塑性力学03-塑性本构关系

1. Levy-Mises流动法则 这个理论认为应变增量主轴和应力 主轴重合, 应变增量分量与相应的应力偏量分量成比例, 即
d ij d S ij
d
0
式中的比例系数决定于质点的位置和荷载的水平. 这一理论是 Levy和Mises分别在1871年和1931年独立提出的, 所以被称为 Levy-Mises流动法则. 这个关系式不包括弹性变形部分, 所以 只适用刚塑性体. 2. Prandtl-Reuss流动法则 这个理论考虑了塑性状态变形中 的弹性变形部分, 并认为弹性变形服从广义Hooke定律; 而对 于塑性变形部分, 被认为塑性应变增量的主轴和应力偏量的主 轴重合. 即 1 e e d e ij d e ij d e ij d S ij d S ij 这就是 2G Prandtl1 2 又由塑性不可压缩性, Reuss流 d ii d ii 体积变化式弹性的,有 E 动法则
e ij ij m
1 E 1
1 E
1
S ij ij m ij kk
m
S ij ij
3 ij
1 1 2 S ij ij m 2G E
m
m d m ij ij d m S ij ij m d e ij ij S ij d e ij 3 m d m S ij d e ij
上式第一项是体积比能增量,第二项为形状变形比能,记为 W d 这样考虑Levy-Mises定律有:
1 2 2 d W d S ij d e ij S ij d S ij d S ij d S ij S ij d i 2G 3
所以有
d
3dW d 2 i
2
• 理想弹塑性材料的增量型本构方程可以写为
d ii 1 2 E d ii
d e ij
1 2G
d S ij
3dW d 2 s
2
S ij
3-9 理想刚塑性材料的增量型本构方程 • 理想刚塑性材料的Levy-Mises流动法则为 d ij d S ij 把它代入Mises屈服条件 3
ij , j Fi 0
1 2 E
S : pi
z
V
Fi
O
x
y
Su : ui
几何方程
e ij 3 i 2 i S ij
ij
1 2
u
i. j
u j ,i
本构方程 ii
其中
i
3 2
ii
i i
S ij S ij
i
2 3
(1) 荷载(包括体力)按比例增长.如有位移边界条件应为零. (2) 材料是不可压缩的. m (3)应力强度和应变强度之间幂指数关系, 即 i A i 这就是Il’yushin简单加载定律.有人认为只有第(1)条就可以了.
3-6 卸载定律 • 从单向拉伸实验的应力应变曲线 看:加载至过弹性极限达到A点,然后 卸载至B点, 此时总应变 的弹性 部分 e 中的部分应变 得到恢复,塑 p 要被保留下来.此时 性应变部分 的应力和应变的改变量, 即B点的应 力和应变为
2 3
S ij S ij
2 3
d i
所以 d
3d i 2 i
p

3d代入Levy-Mises流动法则就得到弹塑性硬化 材料的增量型本构方程:
d ii 1 2 E d ii
d e ij d m ij
di
上式微分得到 d i H d d i p H d i p 对自变量的导数, 有简单的物理意义, 见上图. 在线性强化时 H 时常数.由把Levy-Mises流动法则代入塑性 应变增量强度 d i p 的公式得到
di d
p
H 是函数 H
z
P T
1 2G 1 2G
d S ij d S ij
3d i 2 H i 3d i 2 H i
S ij S ij
或写成:
d ij
1 2 E
例题3-1 如图所 示, 一薄壁圆管, 其材料的拉伸硬 化曲线为线性. 试根据增量理论 分别对下列三种 加载路径求管的 总轴向应变 z 和 切向 应变 z
3-10 弹塑性硬化材料的增量型本构方程 • 对于弹塑性硬化材料, 采用等向硬化模型, 取Mises屈服条件, 即
i H
i
d
p i
(对于理想弹塑性Mises条件为 i s )
i
tg
1
H
H

i
去掉弹性
i
S


p
di
p

p
S
理想弹塑性
o o
i
ij
2 i
ij
i
i
• 当应力从加载面卸载, 也服从广义Hooke定律,写成增量形式
d ii 1 2 E d ii d e ij 1 2G d S ij
3-3 全量型本构方程 Il’yushin在1943年提出的硬化材料在弹塑性小变形情况下的本 构关系, 这是一个全量型的关系, 类似于广义Hooke定律. 在小 变形的情况下作出下列关于基本要素的假定:
(1) 体积变形式弹性的, 即
ii
1 2 E
ii
e ij S ij
(2) 应变偏张量和应力偏张量成比例
• 这个假定就是应力和应变的定性关系, 即方向关系和 分配关系. 方向关系指应变偏量主轴和应力偏量主轴 重合, 也即应变主轴和应力主轴重合,而分配关系是指 应变偏量和应力偏量成正比. • 形式上和广义Hooke定律相似, 但这里的比例系数不是 一个常数.这是一个非线性关系.下面我们来看一下这个系 数等于什么?
i
2 S ij S ij s
d
0
得到
1 d
3 2
d ij d ij s 3 2 d ij d ij
现在定义应变 di 增量强度为
那么
d
3d i 2
S
• 理想刚塑性材料的增量型本构方程为:
d ij
3d i 2 S
S ij
因为应力强度和应变强度的公式为:
i
3 2 S ij S ij
i
2 3
e ij e ij
把
e ij S ij
代入上面右式并考虑上面左式得到
3 i 2 i
(3)应力强度是应变强度的强度函数 i i , 即按单一曲 线假定的硬化条件. 综上所述, 全量型塑性本构方程为
0
其中 ij 是某一非零的参考应力状态, t 是单调增加的参数. 这样定义的简单加载说明, 在加载时物体内应变和应力的主方 向都保持不变. • 但是物体内的内力是不能事先确定的, 那么如何判断加载过 程是简单加载? Il’yushin指出, 在符合下列三个条件时, 可以 证明物体内所有各点是处于简单加载过程:
,

A

B


o

因为卸载要服从弹性本构关系, 即 E . 这就是说,我们可以 由因为卸载引起的荷载的改变 量 P P P 按弹性计算得到. • 推广到复杂应力的卸载情况(即应力强度 i 减小)得到: 卸载定律 . 即: 卸载后的应力或应变等于卸载前的应力或应变 减去卸载时的荷载改变量 P P P 为假想荷载按弹性计算所 得之应力或应变(即卸载过程中应力或应变的改变量.
ii
1 2 E
3 i 2 i
ii
e ij
S ij
i i
注意的是上式只是描述了加载过程中的弹塑性变形规律. 加 载的标志是应力强度 i 成单调增长. i 下降时为卸载过 程, 它时服从增量Hooke定律.
3-4 全量理论的基本方程及边值问题的提法 设在物体 V 内给定体力 Fi , 在应力边界 S 上给定面 力 p i, 在位移边界 S u 上给 定位移为 u i , 要求确定物 体内处于塑性变形状态的各 点的应力 ij , 应变 ij 和位 移 u i .按照全量理论,确定这 些基本未知量的基本方程有 平衡方程
塑性力学03
第三章 塑性本构关系—全量理论和增量理论 引言:塑性变形规律的复杂性, 到目前为止这个塑性本构关系 问题还没有得到满意的解决.现在广义采用的理论分为两大类: (1)全量理论, 又称为形变理论, 它认为在塑性状态下仍有应力 和应变全量之间的关系. 有Hencky(亨奇)理论和Il’yushin (伊 柳辛)理论. (2)增量理论, 又称为流动理论, 它认为在塑性状态下是塑性应 变增量和应力及应力增量之间随关系.有Levy-Mises(莱维-米 泽斯)理论和Prandtl-Reuss(普朗特-罗伊斯)理论. 3-1 建立塑性本构关系的基本要素 Shield和Ziegler指出, 建立塑性本构关系需要考虑三个基本要素: (1)初始屈服条件;(2)流动法则;(3)加载条件. 其中(1)和(3) 在第二章已经解决, 本章要解决第(2)点.
所以可以写成两个相应分解张量之间的关系.
这是七个方程
ii
1 2 E
ii
e ij
1 2G
S ij
第二个式子是六个方程,但因为有 S ii 0 , 所以有5个是独立的. 从第二式可以看到在弹性范围内应力主轴和应变主轴是一致 的. 应变偏量的分量和相应的应力偏量的分量成正比. 第二式也可以写成 S ij 2 G e ij ,把它代入应力强度的表达式 就可以得到下面的第二式, 然后有 G i / 3 i 再代回上面第 一式得到下面的第二式. 3 i • 所以也可写成如下形式 e S 3G
e ij e ij
边界条件 S : ij l j p i , S u : u i u i
这就是对于全量 理论的塑性力学 的边值问题.
3-5 全量理论的适用范围
简单加载定律
• 全量理论适用小变形并且是简单加载. • 那么上面是简单加载? 理论上上指在加载过程中物体每一 0 点的各个应力分量按比例增长. 即 ij t ij

p

e

• 使用卸载定律要注意两点: (1) 卸载过程必须时简单加载, 即卸载过程中各点的应力分量 时按比例减少的; (2) 卸载过程中不发生第二次塑性变形, 即卸载不引起应力改 变符号而达到新的屈服. • 由卸载定律可以看出, 全部卸载后,在物体内不仅留下残余应 变, 而且还有残余应力. 3-7 Levy-Mises流动法则和Prandtl-Reuss流动法则 塑性应力应变关系的重要特点时它的非线性和不唯一性. 全 量理论则企图直接建立全量形式表示的与加载路径无关的本 构关系, 一般是不正确的. 所以作为描述本构关系应该是它们 的增量之间的关系. 这就是增量理论, 也就是流动法则. 这里 介绍两个增量理论. 即Levy-Mises流动法则和Prandtl-Reuss 流动法则.
3-2 广义Hooke定律 • 在弹性范围内, 广义Hooke定律可以表达为
ij
1 ij ij kk E 1 2 1 ii ii e ij S ij E 2G 1
• 也可以表示为:
我们来证明一下: 由应力和应变的分解式,即 ij S ij ij m , ij e ij ij m 代入上面广义Hooke定律的公式,考虑到 G E / 2 1
3-8 理想弹塑性材料的增量本构方程 • 对于理想弹塑性材料, 后继屈服面和初始屈服面是重合的. 若 采用Mises条件, 则应有 求微分有 3
i
2 S ij S ij s
S ij d S ij 0
又因为应变比能的增量为
d W ij d ij m ij S ij d m ij d e ij