常微分方程应用举例

常微分方程应用举例
摘要
根据几何学和其他学科的实际问题及相关知识建立微分方程。

讨论该方程的性质，并由所得解或解的性质反过来解释该实际过程，
关键词：常微分方程，导数，解题，方法。

1，引言：
微分方程是数学学科联系实际的主要桥梁之一，是数学专业的一门重要基础课，也是理，工科高等数学的重要组成部分。

在自然科学和技术科学的其他领域中，例如化学，生物，物理学，自动控制，电子技术等等，都提出了大量的微分方程问题。

同样在社会科学的一些领域里也存在着微分方程的问题，因此社会的生产实践是常微分方程理论的取之不尽的基本源泉。

此外，常微分方程与数学的其他分支的关系也是非常密切的，它们往往互相联系，互相促进。

例如几何学就是常微分方程理论的丰富的源泉之一和有力工具。

考虑到常微分方程是一门与实际联系比较密切的数学课程，我们自然应该注意它的实际背景与应用。

2：在其他学科应用的方面
有些完全无关的，本质上不同的物理现象有时可以由同类型的微分方程来描述。

例如，反映物体冷却过程的方程。

dy
=﹣k(u-ｕa)
dx
和反映R-L电路中电流变化规律的方程。

dI dt
＋ＲI L =E L
都可以写成
dy
dt
＋K ²y=B 这里K,B 是常数，而R-L-C 电路的方程
22d I dt
+R L dI dt +I LC =1()
de t L dt
和数学摆的强迫微小振动的方
22d dt
ϕ+m μd dt ϕ+g l ϕ=1
ml F(t)
都具有同一形式：
22
d I
dt +b
dy
dt
+cy=f(t) 这里b,c 是常数，又L-C 电路方程
22d dt
ϕ+I
LC =0
和阻力系数u=0的数学摆的自由微小振动方程
22d dt
ϕ+g
l ϕ=0
属于同样的数学模型
22d y
dt
+2k y=0
这里k 是常数。

不同的物理现象可以具有相同的数学模型这一事实，正是现代许多应用数学工作者和工程人员应用模拟方法解决物理或工程问题的理论根据。

应用常
微分方程解决实际问题，一般有三个步骤： （1）建立微分方程。

（2）求解微分方程。

（3）由所得的解或解的性质反过来解释该实际问题。

3：举例
例1， 物体冷却过程的数学模型：
物体在空气中冷却速度与物体和空气的温差成比例。

如果物体在20分钟内由100ºC 冷至60ºC ，那么，在多久的时间内，这个物体的温度达到30ºC ？假设空气的温度为20ºC 。

解：在求此问题时，首先要求出物体温度u 和时间t 的关系。

为此，可以假设物体在t 时刻的温度为u=ｕ(t)则温度的变化速率以
du
dt
来表示。

因为热量
总是从温度高的物体向温度低的物体传导的。

因而ｕ0>ｕa 即温度u-ｕa 恒正。

又因物体随时间而逐渐冷却，故温度变化速度du dt
恒负。

由牛顿冷却定律得：
du
dt
=-k(u-ｕa ) (1)
这里k>0是比例常数。

ｕa 为空气的温度。

方程（1）就是物体冷却过程中温度和时间的函数关系式。

则有 ()
a d u u dt
-=-k(u-ｕa ) ()
a a
d u u u u --=-k dt 两边同时积分得：
ln(u-ｕa)=-kt+~c (~c 是任意常数) u-ｕa = ~
kt c e
-+=~
c e kt e -
u= ~c kt
e e-+ｕa
令c= ~c e得u=c kt e-+ｕ
a
当t=0时u=u
=100ºC 得
C=
u-a u=80 则u=80kt e-+20 当t=20时，u=60得
k=-1
20ln1
2
则u=20+801ln202t e-
⇒t=60
例2：如图所示的R-L电路中，设E=10伏，R=100欧，C=0.01法,而开始时
电容C上没有电荷。

问：
（1）当开关K合上“1”后，经过多长时间电容C上的电压
c
u=5伏？（2）当开关K合上“1”后，经过相当长的时间（如1分钟后）
开关从“1”突然转至“2”，试求，
c
u的变化规律，并问经过多长时间c u=5伏？
解：（1）当开关K合上“1”后，电池E就对电容C充电，电容C两端
的电压
c
u逐渐升高，而此时形成闭合回路，由基尔霍夫第二定律有，
c u +RL=E ① 对电容C 充电时，电容上的电量Q 逐渐增多，根Q=C c u 得 I=
dQ dt
=d
dt （C c u ）=C
c
du dt
②
将（2）代入（1）得 c u 的微分方程 RC c du dt
+c u =E
⇒
c
c du u E
- =-c du RC 两边同时积分
得 ln|c u E -|=-11
t c RC
+ 1
112122110(1)
55(1)
510(1)
ln 2
t c c RC
c t RC
c t RC
c c t RC
t u E e e c e u c e
E
c E u E e
u E e e t ----
--=+=+=+==-=-==-⇒=-⇒=c 即令得
由初始条件即t=0时u 代入得即
当时有
（2）当开关K 合上“1”后，经过相当长时间（如1分钟后）此时的 110(1)c u e -=-10≈。

当开关K 从“１”突然转至“２”的过程中。

这时电容就开始了放电过程，而此时有t ＝０，c u E =则有0c u RI += ③ 电容上的电量Q 逐渐减小，根据c Q Cu =得 ()c c du dQ d
I Cu C dt dt dt
=== ④
将④代入③得 0c
c du RC
u dt
+= ⇒ 1
11t c c RC
c u e e e -=±±2令c =有
1
2t RC
c u c e
-
=
20,..c t u E c E ===当则可得即有1t RC
c u Ee -
=
5c u =当时，有15t RC
Ee
-= ⇒ ln 2t =
例3：已知曲线上任意两点P 和Q 之间的弧长与P 和Q 到一定点O 的距离之差成正比，试求该曲线的方程满足的微分方程。

解：以O 点为极点建立极坐标系，在极坐标系下设曲线 的方程为()ρρθ=，P ，Q 两点的坐标分别为((),)ρθθ，11((),)ρθθ，由题意得
1
θ
θ
θ⎰=k （1()()ρθρθ-） （k 为比例常数）
两边对θ求导得
'ρ 即 '2()ρ（21k -）=2ρ
所以有
d
d ρθ
=
为所求的方程。

例4：某物体含有3kg 水分，现把它防臵在容积为1003m 的室内，假定开始时刻温度为饱和湿度的25%。

且在同一温度下，空气的饱和湿度为0.12kg/3m 。

如果经过一天后该物体失掉所含水分的一半，求该物体在时刻t 的含水量所满足的微分方程及定解条件？
解：我们知道疏松物体中所含水分挥发到周围空气中去的速度与该物体含水量成正比，与空气的饱和湿度和周围周围空气湿度之差成反比。

令W （t ）表示该物体在t 时刻的含水量（单位：kg ）则
dW
dt
是在t 时刻的挥发速度。

题设空气的饱和湿度是0.12kg/3m ，开始时室内湿度是它的25%即为0.03kg/3m 。

因此，t 时刻空气饱和湿度与周围的湿度差为 0.12-（
3()100w t -+0.03）=0.06+100w =1
100
（w+6） 则有
(6)dW
kw w dt
=-+ （k>0，为比例常数）
及边值条件： W(0)=3, W(1)=1.5
例5：求二次曲线族 22
2211
x y c c +=-（c 为参数） ① 的微分方程。

并从微
分方程本身证明这曲线是正交轨线族。

即这曲线族中的任何两条曲线相交则必正交。

解：①式两端对x 求导得
222201x y dy
c c dx
+=- ②
从 ① ， ②中消去c 得 ()
()1dy
y x y
dy
dx x x y dy dx
dx
++-=
即 ()()dy dy dy x
y x y dx dx dx
-+=
所以，曲线满足的微分方程为 222(1)()0d y d y
x y x y x y d x d x
--+-= 如果用1
dy dx
-
代替上述微分方程中的dy dx ，得 222
11
(1)()0()
x y xy xy dy dy dx dx
---+-=
整理得： 222(1)()0dy dy
x y xy xy dx dx
--+-=
所得方程与原方程一致，这说明曲线族是正交轨线族。

例6：设有质量为m 的摆锤，用长为l 的细线（细线的质量忽略不计）悬挂在点o 处，如图所示，让它在重力作用下于铅直平面内沿圆弧左右摆动，试求摆锤的运动规律做满足的微分方程？
解：将摆锤视作质点m 过o 作
铅垂线'oo ，把这一方向取为零度摆线在其右侧所成的角规定为正角，在其左侧所成角规
定为伏角。

设摆锤在震动过程中摆线与铅垂线'oo 所成的角关于t 的函数为
()t θθ=，则()t θθ=可以描述摆锤的运动规律，摆锤沿圆弧运动时的切向加速
度为2
2d a l dt θ=，将作用在摆锤上m 点处的重力MR 分解为径向力MQ 和MP 。

由于在摆锤运动过程中，作用在摆锤上的力MP
总是使摆锤向平衡位臵运动。

所以，MP
的数值为sin mg θ-（其中g
为重力加速度）。

又牛顿第二定律有
2
2d ml dt θ=sin mg θ-
即， 22sin 0d g
dt l
θθ+=
这就是摆锤的运动规律所满足的微分方程。

主要参考文献：
⑴王高雄，周之铭等编《常微分方程》高等教育出版社，（第二版）1992.2
⑵中山大学力学系编《常微分方程》人民教育出版社。

1975.5
⑶哈迪拉·马合买提：论常微分方程应用解题法。

新疆教育学报。

2003.6
⑷徐彩霞：微分方程应用探讨.重庆商学院。

1998.11
⑸催伟业，张莹：常微分方程初值问题求解及在三角公式证明中的应用.高斯理科学刊。

2003.5
⑹赵凯宏，李晓飞：常微分方程求积分因子的一个定理及其应用.玉溪师范学院学报。

2004.8
⑺庄万编《常微分方程习题解》山东科学技术出版社。

2003，9
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•【唯美句子】走累的时候，我就到升国旗哪里的一角台阶坐下，双手抚膝，再闭眼，让心灵受到阳光的洗涤。

懒洋洋的幸福。

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漫天的安静。

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温和的海水轻轻地拍打着我的脚踝，我张开双臂拥抱最温馨的时刻……我爱大海宽广的胸怀，无论多大的风浪，她都可以揽入怀中；无论多少风雨，都无法将她击垮；无论多少河流，她都可以容纳；我愿做一只填海的燕，填平她的波涛翻滚，填平她的汹涌愤怒，只留下平静、柔和的海面。