2021版新高考数学一轮复习 课时规范练5 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题 新人教A版.docx

基础巩固组
1.(2019浙江温州模拟)以下不等式组表示的平面区域是三角形的是( )
A.{x ≥1,x -x ≥0,x +2x -6≥0
B.{x ≥1,x -x ≥0,x +2x -6≤0
C.{x ≥1,x -x ≤0,x +2x -6≥0
D.{x ≥1,x -x ≤0,x +2x -6≤0
2.若P (x ,y )满足约束条件1≤x ≤2x-y ≤4,且
3x -x
x
=2,则z 的最大值为( )
A.1
B.4
C.7
D.10
3.(2019浙江丽水模拟)若实数x ,y 满足约束条件{x +2x -2≥0,
x +x ≤2,x ≤2,
则x-y 的最大值等于( )
A.2
B.1
C.-2
D.-4
4.设实数x ,y 满足约束条件{x ≥0,
x ≥0,x +x ≤2,
则z=2x ×4y
的最大值为( )
A.1
B.4
C.8
D.16
5.已知实数x ,y 满足{x ≥4
3,
(x -1)(3x +x -6)≤0,
则x
x 的取值范围为( )
A.-3,32
B.-3,32
C.-3,
35
D.-13,
53
6.若点P 在不等式组{2x -x +2≥0,
x +x -2≤0,x -x +1≤0内,点Q 在曲线x 2+(y+2)2
=1上,那么|PQ|的最小值为( )
A.
4√55
-1 B.2√2-1
C.
3√22
-1 D.√5-1
7.已知实数x ,y 满足:{x 2-x ≤x 2-x ,
0≤x ≤1
2
.
若目标函数z=ax+y (其中a 为常数)仅在12,12
处取得最大
值,则a 的取值范围是( ) A.(-1,1)
B.(-1,0)
C.(0,1)
D.{-1,1}
8.已知实数x ,y 满足{2x +x -2≥0,
x +2x -4≤0,x -x -1≤0,且(k-1)x-y+k-2≥0恒成立,则实数k 的最小值
是 .
9.若直线ax+y=0将平面区域Ω={(x ,x )|{x ≥0,
x +x ≤1,x -x ≤1
}
划分成面积为1∶2的两部分,则实数a 的值等于 .
10.(2019河北石家庄二模)若实数x ,y 满足条件{x ≤x ,
x +2x ≥3,2x +x ≥6,
则z=2x+2y 的最小值
为 .
11.(2019湖南岳阳二模)岳阳市某高中文学社计划招入女生x 人,男生y 人,若x ,y 满足约束条件{2x -x ≥5,
x -x ≤2,x ≤6,
则该社团今年计划招入学生人数最多为 . 综合提升组
12.(2019浙江杭州上城区校级月考)若不等式组{x +x ≥0,
x -x ≥0,x ≤x
(a 为常数),表示的平面区域的面积4,
则x 2
+y 的最小值为( )
A.-3
4
B.-1
4
C.0
D.2
13.(2019山东菏泽模拟)在区域Ω={(x ,x )|{x ≥0
x +x ≤1x -x ≤1
}
中,若满足ax+y ≥0的区域面积占Ω面积的1
3,则实数a 的值为( )
A.2
3
B.1
2
C.-1
2
D.-2
3
14.设x ,y 满足不等式组{x -x +1≥0,
x +x -3≤0,x ,x ∈N,则2x-y 的所有值构成的集合中元素个数为 个.
15.(2019五华区校级月考)若点A 是区域{x +1≥0,
x +x -1≤0,x -x +1≥0
内一动点,点B 是圆(x-2)2+(y-1)2
=1上一
点,则|AB|的最小值为 .
创新应用组
16.设不等式组{x +x ≤4,
x -x ≥0,x -1≥0
表示的平面区域为D ,若圆C :(x+1)2+y 2=r 2
(r>0)不经过区域D 上的点,
则r 的取值范围为( )
A.(0,√5)∪(√13,+∞)
B.(√13,+∞)
C.(0,√5)
D.[√5,√13]
参考答案
课时规范练5 二元一次不等式(组)
与简单的线性规划问题
1.D 对于A,画出不等式组{x ≥1,
x -x ≥0,x +2x -6≥0
表示的平面区域,如图1阴影所示,图1不是三角形区域;
图1
对于B,画出不等式组{x≥1,
x-x≥0,
x+2x-6≤0
表示的平面区域,如图2阴影所示,图2不是三角形区域;
图2
对于C,画出不等式组{x≥1,
x-x≤0,
x+2x-6≥0
表示的平面区域,如图3阴影所示,图3不是三角形区域;
图3
对于D,画出不等式组{x≥1,
x-x≤0,
x+2x-6≤0
表示的平面区域,如图4阴影所示,图4是三角形区域.
图4 故选D.
2.C∵点P(x,y)满足约束条件1≤x≤2x-y≤4,∴{x≥1,
x-x≥0,
2x-x≤4,
画出不等式组表示的平面区域,如
图所示:
由
3x -x
x
=2得目标函数z=3x-2y.由图形可知,目标函数过点A 时,z 取得最大值,由{
x =1,
2x -x =4,
解得A (1,-2).
∴z 的最大值为3×1-2×(-2)=7,故选C . 3.A 由实数x ,y 满足约束条件{x +2x -2≥0,
x +x ≤2,x ≤2,
作出可行域如图,
联立{
x +2x -2=0,
x +x =2,
解得A (2,0).
化目标函数z=x-y 为y=x-z ,
由图可知,当直线y=x-z 过A 时,直线在y 轴上的截距最小,z 有最大值为2. 故选A .
4.D 画可行域如图,且z=2x
×4y
=2
x+2y
,
画直线0=x+2y,平移直线过A(0,2)点时z有最大值16.故选D.
5.A先作出不等式组对应的可行域,如图所示,
解方程组{x=4
3
,
3x+x-6=0
得A4
3
,2,x
x
=x-0
x-0
表示可行域内的点(x,y)到原点的直线的斜率,所
以当点在A点时,斜率最大=2
4
3=3
2
,x
x
没有最小值,无限接近直线3x+y-6=0的斜率-3,所以x
x
的取值范
围为-3,3
2
.故选A.
6.D作出不等式组对应的平面区域如图,B(-1,0),曲线x2+(y+2)2=1的半径为1,圆心D(0,-2).
由图象可知圆心D(0,-2)到B的距离为d=√1+22=√5.
由图象可知|PQ|的最小值为√5-1.
故选D .
7.A 构造二次函数f (t )=t 2
-t ,由函数的单调性可知,f (x )≤f (y ),得到自变量离轴越远函数值越大,故|x -1
2
|≤1
2
-y ,且0≤y ≤1
2
,得到可行域为如图所示,
直线斜率为-a ,由图象可得到-1<-a<1即-1<a<1.故选A .
8.4 画出{2x +x -2≥0,
x +2x -4≤0,x -x -1≤0
表示的可行域,如图,直线(k-1)x-y+k-2=0过定点(-1,-1),若(k-1)x-y+k-2≥0恒成立,可行域在直线下面,当直线过(0,2)时,k-1有最小值
2+11
=3,k 最小值为4,故答案为
4.
9.1
2
或-1
2 绘制不等式组表示的平面区域如图所示,由题意可知,该平面区域的面
积:S=12
×OB ×AC=1
2
×1×2=1,直线ax+y=0的斜率为k=-a ,当a<0时,如图所示,联立方程
组:{
xx +x =0,
x +x =1
可得D
1
1-x ,x
x -1,此时S △OCD =12
×1×|
1
1-x
|=13
,解得a=-12
,由对称性可知,a=1
2
也满
足题意.综上可得:实数a 的值等于1
2或-1
2.
10.6 作出实数x ,y 满足条件{x ≤x ,
x +2x ≥3,2x +x ≥6,
对应的平面区域如图,
由z=2x+2y ,则y=-x+1
2z.
平移直线y=-x+12
z ,由图象可知当直线y=-x+12
z 经过点A 时,直线y=-x+1
2
z 的截距最小,此时z 最
小,无最大值.
由{x +2x =3,2x +x =6,
解得A (3,0). 此时z min =2×3+2×0=6.
11.13 画出约束条件{2x -x ≥5,
x -x ≤2,x ≤6
表示的平面区域,如图所示,
要求招入的人数最多,即z=x+y 取得最大值,目标函数化为y=-x+z. 在可行域内任意取x ,y 且为正整数使得目标函数代表的斜率为定值-1,
由{x =6,2x -x =5,
求得A (6,7),此时目标函数取得最大值为z=6+7=13.
12.B 满足约束条件{
x +x ≥0,
x -x ≥0
的可行域如下图所示,
若可行域的面积为4,1
2×√2a ·√2a=4,则a=2.
因为z=x 2
+y ,即x 2
=-y+z ,表示开口向下的抛物线,当抛物线与直线y=-x 相切时,表达式取得最小值.
因为y=-x 2
+z ,y'=-2x ,且切线的斜率为-1,可得切点的横坐标为12,此时y=-1
2.
当x=12,y=-12时,x 2
+y 取最小值-1
4.故选B .
13.C 根据题意,区域Ω为如图所示的三角形ABC ,则三角形ABC 为等腰直角三角形,所以∠
BAC=45°.
因为直线ax+y=0过(0,0),结合图形可知a<0时,才能满足ax+y ≥0的区域面积占Ω面积的1
3,
所以满足ax+y ≥0的区域为图中阴影AOD.设D 点坐标为(x ,1-x ),满足ax+y ≥0的区域面积占Ω面积的13,即三角形AOD 的面积为三角形ABC 面积的13,13×12×2×1=12×AO ×AD ×sin45°,即13=12×1×√x 2+(1-x -1)2×√22,解得x=23. 又D 点在直线ax+y=0上,
所以a ×23+13=0, 解得a=-12.故选C . 14.7 x ,y 满足不等式组{x -x +1≥0,
x +x -3≤0,x ,x ∈N
的可行域如图中的8个
点,(0,0),(0,1),(1,2),(1,1),(1,0),(2,0),(3,0),(2,1).
所以2x-y 的所有值构成的集合中元素个数为7个.
15.√2-1 由约束条件画出可行域如图所示,
记圆心(2,1)到直线x+y-1=0的距离为d ,则d=√2=√2, 所以|AB|的最小值为√2-1.
16.A作出不等式组{x+x≤4,
x-x≥0,
x-1≥0
表示的平面区域,得到如图的△MNP及其内部,其中
M(1,1),N(2,2),P(1,3).∵圆C:(x+1)2+y2=r2(r>0)表示以C(-1,0)为圆心,半径为r的圆,∴由图可得,当半径满足r<CM或r>CP时,圆C不经过区域D上的点,
∵CM=√(1+1)2+12=√5,CP=√(1+1)2+32=√13,
∴当0<r<√5或r>√13时,圆C不经过区域D上的点,故选A.。