 0.5erfc[(0.5E b /n 0)0.5]。

对于2PSK 信号，相关系数ρ ＝ -1；对于2FSK 信号，ρ等于或近似等于0；对于2ASK 信号，相关系数ρ不确定，计算误码率时，需要首先计算参数α
s s 2
22011
b 00111[()()]d =()d 222
=-
--=-⎰⎰T T s t s t t s t t E α 再计算误码率
2222b ξ
ξ
1222e 1
e
d d 2-
-
--∞
-∞
=
=
=E P e
ξξα
σσξξ 2. 数字通信系统的匹配滤波接收法
用线性滤波器对接收信号滤波，使抽样时刻上输出信号的信噪比最大，此线性滤波器被称为匹配滤波器。

假设线性接收滤波器的传输函数为H ( f )，冲激响应为h (t )，滤波器输入信号为s (t )，s (t )的频谱函数为S ( f )，每个码元的持续时间为T s ，信道中的噪声是单边功率谱密度为n 0的高斯白噪声n (t )。

线性接收滤波器的输出y (t )为
j2π()()()()()e d () (8-23)ft o o o y t s t n t H f S f f n t ∞
-∞
=+=+⎰
输出噪声n o (t )的平均功率N o 为
2
2
00
o ()d ()d (8-24)22
n n
N H f f H f f ∞
∞
-∞
-∞
=⋅=⎰
⎰
在抽样时刻t 0，输出信号瞬时功率与噪声平均功率之比r 0为
2
j2π2
002
0()()e d ()
(8-25)()d 2
ft o o
H f S f f
s t r N H f f
∞
-∞
∞
-∞
==
⎰
⎰
利用施瓦兹不等式，可以求出 r 0的最大值，即最大输出信噪比为
2
2
2
02
000
()d ()d ()d 2 (8-26)()d 2
2
H f f S f f
S f f E
r n n n H f f
∞
∞
∞
-∞
-∞
-∞
∞
-∞⋅≤
=
=
⎰
⎰⎰
⎰
其中，信号能量2
()d E S f f ∞
-∞
=
⎰。

上式等号成立的条件是
0j2π()*()e (8-27)ft H f kS f -=
其中，k 为任意常数。

上式表明，最佳接收滤波器传输函数H (f )与接收信号的频谱函数S ( f )有关，它正比于S ( f )的复共轭乘以一个移相因子，此滤波器被称为匹配滤波器。

匹配滤波器的冲激响应函数h (t )为
0000j2πj2πj2π*
j2πj2π()j2π()00()()e d *()e e d ()e d e d e d ()d ()()d () ft ft ft ft f t t f t t h t H f f kS f f
k s f
k f s k s t t ks t t τττττ
τδττ∞∞
--∞
-∞
∞
∞----∞-∞∞∞
-+-∞-∞∞
-∞
==⋅⎡⎤=⎢⎥⎣⎦
⎡⎤=⎢⎥⎣⎦
=-+=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ (8-28)
由上式可见，匹配滤波器的冲激响应h (t )就是信号s (t )的镜像s (-t )在时间轴上向右平移t 0。

物理可实现的匹配滤波器的单位冲激响应h (t )必须符合因果关系，在输入冲激脉冲加入
前不应该有冲激响应出现，即当t < 0时，h (t ) = 0。

因此，滤波器输入信号为s (t )必须满足条件
0()0 (8-29)s t t t =>
上式说明，接收滤波器输入端的信号s (t )在抽样时刻t 0之后必须为零。

一般不希望在码元结束之后很久才抽样，故通常选择在码元末尾抽样，即选t 0 = T s 。

故匹配滤波器的单位冲激响应h (t )可以写为
()() (8-30)s h t ks T t =-
此时，如果匹配滤波器的输入信号为s (t )，则输出信号s o (t )为
o s s s s ()()()d ()()d ()()d ()()d () (8-31)
s t s t h k s t s T k s s t T k s s t T kR t T ττττττ
ττττττ∞∞
-∞
-∞
∞
-∞∞
-∞
=-=--'''
=---=-+=-⎰⎰⎰⎰
其中，s (t )的自相关函数()()()d R s t s t t ττ∞
-∞
=
+⎰。

上式表明，匹配滤波器输出信号s o (t )是输入信号s (t )的自相关函数的k 倍，k 是一个任意常数，它与r 0的最大值无关，通常取k ＝ 1。

8.2 习题详解
8-1 什么是确知信号？
解 确知信号是指在任何时刻取值都是确定的，可以预知的。

8-2 有一个OOK 数字传输系统，发送端的符号等概率出现，试画出其最佳接收机的结构方框图。

如果接收到的非零码元在一个码元周期内的能量为E b ，高斯白噪声的单边功率谱密度为n 0，试计算该系统在高斯白噪声环境下的误码率。

解OOK 信号可以表示为
10()cos()() (0)()0c s s t A t r t t T s t ω=⎧=≤≤⎨=⎩
因此，最佳接收机的结构方框图如图答8-2。

图 答8-2
r (a) 相关器形式
(b) 匹配滤波器形式
参数α为
[
]2
21010
0111()()
d ()d 222
s s T T b s t s t t s t t E α=-
-=-=-⎰⎰ 系统在高斯白噪声环境下的误码率为
221222--1
d d 2b E
e P e
e
ξ
ξ
ξξα
σσξξ-
-
-∞
∞
=
=
=⎰
8-3 一个2FSK 传输系统中，发送的符号等概率出现，码元周期为T s ，高斯白噪声的单
边功率谱密度为n 0，2FSK 信号的时域表达式为
()()002FSK 1
1()sin 2π() 0()sin 2πs s t A f t s t t T s t A f t =⎧⎪=≤≤⎨=⎪⎩ 其中，f 0 = 2 / T s ，f 1 = 4 / T s 。

试求：
(1) 其相关器形式的最佳接收机原理方框图； (2) 画出该接收机各点的时域波形图； (3) 该接收机的误码率。

解 (1) FSK 传输系统相关器形式的最佳接收机原理方框图如图答8-3(a)所示。

图 答8-3
r (t )
(a)
最佳接收机远离方框图
t
a b
t
c
t
d t
e t
f V (b) 各点时域波形图
(2) 该接收机各点的时域波形图答8-3(b)所示。

(3) 由于 2
22
211
000
011()d , ()d 22s
s T
T s s
E s t
t A T E s t t A T ====⎰
⎰ 误码率为
11
22e P
==
8-4 2PSK 传输系统中，接收机输入端的信噪比为E b / n 0 = 10 dB ，码元周期为T s ，试计
算其最佳接收机的误码率。

解 最佳接收机的误码率为
611
4.01022
e P -==≈⨯
8-5 信道中的加性高斯白噪声的单边功率谱密度为n 0，数字传输系统i 中，接收机的匹配滤波器输入端的信号s (t )如图题8-5所示。

试求匹配滤波器的单位冲激响应h (t )和输出信号y (t )，并画出它们的波形图。

t
s (t )A 图 题8-5
-A
解 匹配滤波器的最大输出信噪比时刻应该选在码元结束时刻或之后，即t 0 ≥ T s 。

一般取t 0 = T s ，系数k = 1，则匹配滤波器的单位冲激响应h (t )为
0 00.5()()() 0.5 0 Others s s s s A t T h t ks t t s T t A T t T ≤≤⎧⎪
=-=-=-<≤⎨⎪⎩
输出信号y (t )为
22
22 00.5(32) 0.5 ()()()(43) 1.5(2) 1.52
0 Oth s s s s s s s s s A t t T A t T T t T y t h t s t A T t T t T A t T T t T -≤≤-<≤=*=-<≤-<≤ers ⎧⎪⎪⎪
⎨⎪⎪
⎪⎩
匹配滤波器的单位冲激响应h (t )和输出信号y
(t )的波形图如图答8-5所示。

图 答8-5
t
h
t
y (t
8-6一个滤波器的单位冲激响应h (t )和输入信号s (t )的波形如图题8-6所示，试问此滤波器是否为输入信号s (t )的匹配滤波器？如果是，试计算滤波器的输出。

t s (t )A s
图 题8-6
s
t
h (t A s
解 由于
()()s h t s T t =-
因此，此滤波器是输入信号s (t )的匹配滤波器。

滤波器的输出为
221 0.5223()()() 1.520 Others s s s s s s A t T T t T y t h t s t A t T T t T ⎧⎛⎫-≤≤ ⎪⎪⎝
⎭⎪⎪⎛⎫=*=--<≤⎨ ⎪⎝⎭⎪⎪⎪⎪⎩。