2019年专题12 解三角形-2018年高考数学母题题源系列(浙江专版)

专题十二 解三角形
【母题原题1】【2018浙江，13】在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．若a =，b =2，A =60°，则sin B =___________，c =___________．
【答案】 (1).
(2). 3
【解析】分析:根据正弦定理得sin B ,根据余弦定理解出c . 详解：由正弦定理得,所以
由余弦定理得
（负值舍去）.
【母题原题2】【2017浙江，14】已知△ABC，AB=AC=4，BC=2. 点D 为AB 延长线上一点，BD=2，连结CD ，则△BDC 的面积是___________,cos∠BDC=__________.
【答案】
【解析】取BC 中点E ，由题意： AE BC ⊥，
△ABE 中， 1
cos 4
BE ABC AB ∠=
=，∴1cos ,4DBC sin DBC ∠=-∠==
∴1sin 22
BCD
S
BD BC DBC =
⨯⨯⨯∠=． ∵2ABC BDC ∠=∠，∴21
cos cos22cos 14
ABC BDC BDC ∠=∠=∠-=
，
解得cos 4BDC ∠=
或cos 4
BDC ∠=-（舍去）．
综上可得，△BCD cos BDC ∠=．
【名师点睛】利用正、余弦定理解决实际问题的一般思路：（1）实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一个三角形中，可以利用正弦定理或余弦定理求解；（2）实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及两个或两个以上三角形，这时需作出这些三角形，先解够条件的三角形，再逐步解其他三角形，有时需要设出未知量，
从几个三角形中列出方程（组），解方程（组）得出所要的解．
【母题原题3】【2016浙江，理16】在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知2cos b c a B +=． （1）证明： 2A B =；
（2）若ABC ∆的面积24
a S =，求角A 的大小．
【答案】（1）证明见解析；（2）2
A π
=
或4
A π
=
.
【解析】试题分析：（1）由正弦定理得sin sin 2sin cos B C A B +=，进而得()sin sin B A B =-，根据三角形内角
和定理即可得结论；（2）由24a S =得21sin 24
a a
b C =，再根据正弦定理得及正弦的二倍角公式得sin cos C B =，
进而得讨论得结果.
（2）由24a S =得21sin 24a ab C =，故有1
sin sin sin2sin cos 2
B C B B B ==，因sin 0B ≠，得sin cos C B =．又
(),0,B C π∈，所以2
C B π
=
±．当2
B C π
+=
时， 2
A π
=
；当2
C B π
-=
时， 4
A π
=
．
综上， 2
A π
=
或4
A π
=
．
【母题原题4【2016浙江，文16】在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c.已知b+c="2acos" B. （Ⅰ）证明：A=2B ； （Ⅱ）若cos B=
2
3
，求cos C 的值． 【答案】（Ⅰ）证明详见解析；（Ⅱ） 22cos 27
C =
. 【解析】试题分析：本题主要考查三角函数及其变换、正弦和余弦定理等基础知识，同时考查运算求解能力. 试题解析：（Ⅰ）由正弦定理得sin sin 2sin cos B C A B +=， 故()2sin cos sin sin sin sin cos cos sin A B B A B B A B A B =++=++， 于是()sin sin B A B =-，
又(),0,πA B ∈，故0πA B <-<，所以()πB A B =--或B A B =-， 因此πA =（舍去）或2A B =， 所以， 2A B =.
【思路点睛】（Ⅰ）用正弦定理将边转化为角，进而用两角和的正弦公式转化为含有A ， B 的式子，根据角的范围可证2A B =；（Ⅱ）先用同角三角函数的基本关系及二倍角公式可得cos2B ，进而可得cos A 和sin A ，再用两角和的余弦公式可得cos C ．
【命题意图】1.考查三角公式、正弦定理、余弦定理及其应用；2.考查式子变形运算求解能力、转化与化归思想、数形结合思想以及分析问题解决问题的能力.
【命题规律】高考对正弦定理和余弦定理的考查较为灵活，题型多变，选择题、填空题的形式往往独立考查正弦定理或余弦定理，解答题往往综合考查定理在确定三角形边角中的应用，多与三角形周长、面积有关；有时也会与平面向量、三角恒等变换等结合考查，试题难度控制在中等以下，主要考查灵活运用公式求解计算能力、推理论证能力、数学应用意识、数形结合思想等． 【答题模板】解答解三角形大题，一般考虑如下三步：
第一步：分析图形特征，选择适用公式.即根据三角形的形状、已知条件，确定选用何种三角公式、定理； 第二步：正确运用公式，实施边角转化.根据已有条件，利用三角公式、正弦定理或余弦定理，将问题向边或角实施转化；
第三步：运算求解.根据题目要求，进一步求解. 【方法总结】
1.化简三角函数式的规律
一看“角”，这是最重要的一环，通过角之间的差别与联系，把角进行合理地拆分，从而正确使用公式 二看“函数名称”，看函数名称之间的差异，从而确定使用的公式，常见的有“弦切互化”
三看“结构特征”，分析结构特征，找到变形的方向，常见的有“遇到分式要通分”，“遇根式化被开方式为完根式的化简常常需要升幂去根号，在化简过程中注意角的范围，以确定三角函数值的正负5. 利用正弦定理与余弦定理解题,经常需要转化思想,一种是边转化为角,另一种是角转化为边.具体情况应根据题目给定的表达式进行确定,不管哪个途径,最终转化为角的统一或边的统一,在解题过程中常用到以下规律: (1)分析已知等式中的边角关系,若要把“边”化为“角”,常利用“2,2,2a RsinA b RsinB c RsinC ===”,若
要把“角”化为“边”,常利用sin A=,sin B=,sin C=,cos C=等.
(2)如果已知等式两边有齐次的边的形式或齐次的角的正弦的形式,可以利用正弦定理进行边角互换.如果已知中含有形如2
2
2
(b c a bc λλ+-=为常数)的代数式,一般向余弦定理靠拢. (3)余弦定理与完全平方式相联系可有:
()()2
222221a b c bccosA b c bc cosA =+-=+-+.可联系已知条件,利用方程思想进行求解三角形的边;与重要
不等式相联系,由2
2
2b c bc +≥,得()222
22221a b c bccosA bc bccosA bc cosA =+-≥-=-,可探求边或角的
范围问题.
1．【2018届腾远（浙江卷）红卷】在中，内角
所对的边分别是
，若
，
则角的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
2．【2018届辽宁省凌源市上期末】在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且ABC ∆的面积S C =，
且1,a b ==c =（ ）
【答案】B
【解析】 由题意得，三角形的面积1
sin 2
S ab C C =
=，所以tan 2C =，
所以cos 5
C =
，
由余弦定理得2222cos 17c a b ab C =+-=，所以c = B.
3．【2018届青海省西宁市二模】在中，内角的对边分别为，若，且的
面积为
，则
________________．
【答案】
【解析】分析：先利用三角形的面积公式得到，再利用正弦定理将边角公式转化为边边关系，进而利用余
弦定理进行求解．
详解：因为
的面积为
，
所以，
即，
由， 得，
即
，
则．
4．【2018届河南省最后一次模拟】已知的内角的对边分别为,且
，则__________．
【答案】
【解析】分析：由题意结合正弦定理角化边可得，结合余弦定理求得c的长度，最后利用正弦定理即可求得最终结果.
详解：因为,所以.
由余弦定理得，又，所以.
，所以.
由正弦定理得，即，解得.
5．【2018届浙江省教育绿色评价联盟5月适应性】在△中，内角的对边分别为．已知，
，，则______，______．
【答案】
【解析】分析：由，，，利用正弦定理和余弦定理及三角形的面积公式可求出结果.
详解：由于，
则，解得，
由于，利用正弦定理，
则，整理得，
解得，由，
解得，，
则
，故答案为 ，.
6．【2018届浙江省杭州市第二次检测】设
内切圆与外接圆的半径分别为与.且
则
=_________；当
时，
的面积等于__________．
【答案】 -
【解析】
令
，
，
则
，
7．【浙江省嵊州市高三上期末】在ABC 中，内角A ， B ， C 所对的边分别为a ， b ， c ，若()1
c o s
4
A C +=
， 2a =， 4b =，则sin A =__________， c =__________.
【答案】
8
3
【解析】
()1cos 4A C +=
， 1cos ,sin 4B B ∴=-=，由余弦定理可得2
1164224c c ⎛⎫=+-⨯⨯- ⎪⎝⎭
，即
2120c c +-=，得3c =或4c =-（舍去）
，由正弦定理得2
sin A =，得sin A =，故答案为，
(2) 3.
8．【2018届浙江省杭州市学军中学5月模拟】已知
中，角
的对边分别为
，且满足
，则
__________，__________．
【答案】 . 2.
【解析】分析：由已知利用三角函数恒等变换的应用可得sin （2A+）=，可求范围：2A+∈（，
），利用正
弦函数的图象和性质可求A 的值，利用三角形面积公式可求c 的值，进而利用余弦定理可求a 的值，根据比例的性质及正弦定理即可计算得解．
详解：∵，可得：cos2A+sin2A=1，
∴sin（2A+）=，
∵0＜A ＜π，可得：2A+∈（，），
∴2A+=
，可得：A=．
∵b=1，S △ABC =
=bcsinA=
，∴c=2， ∴由余弦定理可得：a=
=
，
∴
故答案为：，2．
9.【2018届宁夏石嘴山市4月一模】在中，内角
的对边是
，若
，则
等
于__________． ·【答案】
10．【2018届北京市丰台区一模】在△ABC 中， 2a =， 4c =，且3sin 2sin A B =，则cos C =____． 【答案】1
4
-
【解析】在△ABC 中， 2a =， 4c =，且3sin 2sin A B =,故2221
32,3,cos .24
a b c a b b c ab +-=∴==
=-
故答案为： 14
-
. 点睛：本题主要考查正弦定理边角互化及余弦定理的应用与特殊角的三角函数，属于简单题. 对余弦定理一定要
熟记两种形式：（1）2
2
2
2cos a b c bc A =+-；（2）222
cos 2b c a A bc
+-=，同时还要熟练掌握运用两种形式的条
件.另外，在解与三角形、三角函数有关的问题时，还需要记住30,45,60o o o
等特殊角的三角函数值，以便在解题中直接应用.
11.【2018年河南省濮阳市升级考试】在
中，，，分别为角，，所对的边长，已知
的周长为
，
，且
的面积为.
（Ⅰ）求边
的长；
（Ⅱ）求角的余弦值. 【答案】(Ⅰ)1；(Ⅱ).
【解析】分析：（Ⅰ）由三角形周长得到三边之和，已知等式利用正弦定理化简得到关系式，两式联立求出AB 的长即可；
（Ⅱ）利用三角形面积公式列出关系式，把已知面积代入求出
，，利用余弦定理表示出
.
（Ⅱ）由（Ⅰ）知：
，
又，得，
.
12.【2018届宁夏回族自治区银川一中考前训练】已知△内角，，的对边分别为，，，
．
（1）求；
（2）若，，求△的面积．
【答案】（1）；（2）.
【解析】分析：（1）先根据二倍角公式以及同角三角函数关系得，解得A;（2）根据正弦定理得，再根据余弦定理得，最后根据三角形面积公式得结果.
详解：（1）由于，所以，．因为，故
．。