中职数学基础模块4.1.1有理指数(二)教学设计教案人教版
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使学生进一步巩固函数计算器的使用方法．
小结：
1．
2．
3．利用函数型计算器求ab的值．
学生在教师的引导下回顾本节课的主要内容，加深理解根式和分数指数幂的概念；理顺实数指数幂的推广过程；回顾计算器的使用方法．
简洁明了地概括本节课的重要知识，便于学生理解记忆．
理顺本节指数幂的推广思路，使学生思维清晰．
课题
4.1.1有理指数(二)
课型
新授
第几
课时
2
课
时
教
学
目
标
（三维）
1.了解根式的概念和性质；理解分数指数幂的概念；掌握有理数指数幂的运算性质．
2.会对根式、分数指数幂进行互化．培养学生的观察、分析、归纳等逻辑思维能力．
3.培养学生用事物之间普遍联系的观点看问题．
教学重点与
难点
教学重点：
分数指数幂的概念以及分数指数幂的运算性质
教学难点：
对分数指数幂概念的理解．
教学
方法
与
手段
问题解决教学法
使
用
教
材
的
构
想
在引入分数指数幂时，先讲方根的概念，根据方根的定义，得到根式具有的性质．在利用根式的运算性质对根式的化简过程中，引导学生注意发现并归纳其变形特点，进而由特殊情形归纳出一般规律．在对根式的性质进行练习以后，为了解决运算的合理性，引入了分数指数幂的概念，从而将指数幂推广到了有理数范围．在学生掌握了有理指数幂的运算性质后，将有理指数幂推广到实数指数幂．考虑到职校学生的实际情况，并没有给出严格的推证
(4)0的任何次方根都为0．
当 有意义时， 叫做根式，n叫根指数．
正数a的正n次方根叫做a的n次算术根．
例如： 叫做2的3次算术根； 不叫根式，因为它是没有意义的．
二、根式的性质
(1) ( ) ＝a．
例如，( ) ＝27，( ) ＝－3．
(2)当n为奇数时， ＝a；
当n为偶数时， ＝|a|＝ .
例如： ＝－5， ＝2；
(2)由(－5)3＝－125知，－5是－125的三次方根(立方根)；
(3)由64＝1296知，6是1296的4次方根．
有关结论：
(1)当n为奇数时：正数的n次方根为正数，负数的n次方根为负数．记作：
x＝ ．
(2)当n为偶数时，正数的n次方根有两个(互为相反数)．记作：
x＝± ．
(3)负数没有偶次方根．
学生认真观察．
在教师的引导下，学生寻找解惑途径．
学生在教师的引导下，由特殊到一般，积极构建分数指数幂的概念．
师：负整数指数幂是怎么定义的？如何来定义负分数指数幂呢？
学生在教师的引导下，类比负整指数幂的定义，形成负分数指数幂的概念．
师：至此，我们把整数指数幂推广到了有理指数幂．有理指数幂还可以推广到实数指数幂．使学生形成实数指数幂的概念．
以上aα，aβ中，a＞0，b＞0，且α，β为任意实数．
练习1
8 ×8 ＝8 ＝81＝8；
8 ＝(8 )2＝22＝4；
3 × × ＝3×3 ×3 ×3 ＝31＋ ＋ ＋ ＝32＝9；
(a b )3＝(a )3·(b )3＝a2b ．
例1利用函数型计算器计算(精确到0.001)：
(1)0.21.52；(2)3.14－2；(3)3.1 ．
＝5， ＝|－3|＝3．
观察下面的运算：
(a )3＝a 3＝a①
(a )3＝a 3＝a2②
上面两式的运算，用到了法则(am)n＝amn，但无法用整数指数幂来解释，但是①式的含义是a 连乘3次得到a，所以a 可以看作是a的3次方根；②式的含义是a 连乘3次得到a2，所以a 可以看作是a2的3次方根．
因此我们规定
学生做练习．
教师讲解例1第(1)题的操作方法．
学生结合教材，完成例1第(2)、(3)题，学习用计算工具来求指数幂ab的值．
引入方根的概念为下一步引入分数指数做基础．
使学生加深对方根概念的理解，为总
结出结论作铺垫．
由方根的概念引入其数学记法，为引入根式的概念作准备．
引入根式、根指数的概念．
将数学语言(符号)转化为文字语言，使学生加深对性质的理解．
a ＝ ，a ＝ ，
以使运算合理．
三、分数指数幂
一般地，我们规定：
a ＝ (a＞0)；
a ＝ ＝( )m(a＞0，m，nN+，且 为既约分数)．
a ＝ (a＞0，m，nN+，且 为既约分数)．
四、实数指数幂的运算法则
(1)aαaβ＝aα+β；
(2)(aα)β＝aα β；
(3)(a b)α＝af(x)＝2.71x，求f(－3)，f(－2)，f(－1)，f(1)，f(2)，f(3) (精确到0.001)．
请同学们结合教材在小组内合作完成．
练习2
教材P98，练习A组第3题，练习B组第3题．
教师板书课题．
学生理解方根概念．
教师通过举例让学生进一步理解方根的概念．
教师行为
学生行为
设计意图
复习：
1．整数指数幂的概念．
an＝a×a×a×…×a(n个a连乘)；
a0＝1(a≠0)；
a－n＝ (a≠0，nN+)．
2．运算性质：
aman＝am+n；
(am)n＝amn；
(ab)m＝ambm．
师：上节课我们把正整指数幂推广到了整数指数幂，那么我们能不能把整数指数幂推广到分数指数幂，进而推广到有理指数幂和实数指数幂呢？这节课我们就来探讨这个问题．
学生在教师的引导下进一步理解根式的概念．
学生重新构建根式、根指数的概念，教师强调当 有意义时， 叫做根式．
学生理解根式的性质，通过实例演示，将性质应用到运算之中．
教师用语言叙述根式性质：
(1)实数a的n次方根的n次幂是它本身；
(2)n为奇数时，实数a的n次幂的n次方根是a本身；n为偶数时，实数a的n次幂的n次方根是a的绝对值．
师：首先来复习一下上节课所学的内容．
学生回答教师提出的问题，教师及时给予评价．
以旧引新提出问题，引入本节课题．
复习上节所学内容．
一、根式有关概念
定义：一般地，若xn＝a(n＞1，nN)，则x叫做a的n次方根．
例如：
(1)由32＝9知，3是9的二次方根(平方根)；
由(－3)2＝9知，－3也是9的二次方根(平方根)；
设置障碍，使学生积极寻找解决途径，从而调动学生思维的积极性．
通过教师引导，学生找到使运算合理的途径．
引入正分数指数幂的概念．
类比负整数指数幂的定义，引入负分数指数幂的概念．
将有理指数幂推广到实数指数幂，并给出实数指数幂的运算法则．
加深对有理指数幂的理解，并使学生进一步掌握指数幂的运算法则．
使学生掌握函数型计算器的使用．
小结：
1．
2．
3．利用函数型计算器求ab的值．
学生在教师的引导下回顾本节课的主要内容，加深理解根式和分数指数幂的概念；理顺实数指数幂的推广过程；回顾计算器的使用方法．
简洁明了地概括本节课的重要知识，便于学生理解记忆．
理顺本节指数幂的推广思路，使学生思维清晰．
课题
4.1.1有理指数(二)
课型
新授
第几
课时
2
课
时
教
学
目
标
（三维）
1.了解根式的概念和性质；理解分数指数幂的概念；掌握有理数指数幂的运算性质．
2.会对根式、分数指数幂进行互化．培养学生的观察、分析、归纳等逻辑思维能力．
3.培养学生用事物之间普遍联系的观点看问题．
教学重点与
难点
教学重点：
分数指数幂的概念以及分数指数幂的运算性质
教学难点：
对分数指数幂概念的理解．
教学
方法
与
手段
问题解决教学法
使
用
教
材
的
构
想
在引入分数指数幂时，先讲方根的概念，根据方根的定义，得到根式具有的性质．在利用根式的运算性质对根式的化简过程中，引导学生注意发现并归纳其变形特点，进而由特殊情形归纳出一般规律．在对根式的性质进行练习以后，为了解决运算的合理性，引入了分数指数幂的概念，从而将指数幂推广到了有理数范围．在学生掌握了有理指数幂的运算性质后，将有理指数幂推广到实数指数幂．考虑到职校学生的实际情况，并没有给出严格的推证
(4)0的任何次方根都为0．
当 有意义时， 叫做根式，n叫根指数．
正数a的正n次方根叫做a的n次算术根．
例如： 叫做2的3次算术根； 不叫根式，因为它是没有意义的．
二、根式的性质
(1) ( ) ＝a．
例如，( ) ＝27，( ) ＝－3．
(2)当n为奇数时， ＝a；
当n为偶数时， ＝|a|＝ .
例如： ＝－5， ＝2；
(2)由(－5)3＝－125知，－5是－125的三次方根(立方根)；
(3)由64＝1296知，6是1296的4次方根．
有关结论：
(1)当n为奇数时：正数的n次方根为正数，负数的n次方根为负数．记作：
x＝ ．
(2)当n为偶数时，正数的n次方根有两个(互为相反数)．记作：
x＝± ．
(3)负数没有偶次方根．
学生认真观察．
在教师的引导下，学生寻找解惑途径．
学生在教师的引导下，由特殊到一般，积极构建分数指数幂的概念．
师：负整数指数幂是怎么定义的？如何来定义负分数指数幂呢？
学生在教师的引导下，类比负整指数幂的定义，形成负分数指数幂的概念．
师：至此，我们把整数指数幂推广到了有理指数幂．有理指数幂还可以推广到实数指数幂．使学生形成实数指数幂的概念．
以上aα，aβ中，a＞0，b＞0，且α，β为任意实数．
练习1
8 ×8 ＝8 ＝81＝8；
8 ＝(8 )2＝22＝4；
3 × × ＝3×3 ×3 ×3 ＝31＋ ＋ ＋ ＝32＝9；
(a b )3＝(a )3·(b )3＝a2b ．
例1利用函数型计算器计算(精确到0.001)：
(1)0.21.52；(2)3.14－2；(3)3.1 ．
＝5， ＝|－3|＝3．
观察下面的运算：
(a )3＝a 3＝a①
(a )3＝a 3＝a2②
上面两式的运算，用到了法则(am)n＝amn，但无法用整数指数幂来解释，但是①式的含义是a 连乘3次得到a，所以a 可以看作是a的3次方根；②式的含义是a 连乘3次得到a2，所以a 可以看作是a2的3次方根．
因此我们规定
学生做练习．
教师讲解例1第(1)题的操作方法．
学生结合教材，完成例1第(2)、(3)题，学习用计算工具来求指数幂ab的值．
引入方根的概念为下一步引入分数指数做基础．
使学生加深对方根概念的理解，为总
结出结论作铺垫．
由方根的概念引入其数学记法，为引入根式的概念作准备．
引入根式、根指数的概念．
将数学语言(符号)转化为文字语言，使学生加深对性质的理解．
a ＝ ，a ＝ ，
以使运算合理．
三、分数指数幂
一般地，我们规定：
a ＝ (a＞0)；
a ＝ ＝( )m(a＞0，m，nN+，且 为既约分数)．
a ＝ (a＞0，m，nN+，且 为既约分数)．
四、实数指数幂的运算法则
(1)aαaβ＝aα+β；
(2)(aα)β＝aα β；
(3)(a b)α＝af(x)＝2.71x，求f(－3)，f(－2)，f(－1)，f(1)，f(2)，f(3) (精确到0.001)．
请同学们结合教材在小组内合作完成．
练习2
教材P98，练习A组第3题，练习B组第3题．
教师板书课题．
学生理解方根概念．
教师通过举例让学生进一步理解方根的概念．
教师行为
学生行为
设计意图
复习：
1．整数指数幂的概念．
an＝a×a×a×…×a(n个a连乘)；
a0＝1(a≠0)；
a－n＝ (a≠0，nN+)．
2．运算性质：
aman＝am+n；
(am)n＝amn；
(ab)m＝ambm．
师：上节课我们把正整指数幂推广到了整数指数幂，那么我们能不能把整数指数幂推广到分数指数幂，进而推广到有理指数幂和实数指数幂呢？这节课我们就来探讨这个问题．
学生在教师的引导下进一步理解根式的概念．
学生重新构建根式、根指数的概念，教师强调当 有意义时， 叫做根式．
学生理解根式的性质，通过实例演示，将性质应用到运算之中．
教师用语言叙述根式性质：
(1)实数a的n次方根的n次幂是它本身；
(2)n为奇数时，实数a的n次幂的n次方根是a本身；n为偶数时，实数a的n次幂的n次方根是a的绝对值．
师：首先来复习一下上节课所学的内容．
学生回答教师提出的问题，教师及时给予评价．
以旧引新提出问题，引入本节课题．
复习上节所学内容．
一、根式有关概念
定义：一般地，若xn＝a(n＞1，nN)，则x叫做a的n次方根．
例如：
(1)由32＝9知，3是9的二次方根(平方根)；
由(－3)2＝9知，－3也是9的二次方根(平方根)；
设置障碍，使学生积极寻找解决途径，从而调动学生思维的积极性．
通过教师引导，学生找到使运算合理的途径．
引入正分数指数幂的概念．
类比负整数指数幂的定义，引入负分数指数幂的概念．
将有理指数幂推广到实数指数幂，并给出实数指数幂的运算法则．
加深对有理指数幂的理解，并使学生进一步掌握指数幂的运算法则．
使学生掌握函数型计算器的使用．