高中数学第二章平面向量2.2.1向量加法运算及其几何意义学案新人教A版必修50.doc

2.2.1 向量加法运算及其几何意义
1.理解并掌握向量加法的概念，了解向量加法的几何意义及其运算律.(难点)
2.掌握向量加法运算法则，能熟练地进行加法运算.(重点)
3.数的加法与向量的加法的联系与区别.(易混点
)
[基础·初探]
教材整理1 向量加法的定义及其运算法则 阅读教材P 80～P 81“例1”以上内容，完成下列问题. 1.向量加法的定义
定义：求两个向量和的运算，叫做向量的加法. 对于零向量与任一向量a ，规定0＋a ＝a ＋0＝a . 2.向量求和的法则
，作A B →＝a ，A D →＝
＋b .
对于任意一个四边形ABCD ，下列式子不能化简为BC →
的是________.
(1)BA →＋AD →＋DC →；(2)BD →＋DA →＋AC →； (3)AB →＋BD →＋DC →.
【解析】 在(1)中，BA →＋AD →＋DC →＝BD →＋DC →＝BC →；在(2)中，BD →＋DA →＋AC →＝BA →＋AC →＝BC →
；在(3)中，AB →＋BD →＋DC →＝AD →＋DC →＝AC →
.
【答案】 (3)
教材整理2 向量加法的运算律
阅读教材P 82～P 83例2以上内容，完成下列问题.
判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)a ＋0＝a .( ) (2)a ＋b ＝b ＋a .( )
(3)a ＋(b ＋c )＝(a ＋b )＋c .( ) (4)AB →＋BA →＝2AB →
.( )
【解析】 根据运算律知，(1)(2)(3)显然正确，对于(4)，应为AB →＋BA →
＝0.故(4)错误. 【答案】 (1)√ (2)√ (3)√ (4)×
[小组合作型]
向量加法运算法则的应用
(1)如图2­2­1，在△ABC 中，D ，E 分别是AB ，AC 上的点，F 为线段DE 延长线
上一点，DE ∥BC ，AB ∥CF ，连接CD ，那么(在横线上只填上一个向量)：
图2­2­1
①AB →＋DF →
＝________；
②AD →＋FC →
＝________； ③AD →＋BC →＋FC →
＝________.
(2)若正方形ABCD 的边长为1，AB →＝a ，AD →＝b ，AC →
＝c.试作出向量a ＋b ＋c ，并求出其模的大小.
【精彩点拨】 利用向量加法的三角形法则或平行四边形法则求和及作图.
【自主解答】 (1)如题图，由已知得四边形DFCB 为平行四边形，由向量加法的运算法则可知：
①AB →＋DF →＝AB →＋BC →＝AC →. ②AD →＋FC →＝AD →＋DB →＝AB →. ③AD →＋BC →＋FC →＝AD →＋DF →＋FC →＝AC →. 【答案】 (1)①AC → ②AB → ③AC →
(2)根据平行四边形法则可知，a ＋b ＝AB →＋AD →＝AC →
.
根据三角形法则，延长AC ，在AC 的延长线上作CE →＝AC →，则a ＋b ＋c ＝AC →＋AC →＝AC →＋CE →
＝AE →
(如图所示).
所以|a ＋b ＋c|＝|AE →|＝212＋12
＝2 2.
1.向量求和的注意点：
(1)三角形法则对于两个向量共线时也适用. (2)两个向量的和向量仍是一个向量.
(3)平行四边形法则对于两个向量共线时不适用.
2.利用三角形法则时，要注意两向量“首尾顺次相连”，其和向量为“起点指向终点”的向量；利用平行四边形法则要注意两向量“共起点”，其和向量为共起点的“对角线”向量.
[再练一题]
1.如图2­2­2所示，设O 为正六边形ABCDEF 的中心，求下列向量：
图2­2­2
(1)OA →＋OC →； (2)BC →＋FE →.
【解】 (1)由图可知，四边形OABC 为平行四边形.由向量加法的平行四边形法则，得OA →
＋OC →＝OB →.
(2)由图可知，BC →＝FE →＝OD →＝AO →
， ∴BC →＋FE →＝AO →＋OD →＝AD →.
向量加法运算律的应用
(1)下列等式不正确的是( )
①a ＋(b ＋c )＝(a ＋c )＋b ；②AB →＋BA →＝0；③AC →＝DC →＋AB →＋BD →
. A.②③ B.② C.①
D.③
(2)设A ，B ，C ，D 是平面上任意四点，试化简： ①AB →＋CD →＋BC →； ②DB →＋AC →＋BD →＋CA →.
【精彩点拨】 可利用向量加法的交换律使求和的各向量首尾相接，然后再利用加法法则求和.
【自主解答】 (1)由向量的加法满足结合律知①正确；因为AB →＋BA →
＝0，故②不正确；DC →＋AB →＋BD →＝AB →＋BD →＋DC →＝AC →
成立，故③正确.
【答案】 B
(2)①AB →＋CD →＋BC →＝(AB →＋BC →)＋CD →＝AC →＋CD →＝AD →.
②DB →＋AC →＋BD →＋CA →＝(DB →＋BD →)＋(AC →＋CA →
)＝0＋0＝0.
向量加法运算律的意义和应用原则： (1)意义：
向量加法的运算律为向量加法提供了变形的依据，实现恰当利用向量加法法则运算的目的.
实际上，由于向量的加法满足交换律和结合律，故多个向量的加法运算可以按照任意的次序、任意的组合来进行.
(2)应用原则：
利用代数方法通过向量加法的交换律，使各向量“首尾相连”，通过向量加法的结合律调整向量相加的顺序.
[再练一题]
2.化简：(1)(MA →＋BN →)＋(AC →＋CB →
)； (2)AB →＋(BD →＋CA →)＋DC →.
【解】 (1)(MA →＋BN →)＋(AC →＋CB →
) ＝(MA →＋AC →)＋(CB →＋BN →) ＝MC →＋CN →＝MN →. (2)AB →＋(BD →＋CA →)＋DC → ＝AB →＋BD →＋DC →＋CA →
＝0.
向量加法的实际应用
如图2­2­3所示，一架飞机从A 地按北偏东35°的方向飞行800 km 到达B 地接
到受伤人员，然后又从B 地按南偏东55°的方向飞行800 km 送往C 地医院，求这架飞机飞行的路程及两次位移的和. 【导学号：00680036】
图2­2­3
【精彩点拨】 解答本题先明确飞行路程与两次位移和的含义，再解Rt △ABC ，求出|AC
→
|和∠BAC ，最后结合图形作答.
【自主解答】 设AB →，BC →
分别表示飞机从A 地按北偏东35°的方向飞行800 km ，从B 地按南偏东55°的方向飞行800 km ，则飞机飞行的路程指的是|AB →|＋|BC →
|；
两次飞行的位移的和指的是AB →＋BC →＝AC →
. 依题意，有|AB →|＋|BC →
|＝800＋800＝1 600(km)， 又α＝35°，β＝55°，∠ABC ＝35°＋55°＝90°， 所以|AC →|＝
|AB →|2＋|BC →|2
＝8002＋8002＝8002(km).
其中∠BAC ＝45°，所以方向为北偏东35°＋45°＝80°.
从而飞机飞行的路程是1 600 km ，两次飞行的位移和的大小为800 2 km ，方向为北偏东80°.
向量加法的实际问题的解题步骤如下：
用向量表示相应问题中既有大小又有方向的量；利用平行四边形法则或三角形法则求向量的和；
利用直角三角形知识解决问题.
[再练一题]
3.为了调运急需物资，如图2­2­4所示，一艘船从江南岸A 点出发，以5 3 km/h 的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时江水的速度为向东5 km/h.
图2­2­4
(1)试用向量表示江水的速度、船速以及船实际航行的速度；
(2)求船实际航行的速度的大小与方向.(用与江水的速度方向间的夹角表示) 【解】 (1)如图所示，AD →表示船速，AB →
表示水速
.
易知AD ⊥AB ，以AD ，AB 为邻边作矩形ABCD ，
则AC →
表示船实际航行的速度.
(2)在Rt △ABC 中，|AB →|＝5，|BC →
|＝53， 所以|AC →|＝|AB →|2＋|BC →|2
＝
52
＋
32
＝100＝10.
因为tan ∠CAB ＝|BC →|
|AB →|
＝3，所以∠CAB ＝60°.
因此，船实际航行的速度大小为10 km/h ，方向与江水的速度方向间的夹角为60°.
[探究共研型]
向量加法的多边形法则
探究1 在△ABC 中，若AB →＝a ，BC →＝b ，CA →
＝c ，那么a ＋b ＋c ＝0一定成立吗？ 【提示】 一定成立.因为在△ABC 中，由向量加法的三角形法则AB →＋BC →＝AC →，所以AB →
＋BC →＋CA →
＝0，那么a ＋b ＋c ＝0.
探究2 如果任意三个向量a ，b ，c 满足条件a ＋b ＋c ＝0，那么表示它们的有向线段是否一定构成三角形？
【提示】 若任意三个向量a ，b ，c 满足a ＋b ＋c ＝0，则表示它们的有向线段不一定构成三角形，因为当这三个向量为共线向量时，同样有可能满足a ＋b ＋c ＝0，此时，表示它们的有向线段肯定不能构成三角形，所以任意三个向量a ，b ，c 满足a ＋b ＋c ＝0时，表示它们的有向线段不一定构成三角形.
探究3 设A 1，A 2，A 3，…，A n (n ∈N ，且n ≥3)是平面内的点，则一般情况下，A 1A n →＝A 1A 2
→
＋A 2A 3→＋A 3A 4→＋…＋A n －1A n →.当A 1与A n 重合时，A 1A 2→＋A 2A 3→＋A 3A 4→＋…＋A n －1A n →
满足什么关系？
【提示】 当A 1与A n 重合时，有A 1A 2→＋A 2A 3→＋A 3A 4→＋…＋A n －1A n →
＝0.
如图2­2­5，正六边形ABCDEF 中，BA →＋CD →＋EF →
＝( )
【导学号：70512024】
图2­2­5
A.0
B.BE →
C.AD →
D.CF →
【精彩点拨】 用向量加法的运算律可以实现简化运算的目的，将BA →＋CD →＋EF →变形为CD →
＋DE →＋EF →
就可以利用向量加法的多边形法则求和向量.
【自主解答】 因为ABCDEF 是正六边形，所以BA ∥DE ，BA ＝DE ，所以BA →＝DE →，所以BA →
＋CD →＋EF →＝DE →＋CD →＋EF →＝CD →＋DE →＋EF →＝CF →.
【答案】 D
三个关键：一是搞清构成平面图形的向量间的相互关系；二是熟练找出图形中的相等向量；三是能根据多边形法则作出向量的和向量.
[再练一题]
4.如图2­2­6，E ，F ，G ，H 分别是梯形ABCD 的边AB ，BC ，CD ，DA 的中点，化简下列各式：
图2­2­6
(1)DG →＋EA →＋CB →； (2)EG →＋CG →＋DA →＋EB →.
【解】 (1)DG →＋EA →＋CB →＝GC →＋BE →＋CB →＝GC →＋CB →＋BE →＝GB →＋BE →＝GE →
. (2)EG →＋CG →＋DA →＋EB →＝EG →＋GD →＋DA →＋AE →＝ED →＋DA →＋AE →＝EA →＋AE →
＝0.
1.化简OP →＋PQ →＋PS →＋SP →
的结果等于( ) A.QP →
B.OQ →
C.SP →
D.SQ →
【解析】 OP →＋PQ →＋PS →＋SP →＝OQ →＋0＝OQ →
. 【答案】 B
2.下列命题中正确的个数为( )【导学号：00680037】 (1)如果非零向量a 与b 的方向相同或相反，那么(a ＋b )∥a ； (2)在平行四边形ABCD 中，必有BC →＝AD →
；
(3)若BC →＝AD →
，则A ，B ，C ，D 为平行四边形的四个顶点； (4)若a ，b 均为非零向量，则|a ＋b |≤|a |＋|b |. A.0 B.1 C.2
D.3
【解析】 (1)正确；(2)在平行四边形ABCD 中，BC ∥AD ，且BC ＝AD ，所以BC →＝AD →
，正确；(3)A ，B ，C ，D 可能共线，所以错误；(4)为向量的三角不等式，所以正确.
【答案】 D
3.在四边形ABCD 中，AC →＝AB →＋AD →
，则一定有( ) A.四边形ABCD 是矩形 B.四边形ABCD 是菱形 C.四边形ABCD 是正方形 D.四边形ABCD 是平行四边形
【解析】 由AC →＝AB →＋AD →得AD →＝BC →
，即AD ＝BC ，且AD ∥BC ，所以四边形ABCD 一组对边平行且相等，故为平行四边形.
【答案】 D
4.若a 表示“向东走8 km”，b 表示“向北走8 km”，则|a ＋b |＝________，a ＋b 的方向是________.
【解析】 如图所示，作OA →＝a ，AB →
＝b ，
则a ＋b ＝OA →＋AB →＝OB →
. 所以|a ＋b |＝|OB →
| ＝82
＋82
＝82(km)， 因为∠AOB ＝45°，
所以a ＋b 的方向是东北方向. 【答案】 8 2 km 东北方向
5.已知向量a ，b ，c ，如图2­2­7，求作a ＋b ＋c .
图2­2­7
【解】 在平面内任取一点O ，作OA →＝a ，AB →＝b ，BC →
＝c ，如图，
则由向量加法的三角形法则，得OB →＝a ＋b ，OC →
＝a ＋b ＋c ， OC →即为所作向量.。