黑龙江省八校2020年秋高二数学上学期期末摸底考试卷附答案解析

黑龙江省八校2020年秋高二数学上学期期末摸底考试卷
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.用更相减损术求294和84的最大公约数时，需做减法的次数是( )
2.A
3.B
4.C
5.D
2.根据下面给出的2004年至2013年我国二氧化硫年排放量(单位：万吨)柱形图，以下结论中不正确的是( )
A ．逐年比较，2008年减少二氧化硫排放量的效果最显著
B ．2007年我国治理二氧化硫排放显现成效
C ．2006年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势
D ．2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关
3.执行如图所示的程序框图,若输入的a 值为1,则输出的k 值为( ) A.1 B.2
C.3
D.4
4.如图所示的程序框图,如果输入三个实数a ,b ,c ,要求输出这三个数中最大的数,那么在空白的判断框中,应该填入下面四个选项中的( )
?.c b A > ?.b c B > ?.c x C > ?.x c D >
5.△ABC 中,A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,且a>b>c ,a 2<b 2+c 2,则A 的取值范围是( )
⎪⎭⎫ ⎝⎛ππ,2.A ⎪⎭⎫ ⎝⎛2,4.ππB ⎪⎭⎫ ⎝⎛2,3.ππC ⎪⎭
⎫ ⎝⎛2,0.πD 6.在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中随机取点,则点落在四棱锥O -ABCD 内(O 为正方体的对角线的交点)的概率是 ( )
31.A 61.B 21.C 4
1.D 7.两圆0422
2
2
=-+++a ax y x 和04142
2
2
=+--+b by y x 恰有三条公切线，若
,0,≠∈∈ab R b R a 且则
2
21
1b
a +的最小值为( ) 2
7
.A 4.B 1.C 5.D 8.已知函数1)(2
--=bx ax x f ,其中a ∈(0,2],b ∈(0,2],在其范围内任取实数a ,b ,则函数f (x )在区间[1,+∞)上为增函数的概率为( )
31.A 21.B 32.C 4
3.D 9.已知多项式,12)(2
4
6
7
++++=x x x x x f 用秦九韶算法计算当2=x 时2v 的值是（ ） A.1
B.5
C.10
D.12
10.下表提供了某厂节能降耗技术改造后在生产A 产品过程中记录的产量x (吨)与相应的生产能耗y (吨)的几组对应数据：
根据上表提供的数据，求出y 关于x 的线性回归方程为y ＝0.7x ＋0.35，那么表中t 的精确值为 ( ) A.3
B.3.15
C.3.5
D.4.5
11.如图，正方体1111D C B A ABCD -的棱长为1，线段11D B 上有两个动点 F E ,，且EF ＝1
2
，则下列结
论错误的是( )
BE AC A ⊥. 的体积为定值三棱锥BEF A B -.
ABCD EF C 平面//. 的面积相等的面积与BEF AEF D ∆∆.
12.对大于1的自然数m 的三次幂可用奇数进行以下形式的“分裂”： ,19
17
15134,11973,532333⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧⎩⎨⎧仿此，若3
m 的“分裂数”中有一个是2017，则m 的值为
（ ）
44.A 45.B 46.C 47.D
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上） 13.二进制数101 110转化为等值的八进制数为________.
14.设△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c.若b+c=2a ,3sin A=5sin B ,则角C= .
15.已知总体的各个体的值由小到大依次为2, 3, 3, 7,a ,b ,12, 13.7, 18.3, 20,且总体的中位数为10.5，若要使该总体的方差最小，则b a ,的取值分别是 . 16.棱长为3的正方体内有一个棱长为x 的正四面体，且该正四面体可以在正方体内任意转动，则x 的最大值为 . 三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17.(10分)某城镇社区为了丰富辖区内广大居民的业余文化生活,创建了社区“文化丹青”大型活动场所,配备了各种文化娱乐活动所需要的设施,让广大居民健康生活、积极向上,社区最近四年内在“文化丹青”上的投资金额统计数据如表:(为了便于计算,把2015年简记为5,其余以此类推)
(1)利用所给数据,求出投资金额y 与年份x 之间的回归直线方程+=a x b y ； (2)预测该社区2019年在“文化丹青”上的投资金额.
附:对于一组数据(x 1,y 1),(x 2,y 2),…,(x n ,y n ),其回归直线∧
∧∧+=a x b y 的斜率和截距的最小二乘估计分别为
.,)
()
()(_
_1
2
21
_
_1
2
_1
_
_
x b y a x
n x
y x n y
x x x y y
x x b n
i i
n
i i
i n
i i
n i i
i
∧∧====∧
-=--=
---=
∑∑∑∑
18.(12分)全世界越来越关注环境保护问题，某监测站点于2016年8月某日起连续n 天监测空气质量指数(AQI)，数据统计如下表：
(1)根据所给统计表和频率分布直方图中的信息求出n ，m 的值，并完成频率分布直方图；
(2)由频率分布直方图，求该组数据的平均数与中位数；
(3)在空气质量指数分别为(50,100]和(150,200]的监测数据中，用分层抽样的方法抽取5天，从中任意选取2天，求事件A “两天空气质量等级都为良”发生的概率． 19.(12分)在△ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,且满足.cos cos 2A
B
a b c =- (1)求角A 的大小;
(2)若,52=a 求△ABC 面积的最大值.
20.(12分)已知圆,4)4()3(:2
2
=-+-y x C 直线l 过定点).0,1(A （1）若l 与圆C 相切，求l 的方程；
（2）若l 与圆相交于Q P ,两点，求CPQ ∆面积的最大值，并求此时直线l 的方程。

21.(12分)如图，在正方体1111D C B A ABCD -中，的中点，与分别为1,BB AB F E （1）求证：B D A EF 11平面⊥；（2）设二面角C DE F --为θ，求.tan θ
22.(12分)已知各项均不相等的等差数列{a n }的前4项和S 4=14,且a 1,a 3,a 7成等比数列. (1)求数列{a n }的通项公式; (2)设T n 为数列⎭
⎬⎫
⎩⎨⎧+11n n a a 的前n 项和，若1+≤n n a T λ对任意n ∈N *恒成立,求实数λ的最小值.
高二数学试题答案 一、选择题
二、填空题 13. 56 14.3
2
15. 10.5,10.5 16.6 三、解答题
17.解：(1)由题意得x =1
4×(5+6+7+8)=6.5, y =1
4×(15+17+21+27)=20 ,/2
∑i=1
4
(x i -x )(y i -y )=(5-6.5)×(15-20)+(6-6.5)×(17-20)+(7-6.5)×(21-20)+(8-6.5)×(27-20)
=20
∑i=1
4
(x i -x )2=(5-6.5)2+(6-6.5)2+(7-6.5)2+(8-6.5)2=5, /4
∴b ^
=∑i=14
(x i -x )(y i -y )
∑i=14
(x i -x )2
=
205
=4,
∴a ^
=20-4×6.5=-6. /6 ∴回归直线方程为y ^
=4x-6. /7
(2)当x=9时,y ^
=4×9-6=30, /9 故预测该社区2019年在“文化丹青”上的投资金额为30万元. /10 18.解：(1)∵0.004×50＝20
n
，∴n ＝100，
∵20＋40＋m ＋10＋5＝100，∴m ＝25 /
2 40100×50＝0.008；25100×50＝0.005；10100×50＝0.002；5
100×50＝0.001.
由此完成频率分布直方图，如图：
/
4
(2)由频率分布直方图得该组数据的平均数x ＝
25×0.004×50＋75×0.008×50＋125×0.005×50＋175×0.002×50＋225×0.001×50＝95， ∵[0,50]的频率为0.004×50＝0.2，(50,100]的频率为0.008×50＝0.4， ∴中位数为50＋0.5－0.2
0.4
×50＝87.5. /6
(3)由题意知：在空气质量指数为(50,100]和(150,200]的监测天数中分别抽取4天和1天， /7
在所抽取的5天中，将空气质量指数为(50,100]的4天分别记为a ，b ，c ，d ；
将空气质量指数为(150,200]的1天记为e ，从中任取2天的基本事件为(a ，b )，(a ，c )，(a ，d )，(a ，e )，(b ，
c )，(b ，
d )，(b ，
e )，(c ，d )，(c ，e )，(d ，e )，共10个， /9
其中事件A “两天空气质量等级都为良”包含的基本事件为(a ，b )，(a ，c )，(a ，d )，(b ，c )，(b ，d )，(c ，d )，共6个， /
11
所以P (A )＝610＝3
5.
/
12
19.解：(1)因为
A
B
a b c cos cos 2=
-，所以(2c -b )cos A=a cos B. 由正弦定理,得(2sin C -sin B )cos A=sin A cos B , 整理得2sin C cos A -sin B cos A=sin A cos B. 所以2sin C cos A=sin (A+B )=sin C. 在△ABC 中,0<C<π,所以sin C ≠0. 所以.
3,30,21cos π
π=<<=
A A A 故又
/6 (2)由(1)得52,3
==a A π
则cos A 21
2222=-+=
bc a c b ， 整理得b 2+c 2=bc+20.
由基本不等式,得b 2+c 2≥2bc ,
则bc+20≥2bc ,所以bc ≤20,当且仅当b=c 时,等号成立, /
9 故三角形的面积.35204
3
433sin 21sin 21=⨯≤===
bc bc A bc S π 所以△ABC 面积的最大值为.35 /
12
20.解：(1)若直线l 的斜率不存在，方程为1=x ，合题意。

/
2
若直线l 的斜率存在，设l 的方程为)1(-=x k y ，即0=--k y kx
直线l 与圆C 相切，∴圆心)4,3(到直线l 的距离等于半径，
即
21
432=+--k k k 解得：4
3
=
k 故直线l 的方程为 .
0343),1(43
=---=
y x x y 即
/5 综上：所求直线l 的方程为1=x 或.0343=--y x /6 (2)由题意得：直线的斜率一定存在且不为0
设直线方程为：0=--k y kx ，则圆心到直线l 的距离2
142k k d +-=
，/8
4)2(44422
1
224222+--=-=-⋅=-⨯=
∆d d d d d d d S CPQ ∴当.
22取得最大值时，CPQ S d ∆=
/10
.71,1422
==+-=
∴k k k
k d 或解得：
故所求直线l 的方程为.07701=--=--y x y x 或 /12 21. 解：（1）证明：的中点与分别为1,BB AB F E 1//AB EF ∴
B A EF B A AB 111⊥∴⊥，
又 /2 111111,D A EF B A EF B A D A ⊥∴⊂⊥平面平面 /
4
B D A B A B D A D A A B A D A 11111111111,平面，平面⊂⊂=
B D A EF 11平面⊥∴ /6
（2）的中点是，
交于点、延长AB E N CB DE NBE DAE ∆≅∆∴
FM M EN EN BM B 连于点交作过,⊥
EN FB ABCD FB ⊥∴⊥，
平面 FM EN FBM EN B FB BM ⊥∴⊥∴=平面
的平面角为二面角C DE F FMB --∠∴ /9
2552
52a
BF a a
a
a
EN BN BE BM a AB ==⋅=⋅==，又，则设
25
5
52tan tan ===∠=∴a
a
BM FB FMB θ
2
5
tan =
∴θ /12 22.解(1)设等差数列{a n }的公差为d ,
由已知得⎩⎨⎧+=+=+)6()2(14
64112
1
1d a a d a d a ，解得d=1或d=0(舍去), 因此a 1=2.故a n =n+1 /
4
(2)∵由(1)可知
2
1
11)2)(1(111+-+=++=+n n n n a a n n ，
)2(2211141313121+=+-+++-+-=
∴n n n n T n
/7 ∵T n ≤λa n+1对任意n ∈N *恒成立,
),2()2(2+≤+∴
n n n λ 即λ≥2
)
2(2+n n 对任意n ∈N *
恒成立. /9 又
16
1
)44(21)44(2)2(222≤
++=++=+n n n n n n n
（当且仅当n
n 4=
即n=2时,等号成立） /
11 ∴λ的最小值为
16
1. /
12。