天津市和平区2018届高三二模数学(文科)试题及答案

天津市和平区2018届高三二模数学（文科）试题
一、选择题（本大题共8小题，共40.0分）
1.已知全集，，，则集合等于
A. B. C. D.
2.设变量x，y满足约束条件，则目标函数的最大值为
A. 6
B. 5
C. 4
D. 3
3.阅读如图的程序框图，运行相应的程序，若输出的，则判断框内可填入
A. ？
B. ？
C. ？
D. ？
4.设，则“”是“”的
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
5.已知抛物线的准线与双曲线的左、右支分别交于B、C两点，A为
双曲线的右顶点，O为坐标原点，若，则双曲线的渐近线方程为
A. B. C. D.
6.已知是定义在R上的函数，它的图象上任意一点处的切线方程为
，那么函数的单调递减区间为
A. B. C. D.
7.如图，在平行四边形ABCD中，已知，，G为线段EF上的一点，且，
，则的值为
A. B. C. D.
8.已知定义在R上的奇函数，当时，，则关于x的方程
的实根的个数为
A. 6
B. 7
C. 8
D. 9
二、填空题（本大题共6小题，共30.0分）
9.设i是虚数单位，则复数的虚部为______．
10.在中，，，，则BC边长为______．
11.已知直线l的方程为，M为圆上的任意一点，设点M到直线l的距
离为d，则d的最大值为______．
12.如图，已知正四面体的高为，则它的内切球的体积为______．
13.已知，，则的最小值为______．
14.已知规定其中，则的值为______．
三、解答题（本大题共6小题，共80.0分）
15.在一次有1000名高中生参加的物理、化学、生物三科竞赛中，每人只能参加其中的一科，各科参赛人
数如下表：
Ⅰ在所有参赛的学生中，用分层抽样的方法抽取n人，已知从生物学科的参赛者中抽取了6人，求n 的值及从化学学科的参赛者中抽取的人数；
Ⅱ在物理学科的参赛者中，用分层抽样的方法抽取6人看作一个总体，从中任意选取2人，求2人中必有女生的概率．
16.已知函数．
Ⅰ求函数的最小正周期及单调递减区间；
Ⅱ将函数的图象向左平移个单位后，再将所得图象上各点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数的图象，若，且，求的值．
17.如图，在三棱柱中，平面ABC，，D在线段上，，，
．
Ⅰ求证：；
Ⅱ求证：平面；
Ⅲ求直线ED与平面所成角的正弦值．
18.已知数列满足条件，，且，．
Ⅰ求数列的通项公式；
Ⅱ设，为数列的前n项和，求证：．
19.已知椭圆的离心率为，椭圆短轴的一个端点与两个焦点构成三角形的面积为，
过椭圆的右焦点的动直线l与椭圆交于A、B两点．
求椭圆的方程；
Ⅱ若线段AB的垂直平分线与x轴相交于点D，与直线l交于N，当时，求直线l的斜率的取值范围；
Ⅲ在椭圆上是否存在定点M，使得对任意斜率等于且与椭圆交于P、Q两点的直线、Q两点均不
在x轴上，都满足其中为直线PM的斜率，为直线QM的斜率？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
20.已知函数，其中，且．
Ⅰ求的单调区间；
Ⅱ若恒成立，求a的取值范围；
Ⅲ若存在，，使得，求证：．
天津市和平区2018届高三二模数学（文科）试题解析
一、选择题（本大题共8小题，共40.0分）
21.已知全集，，，则集合等于
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】解：，或；
．
故选：D．
进行并集、补集的运算即可．
考查描述法表示集合的概念，以及并集和补集的运算．
22.设变量x，y满足约束条件，则目标函数的最大值为
A. 6
B. 5
C. 4
D. 3
【答案】B
【解析】解：作出可行域如图，
由知，，
所以动直线的纵截距z取得最大值时，目标函数取得
最大值．
由得
结合可行域可知当动直线经过点时，
目标函数取得最大值．
故选：B．
先根据约束条件画出可行域，再利用目标函数中z的几何意义，求
出直线的最大值即可．
本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于基础题．
23.阅读如图的程序框图，运行相应的程序，若输出的，则判断框内可填入
A. ？
B. ？
C. ？
D. ？
【答案】B
【解析】解：模拟程序的运行，可得
，
执行循环体，，
不满足判断框内的条件，执行循环体，，
不满足判断框内的条件，执行循环体，，
不满足判断框内的条件，执行循环体，
不满足判断框内的条件，执行循环体，，
由题意，此时应该满足判断框内的条件，退出循环，输出S的值为41，
可得判断框内的条件应该为？．
故选：B．
根据框图的流程依次计算程序运行的结果，直到输出，确定跳出循环的k的值，从而得判断框的条件．本题考查了循环结构的程序框图，根据框图的流程依次计算程序运行的结果是解答此类问题的常用方法，属于基础题．
24.设，则“”是“”的
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】解：设，则，则是增函数，
当时，，
此时成立，
即“”是“”的充要条件，
故选：C．
构造函数，求出函数的导数判断函数的单调性，结合函数充分条件和必要条件的定义判断即可．
本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合函数单调性的性质进行转化判断是解决本题的关键．
25.已知抛物线的准线与双曲线的左、右支分别交于B、C两点，A为
双曲线的右顶点，O为坐标原点，若，则双曲线的渐近线方程为
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】解：抛物线的准线为，
抛物线的准线与双曲线
的左、右支分别交于B、C两点，
，
设C的坐标为，
，
，
，
，
，
，
，
双曲线的渐近线方程为，
故选：C．
根据抛物线的准线方程求出C的坐标，再根据，可得，即可得到，问题得以解决
本题考查了双曲线的简单性质和抛物线的准线方程以双曲线的渐近线方程，考查了转化能力，属于中档题
26.已知是定义在R上的函数，它的图象上任意一点处的切线方程为
，那么函数的单调递减区间为
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】解：由图象上任意一点处的切线方程为，
则的导数为，
令，解得：，
故选：A．
由题意，结合点斜式方程可得，的导数，令导数小于0，运用二次不等式的解法，计算即可得到所求减区间．
本题考查导数的运用：求单调区间，注意运用二次不等式的解法，考查运算能力，属于基础题．
27.如图，在平行四边形ABCD中，已知，，G为线段EF上的一点，且，
，则的值为
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】解：如图，
．
，则．
故选：D．
利用向量的加减法法则用．表示，结合得，的值，则答案可求．
本题考查平面向量基本定理的应用，考查数学转化思想方法，是中档题．
28.已知定义在R上的奇函数，当时，，则关于x的方程
的实根的个数为
A. 6
B. 7
C. 8
D. 9
【答案】B
【解析】解：设，则关于x的方程
，等价，
解得或，
当时，，此时不满足方程．
若，则，
即
，
若，则，
即
，
作出当时，的图象如图：
当时，对应3个交点．
函数是奇函数，
当时，由，
可得当时，，此时函数图象对应4个交点，
时，函数图象对应4个交点，
综上共有7个交点，即方程有7个根，
故选：B．
先设，求出方程的解，利用函数的奇偶性作出函数在时的图象，利用数形结合即可得到结论．
本题主要考查函数方程根的个数的判断，利用换元法，利用数形结合是解决本题的关键，综合性较强，难度较大．
二、填空题（本大题共6小题，共30.0分）
29.设i是虚数单位，则复数的虚部为______．
【答案】
【解析】解：，
复数的虚部为．
故答案为：．
直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．
本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．
30.在中，，，，则BC边长为______．
【答案】
【解析】解：中，，，
，；
，
解得，
则BC边长为．
故答案为：．
根据题意，利用余弦定理求得BC边长的值．
本题考查了等腰三角形和余弦定理的应用问题，是基础题．
31.已知直线l的方程为，M为圆上的任意一点，设点M到直线l的距
离为d，则d的最大值为______．
【答案】
【解析】解：圆化为：，圆心，半径为：1．
直线l的方程为，M为圆上的任意一点，设点M到直线l的距离为d，d的最大值为：．
故答案为：．
求出圆的圆心与半径，利用圆心到直线的距离加上半径求解即可．
本题考查直线与圆的位置关系的综合应用，考查计算能力．
32.如图，已知正四面体的高为，则它的内切球的体积为______．
【答案】
【解析】解：如图O为正四面体ABCD的内切球的球心，正四面体的高
；
所以OE为内切球的半径，，
则其内切球的半径是，
内切球的体积；
故答案为：
作出正四面体的图形，球的球心位置为O，说明OE是内切球的半径，再求表面积
本题考查正四面体的内切球半径的求法，内切球的半径是正四面体的高的，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．
33.已知，，则的最小值为______．
【答案】
【解析】解：，，可得，，
由柯西不等式可得
，
可得，
当，即有，时，
的最小值为，
故答案为：．
由题意可得，，由柯西不等式可得
，即可得到所求最小值．
本题考查柯西不等式的运用：求最值，考查化简变形能力、以及运算能力，属于中档题．
34.已知规定其中，则的值为______．【答案】360
【解析】解：，
其中，
可得，
，
，
，
，
，
，
，
．
即．
故答案为：360．
由分段函数、分段数列的解析式，结合n的变化、x的变化，化简整理即可得到所求值．
本题考查分段函数的运用：求函数值，考查分段数列的运用，注意n的范围，考查化简整理的运算能力，属于中档题．
三、解答题（本大题共6小题，共80.0分）
35.在一次有1000名高中生参加的物理、化学、生物三科竞赛中，每人只能参加其中的一科，各科参赛人
数如下表：
Ⅰ在所有参赛的学生中，用分层抽样的方法抽取人，已知从生物学科的参赛者中抽取了6人，求n 的值及从化学学科的参赛者中抽取的人数；
Ⅱ在物理学科的参赛者中，用分层抽样的方法抽取6人看作一个总体，从中任意选取2人，求2人中必有女生的概率．
【答案】解：Ⅰ用分层抽样法抽取n人，从生物学科的参赛者中抽取了6人，
则，
解得；
则从化学学科的参赛者中抽取的人数为；
Ⅱ在物理学科的参赛者中，用分层抽样的方法抽取6人，
其中男生4人，记为A、B、C、D，女生2人，记为e，f；
从这6人中任选2人，基本事件为
AB、AC、AD、Ae、Af、BC、BD、Be、
Bf、CD、Ce、Cf、De、Df、ef共15种，
这2人中必有女生的基本事件为
Ae、Af、Be、Bf、Ce、Cf、De、Df、ef共9种，
故所求的概率为．
【解析】Ⅰ利用分层抽样法，结合频率、频数与样本容量的关系，计算即可；
Ⅱ利用分层抽样和列举法求出基本事件，计算所求的概率．
本题考查了分层抽样法与列举法求古典概型的概率问题，是基础题．
36.已知函数．
Ⅰ求函数的最小正周期及单调递减区间；
Ⅱ将函数的图象向左平移个单位后，再将所得图象上各点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数的图象，若，且，求的值．
【答案】解：函数．
化简
Ⅰ函数的最小正周期；
令，．
得：
函数的单调递减区间为，．
Ⅱ函数的图象向左平移个单位，可得；再将所得图象上各点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，得到，
即，
可得，
，
则，
那么：．
【解析】Ⅰ利用诱导公式，二倍角、辅助角公式化简即可求函数的最小正周期及单调递减区间；
Ⅱ根据三角函数的平移变化规律求解，通过，且，利用三角恒等式公式化简即可求的值．
本题主要考查三角函数的图象和性质，利用三角函数的公式化简函数的解析式是解决本题的关键要求熟练掌握公式的变形应用属于中档题．
37.如图，在三棱柱中，平面ABC，，D在线段上，，，
．
Ⅰ求证：；
Ⅱ求证：平面；
Ⅲ求直线ED与平面所成角的正弦值．
【答案】证明：Ⅰ在三棱柱中，平
面ABC，，
，
又，平面，
平面，．
Ⅱ过E作，交AB于F，连结，过F作，
交BC于G，连结，
则四边形EFGC是平行四边形，
在线段上，，，．
，，
四边形是平行四边形，，
平面，平面，
平面；
解：Ⅲ以C为原点，CA为x轴，CB为y轴，为z轴，建立空间直角坐标系，
0，，1，，
，
平面的法向量0，，
设直线ED与平面所成角为，
则．
直线ED与平面所成角的正弦值为．
【解析】Ⅰ推导出，从而平面，由此能证明．
Ⅱ过E作，交AB于F，连结，过F作，交BC于G，连结，则四边形EFGC是平行四边形，推导出四边形是平行四边形，从而，由此能证明平面；
Ⅲ以C为原点，CA为x轴，CB为y轴，为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线ED 与平面所成角的正弦值．
本题考查线线垂直、线面平行的证明，考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．
38.已知数列满足条件，，且，．
Ⅰ求数列的通项公式；
Ⅱ设，为数列的前n项和，求证：．
【答案】解：Ⅰ根据题意，数列满足，．
当n为奇数时，，
又由，则，
当n为偶数时，，
又由，则，
则是奇数
是偶数
，
Ⅱ证明：设，则；则，
则有，
可得：，
变形可得：，
若证明则需要证明，
即证明，
即证明，
显然成立；
故有．
【解析】Ⅰ根据题意，由数列的递推公式，分n为奇数、n为偶数2种情况讨论，分析与的关系，综合即可得答案；
Ⅱ根据题意，由Ⅰ的结论，分析可得，利用错位相减法分析可得，据此用分析法证明即可得结论．
本题考查数列的求和以及数列的递推公式，关键是求出数列的通项公式．
39.已知椭圆的离心率为，椭圆短轴的一个端点与两个焦点构成三角形的面积为，
过椭圆的右焦点的动直线l与椭圆交于A、B两点．
求椭圆的方程；
Ⅱ若线段AB的垂直平分线与x轴相交于点D，与直线l交于N，当时，求直线l的斜率的取值范围；
Ⅲ在椭圆上是否存在定点M，使得对任意斜率等于且与椭圆交于P、Q两点的直线、Q两点均不
在x轴上，都满足其中为直线PM的斜率，为直线QM的斜率？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】解：椭圆的离心率为，可得，
椭圆短轴的一个端点与两个焦点构成三角形的面积为，可得，
又，解得，，，
则椭圆方程为；
Ⅱ设，，中点，
设直线AB：，
代入椭圆方程，
可得，
即有，，
可得中点，
AB的垂直平分线的方程为，
可得，
弦长
，
，
由，可得，
解得直线l的斜率范围是或；
Ⅲ在椭圆上假设存在定点M，满足题意，
可取直线PQ的方程为，代入椭圆方程，可得，，
设，可得，
化简可得，
又，
解得或，
下面证明任意斜率为的直线与椭圆交于，，设直线方程为，
代入椭圆方程可得，
可得，，
先考虑，
可得
，
同理可得，也有成立．
综上可得，椭圆上存在定点或，
使得成立．
【解析】运用椭圆的离心率公式和三角形的面积公式，结合a，b，c的关系，解方程可得a，b，c，即可得到所求椭圆方程；
Ⅱ设，，中点，设直线AB：，联立椭圆方程，运用韦达定理和中点坐标公式、弦长公式和不等式的解法，即可得到所求斜率范围；
Ⅲ在椭圆上假设存在定点M，满足题意，可取直线PQ的方程为，代入椭圆方程解得交点P，Q，可得直线PM和直线QM的斜率，再由椭圆方程可得M的坐标；下面证明任意斜率为的直线与椭圆交于，，
设直线方程为，代入椭圆方程，运用韦达定理和直线的斜率公式，化简整理即可得到定点M成立．
本题考查椭圆的方程和性质，考查离心率的运用，以及联立直线方程和椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，直线的斜率公式，考查存在性问题解法，注意先取特殊直线求得定点，再验证，考查化简整理的运算能力，属于难题．
40.已知函数，其中，且．
Ⅰ求的单调区间；
Ⅱ若恒成立，求a的取值范围；
Ⅲ若存在，，使得，求证：．
【答案】解：Ⅰ定义域为，
其导数，
当时，，函数在上是增函数；
当时，在区间上，；在区间上，，
在区间上是增函数，在是减函数；
Ⅱ当时，则x取适当的数能使，比如取，
能使，
不合题意；
当时，令，则，
问题化为求恒成立时a的取值范围．
由于，
在区间上，；在区间上，，
的最小值为，所以只需，
即，，
；
Ⅲ证明：由于存在两个异号实根，，，，
构造函数：，，
，
，
在为减函数，又，
，
，，
，
．
【解析】Ⅰ先求导数，研究导函数的函数值，通过导数大于0从而确定出函数的单调递增区间即可，求单调递增区间必须注意函数的定义域；
Ⅱ讨论，取，证明不合题意；，令，求出导数和单调区间，可得所求
范围；
Ⅲ设，求得导数，判断符号，然后利用单调性，问题得以证明．
本题考查利用导数研究函数的极值以及由函数恒成立的问题求参数的取值范围，求解本题关键是记忆好求导的公式以及极值的定义，对于函数的恒成立的问题求参数，要注意正确转化，恰当的转化可以大大降低解题难度。