二次函数整点问题解题思路
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二次函数整点问题解题思路
在学习高中数学的过程中,我们接触到了很多种形式的函数,其中
二次函数是最为基本也是最为重要的一种。
在使用二次函数解决实际
问题时,往往会遇到一些整点问题。
本文将介绍二次函数整点问题的
解题思路,并以实例进行阐述。
类别一:坐标轴上的整点问题
首先,我们要明确什么是坐标轴上的整点问题。
所谓坐标轴上的整点
问题,就是求二次函数 f(x) = ax² + bx + c (a ≠ 0)在坐标轴上的零点、顶点时的坐标值,即 x = 0 时函数 f(x) 的值、x = -b/(2a) 时函数 f(x) 的值。
在解决这类问题时,我们可以运用完全平方公式以及一些基本的
数学知识得出下面的结论:
1. 二次函数的零点公式:若二次函数 f(x) = ax² + bx + c (a ≠ 0)在坐
标轴上的零点坐标为 (p, 0),则有 p = [-b±√(b²-4ac)]/2a。
2. 二次函数的顶点公式:若二次函数 f(x) = ax² + bx + c (a ≠ 0)的顶
点坐标为 (p, q),则有 p = -b/(2a),q = f(p) = a(p²) + b(p) + c。
例如,求函数 f(x) = 2x² + 6x - 8 在坐标轴上的零点时,我们可以利用零点公式,得到函数的两个零点为 x₁ = -2-2√3,x₂ = -2+2√3。
同样地,
求函数的顶点时,我们可利用顶点公式,得到函数的顶点坐标为 (-3,-26)。
类别二:应用题中的整点问题
除了求解坐标轴上的整点问题外,二次函数还可以应用于实际问题中。
这时,我们往往需要另外构建函数方程,并求解对应的整点。
下面,
我们以一道题目为例,阐述应用题中求解整点问题的解法:
题目:若平面内一点到两端点为 (-4,3) 和 (4,-3) 的线段的距离为 6,则
此点到过该线段上任意一点的距离的平方差的最小值为多少?
解析:构建直线的一般式方程后,设点 P (x,y) 是到该直线上任意一点
的距离平方差的最小值点,则直线与 P 点的距离垂线在 P 点上的长度
一定相等。
又因为直线所在的平面与垂直于直线的平面相交产生的两
直线的距离差是一个定值,所以问题转化为求点 P 到直线的距离的平
方加上一个定值的最小值。
令该最小值为 s,我们即可列出方程:
(x-4)² + (y+3)² - s = k[(x+4)² + (y-3)² - s]
其中,k 为一个待定系数。
将方程整理化简,得到:
(k+1)x² + (k-1)y² + (8k+32)x + (6k-18)y - (18k+72) = 0
此时,我们可以应用解析几何知识,确定二次函数的系数,并运用顶
点公式,求解出函数的顶点坐标即为点 P。
化简方程后,可得到:
(k+1)[(x+4)² -16] + (k-1)[(y-3)² -1] - 18k - 18 = 0
由此得到;
k(x+4)² + (k-1)(y-3)² = 25k + 5
对于该式,当 k>0 且最小化时,函数的极小值为 5,因此,点 P 到直线上任意一点的距离的平方差的最小值为 5。
总结
综上所述,在求解二次函数整点问题时,应根据所给条件,建立相应的方程。
对于坐标轴上的整点问题,我们可以运用数学知识,得出函数的零点及顶点坐标;对于应用题中的整点问题,我们需要查阅解析几何相关知识,并通过构造函数方程求解出函数的顶点坐标。
同时,解题时还需要掌握基本的运算技巧,并注意化式和整理式子的过程,以确保答案正确。