4.2.2等差数列的前n项和公式课件-高二下学期数学人教A版选择性必修第二册

a1 an ( n 1) d

n（n 1)
S n na1
d
2
公式二
n（n 1)
S n nan
d
2
公式二变式
类比梯形面积公式 :
公式的使用:
（上底 下底） 高
S
2
已知a1 , an , n ,求S n时，优先考虑公式 1
已知a1 , d , n, 求S n时，优先考虑公式 2
求和；
2
对于(2),可以先利用a1和2 的值求出d ，再利用公式 = 1 +
对于(3),已知公式 =
(−1)
1 +
2
(−1)
2
求和；
中的1 ，和 ，解方程即可求得.
典例解析
典型例题
新教材《选择性必修二》
例1.已知数列{an}是等差数列.
（1）若a1=7, 50 =101,求50 ；
东家半落西家.
愿得春风相伴去， 一攀一折向天涯.
从数学的角度来看，这首诗有什么特点？这首诗的内容一共有多少个字？
探究新知
新知学习
新教材《选择性必修二》
问题2 网络时代与唐代不同的是，宝塔诗的句数不受限制，如图，从
第1行到第n行一共有多少个字？
按照n取值的奇偶进行分类讨论.
当n为偶数时，
Sn 1 2 3
n(n 1)

2
Sn 1 2 3
n
(1 n) [2 (n 1)]
(1 n) (1 n)
当n为奇数时，
n n

( 1)
2 2

(1 n).
(1 n) [2 (n 1)]

(n 1)
n 1
B．2
C．4
D．8
a1 3d a1 4d 24

【解析】由题知，
，解得 a1 2 ， d 4 ，故选 C ．
65
6a1 2 d 48
2.（2018•全国Ⅰ，理 4）记 S n 为等差数列{an } 的前 n 项和．若3S3 S2 S4 ， a1 2 ，则 a5 (
解：（1）因为a1=7, 50 =101 ，根据公式 =
5
（2）若a1=2, 2 = ,求10 ；
2
5
2
(1 + )
，可得20
2
1
2
（2）因为a1=2, 2 = ， 所以d= .根据公式 = 1 +
10×(10−1)
1
−
1
,
6
，
85
可得10 = 10 × 2 +
× =
3．
（2019•全国Ⅰ，理 9）记 S n 为等差数列{an } 的前 n 项和．已知 S4 0 ， a5 5 ，则(
A． an 2n 5
B． an 3n 10
C． Sn 2n 2 8n
1
D． Sn n2 2n
2
)
4a1 6d 0
a 3
【解析】设公差为 d ，由 S4 0 ，a5 5 ，得
第四章 数列
4.2等差数列
4.2.2.1等差数列的前n项和
数学
新课引入
数学王子——高斯
新教材《选择性必修二》
探究新知
新知学习
问题1
新教材《选择性必修二》
请同学们欣赏唐代诗人张南史的《花》并回答下面的问题：
花，
花.
深浅，
芬葩.
凝为雪，
错为霞.
莺和蝶到，
苑占宫遮.
已迷金谷路，
频驻玉人车.
芳草欲陵芳树，
条件能确定这个等差数列的首项和公差吗？
(法一)解：由题意，知S10 =310, S20 =1220, (法二)设 Sn＝An2＋Bn(A，B 为常数)．
把它们代入公式 = 1 +
101 + 45 d = 310
得
201 + 190 d = 1220
解方程组，得
1 = 4
d =6
(−1)
6
2
6
6
探索新知
新知学习
问题5
新教材《选择性必修二》
等差数列通项公式是关于n的一次函数，前n项和呢？
n(n 1)
S n na1
d
2
d 2 d
na1 n n
2
2
d 2
d
n (a1 )n S n An 2 Bn ( A、B为常数 )
2
2
d
d
【A , B a1 】
2
2
2
1
1
（3）若1 = ，d= − , = −5,求
2
6
1
（3）把1 = ，d=
2
(−1)
2
=
50×(7+101)
=2700.
2
= −5代入 = 1 +
.
(−1)
2
，得−5 =
1

2
+
整理，得2 − 7 − 60 = 0解得 = 12或 = −5（舍）,所以 = 12
＝－2n＋2，
经检验，n＝1也合适该式.故an＝－2n＋2(n∈N*).
方法 2

由题意得

d
A 1
2
d
B a1 1
2

d 2
解得
a1 0
故 an
2n 2
典例解析
典型例题
新教材《选择性必修二》
例3.已知一个等差数列 前10项的和是310，前20项的和是1220.由这些
2

310＝100A＋10B，
由题意，得
1 220＝400A＋20B，

A＝3，
解得
解得 d 6
B＝1.
a1 4
所以，由所给的条件可以确定等差数列的首项和公差.
一般地，对于等差数列，只要给定两个相互独立的条件，这个数列就完全确定.
体验高考
1.（2017•全国Ⅰ，理 4）记 S n 为等差数列 {an }的前 n
(−1)
2
×（−
1
）
6
跟踪训练
巩固练习
跟踪训练1
新教材《选择性必修二》
在等差数列{an}中：
(1)a1＝1，a4＝7，求S9；
解:设等差数列{an}的公差为 d,则 a4＝a1＋3d＝1＋3d＝7,
9×8
9×8
所以 d＝2.故 S9＝9a1＋
d＝9＋
×2＝81.
2
2
(2)a3＋a15＝40，求S17；
d
S n na1
d
2
2
S n An 2 Bn
用了哪些方法
倒序相加法
方程思想
基本量思想
本部分内容讲授结束
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Sn a1 a2 a3 an2 an1 an ,
Sn an an1 an2 a3 a2 a1 ,
两式左右分别相加，得
在等差数列{an}中，若m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq.
2S n (a1 an ) (a2 an 1 ) (a3 an 2 )
项和.若a4 a5 24，S6 48 ，则{an } 的公差为( )
A．1
B．2
C．4
D．8
2.（2018•全国Ⅰ，理 4）记S n 为等差数列{an } 的前 n
项和．若 3S3 S2 S4 ，a1 2 ，则 a5 (
)
A．-12 B．-10
C．10
D．12
3.（2019•全国Ⅰ，理 9）记 S n 为等差数列{an }的前 n
两式相加，得
2S n (n 1) (2 n 1) (3 n 2) (n 1)
n(1 n).
n(1 n)
.
所以， Sn Leabharlann 2倒序相
加
法
探究新知
新知学习
新教材《选择性必修二》
问题4 上述方法的奇妙之处在哪里？这种方法能够推广到求等差数列
的前项和吗？
， 1
， an 2n 5 ，Sn n2 4n ，故选 A ．
d 2
a1 4d 5
回顾小结
n(a1 an ) 在等差数列{a }中，若m＋n＝p＋q，则a ＋a ＝a ＋a .
Sn
n
m
n
p
q
2
学了哪些知识
n（n 1)
n(n 1)
S n nan
二
知三求一
基本量 方程的思想
典型例题
新教材《选择性必修二》
例1.已知数列{an}是等差数列.
（1）若a1=7, 50 =101,求50 ；
（2）若a1=2, 2 =
5
,求10 ；
2
1
1
（3）若1 = ，d= − , = −5,求 .
2
6
(1 + )
分析：对于(1),可以直接利用公式 =
项和．已知 S4 0，a5 5，则（
A．an 2n 5
B．an 3n 10
）
2
Sn
S

2
n
8n D．
C． n
1 2
n 2n
2
直击高考
体验高考
1.（2017•全国Ⅰ，理 4）记 S n 为等差数列 {an } 的前 n 项和．若 a4 a5 24 ，S6 48 ，则{an } 的公差为（
17×a1＋a17 17×a3＋a15 17×40
解：S17＝
＝
＝
＝340.
2
2
2
5
3
(3)a1＝6，an＝－2，Sn＝－5，求 n 和 d.
5 3
(
− )
na1＋an
6 2
解 由题意得，Sn＝
＝
＝－5，解得 n＝15.
2
2
5
3
1
1
又 a15＝ ＋(15－1)d＝－ ，所以 d＝－ ，所以 n＝15，d＝－ .
(an 2 a3 ) (an 1 a2 ) (an a1 )
2S n n(a1 an )
n(a1 an )
Sn
2
倒
序
相
加
法
探究新知
新知学习
n(a1 an )
Sn
2
公式一
新教材《选择性必修二》
an a1 ( n 1) d

2
2
待
定
系
数
法
求
解
典例分析
典型例题
新教材《选择性必修二》
例2.等差数列{an}的前n项和Sn ＝－n2 ＋n，则它的通项公式是an ＝
_____________.
方法1 当n＝1时，a1＝S1＝－1＋1＝0；
当n≥2且n∈N * 时，a n ＝S n －S n－1 ＝(－n 2 ＋n)－[－(n－1) 2 ＋(n－1)]
）
A．1
)
A． 12
B． 10
C．10
D．12
3 2
43
d ) a1 a1 d 4a1
d，
【解析】 S n 为等差数列{an } 的前 n 项和，3S3 S2 S4 ，a1 2 ， 3 (3a1
2
2
把 a1 2 ，代入得 d 3 ， a5 2 4 (3) 10 ，故选 B ．
(n 1)
.
2
2

n(n 1)
2
n
n 1 n 3 n 1



2
2
2
探究新知
新知学习
新教材《选择性必修二》
问题3 如何避免n取值奇偶的讨论呢？
组合
将颠倒、组合的过程用数学表达式，可以表述为：
Sn 1 2 3
n
S n n (n 1) (n 2) 1