2019年全品高考物理二轮资料专项一 数学方法在高考物理中的应用听课正文

全品高考第二轮专题| 物理
高考物理考试大纲中明确要求考生要具备应用数学方法处理物理问题的能力,即“能够根据具体问题列出物理量之间的关系式,进行推导和求解,并根据结果得出物理结论;能运用几何图形、函数图像进行表达、分析”.
应用数学方法处理物理问题的能力具体要求为:
(1)能根据具体的物理问题列出物理量之间的关系,能把有关的物理条件用数学方程表示出来.
(2)在解决物理问题时,往往需要经过数学推导和求解,或进行数值计算;求得结果后,有时还要用图像或函数关系把它表示出来;必要时还应对数学运算的结果做出物理上的结论或解释.
(3)能够运用几何图形、函数图像解决物理问题,要能够对物理规律、状态和过程在理解的基础上用合适的图像表示出来,会用图像来处理物理问题.
高中物理解题常见的数学思想方法包括估算法、几何法、函数法、比值法、图解法、极值法、微元法、归纳法、特殊值法、极限分析、分类讨论等,经常要用到的数学知识包括平面几何、函数图像、解三角形、不等式、数列、微积分初步等.
考法一近似计算与估算法
估算法是一种常用的科学思维和计算方法.物理问题的估算不纯粹是一种数学计算,往往需要依据一定的物理概念和规律,对所求物理量的单位、数值和数量级进行定性或半定量的分析计算,求解的关键在“理”不在“数”,不追求计算结果精确,而追求思维方法正确.物理问题的估算一般分为三类:第一类是联系实际,用物理常识来近似处理;第二类是建立模型,用物理规律来定量估算;第三类是理论分析,用数学方法来定性讨论.
考向1联系实际,用物理常识近似处理
这类估算题的物理情景比较清晰,未知量与已知量之间的联系比较直观,分析计算过程需要用到一些常识和常数.以下物理常识要记住:
(1)质量常识:一般高中学生质量50~60 kg,一个鸡蛋的质量约为50 g.
(2)长度常识:月地距离380 000 km,地球半径约为6400 km,楼层高度约为3 m,成年人身高约为1.7 m,原子直径数量级为10-10 m.
(3)时间常识:地球的公转周期为1年,月球的公转周期为1月,地球的自转周期为1天.
(4)速度常识:地球卫星的运行速度小于7.9 km/s,真空中的光速为3×108 m/s,空气中的声速约为340 m/s.
1 [2018·全国卷Ⅱ]高空坠物极易对行人造成伤害.若一个50 g的鸡蛋从一居民楼的25层坠下,与地面的碰撞时间约为
2 ms,则该鸡蛋对地面产生的冲击力约为()
A.10 N
B.102 N
C.103 N
D.104 N
[解析] C鸡蛋从一居民楼的25层坠下过程只受重力作用,机械能守恒,所以有mgh=mv2,每层楼高约3 m,所以h=24×3 m=72 m,鸡蛋在与地面碰撞过程中受重力和地面的冲击力作用,设向下为正,根据动量定理可得(mg-F N)t=0-mv,代入数据联立解得F N≈103 N,根据牛顿第三定律,该鸡蛋对地面产生的冲击力F=F N≈103 N.
式1如图G1-1所示,演员正在进行杂技表演.由图可估算出他将一只鸡蛋抛出的过程中对鸡蛋所做的功最接近()
图G1-1
A.0.3 J
B.3 J
C.30 J
D.300 J
式2如图G1-2所示为高速摄影机拍摄到的子弹穿透苹果瞬间的照片.该照片经放大后分析出,在曝光时间内,子弹影像前后错开的距离约为子弹长度的1%.已知子弹飞行速度约为500 m/s,由此可估算出这幅照片的曝光时间最接近 ()
图G1-2
A.10-3 s
B.10-6 s
C.10-9 s
D.10-12 s
考向2建立模型,用物理规律定量估算
这类估算题的物理情景比较新颖,有时提供的有用信息较少甚至不提供任何数据,有时提供大量的干扰信息,未知量与已知量之间的联系比较隐蔽,分析计算过程往往需要充分发挥想象力,挖掘隐含条件,抓住关键因素,合理建立联系未知量和已知量的物理模型,再结合物理规律进行定量估算.
2已知太阳光从太阳照射到地面所需时间为t=500 s,试估算太阳的质量(最后结果取一位有效数字).
[答案] 2×1030 kg
[解析] 题干中提到太阳和地球,可建立地球绕太阳公转的天体运行模型.设太阳质量为M,地球质量为m,日地距离为r,地球公转周期为T,则有G=mr,又r=ct,真空中的光速c=3×108 m/s,地球的公转周期T=365天=3.15×107 s,代入数据时,可对数据作近似处理,如π2≈10,3.152≈10,6.42≈40等,这样会很快解得M≈2×1030 kg.
式1已知太阳到地球与地球到月球的距离的比值约为390,月球绕地球旋转的周期约为27天.利用上述数据以及日常的天文知识,可估算出太阳对月球与地球对月球的万有引力的比值约为() A.0.2 B.2 C.20 D.200
式2卫星电话信号需要通过地球同步卫星传送.如果你与同学在地面上用卫星电话通话,则从你发出信号至对方接收到信号所需最短时间最接近(可能用到的数据:月球绕地球运动的轨道半径约为
3.8×105 km,运行周期约为27天,地球半径约为6400 km,无线电信号传播速度为3×108 m/s) ()
A.0.1 s
B.0.25 s
C.0.5 s
D.1 s
考向3理论分析,用数学方法定性讨论
这类估算题的物理情景比较常见,但又与平时见到的理想化物理情景有所区别,比如定滑轮质量不能忽略、带电体不能视为质点等,用常规方法无法直接求解,往往需要利用特殊值法或是极限分析法等数学思维方法定性讨论和分析判断.
3如图G1-3所示,一不可伸长的轻质细绳跨过滑轮后,两端分别悬挂质量为m1和m2的物体A和B.若滑轮有一定大小,质量为m且分布均匀,滑轮转动时与绳之间无相对滑动,不计滑轮与轴之间的摩擦.设细绳对A和B的拉力大小分别为T1和T2,已知下列四个关于T1的表达式中有一个是正确的,请你根据所学的物理知识,通过一定的分析判断正确的表达式是()
图G1-3
A.T1=
B.T1=
C.T1=
D.T1=
[解析] C此题物理情景较为常见,但定滑轮质量不能忽略,不能用连接体知识直接分析.用特殊值法,若m1=m2,系统将处于平衡状态,可知T1=m1g,将m1=m2代入四个表达式中,满足T1=m1g的选项即为正确选项,据此可判断表达式C正确.或者用极限分析法,令m=0,根据牛顿运动定律计算可得T1=,将m=0代入四个表达式中,可判断C项正确.
式物理学中有些问题的结论不一定必须通过计算才能验证,有时只需通过一定的分析就可以判断结论是否正确.如图G1-4所示为两个彼此平行且共轴的半径分别为R1和R2的圆环,两圆环上的电荷量均为q(q>0),而电荷均匀分布.两圆环的圆心O1和O2相距为2a,连线的中点为O,轴线上的A点在O
点右侧与O点相距为r(r<a).试分析判断下列关于A点处电场强度大小E的表达式(式中k为静电力常量)正确的是()
图G1-4
A.E=-
-
B.E=-
-
C.E=--
-
D.E=--
-
考法二平面几何知识及其应用
物理试题通常都配有一个与真实的物理情境相对应的示意图形,在对研究对象进行受力分析、描画轨迹、分解速度、描绘光路时,会形成各种各样的几何形状,分析求解时经常要用到平面几何知识.考向1相似三角形知识及应用
在共点力平衡问题、运动的合成和分解、电磁场的合成和分解以及几何光学等物理情境中,常会出现力三角形、速度三角形、位移三角形等矢量三角形和结构(长度)三角形相似的情况,准确作图、仔细观察、灵活选用相似三角形的边角关系是解题的关键.
相似三角形的一些性质:①对应角相等;②对应边成比例;③对应的垂线、中线、角平分线成比例.
4 [2018·全国卷Ⅰ]如图G1-5所示,三个固定的带电小球a、b和c,相互间的距离分别为ab=
5 cm,bc=3 cm,ca=4 cm.小球c所受库仑力的合力的方向平行于a、b的连线.设小球a、b所带电荷量的比值的绝对值为k,则()
图G1-5
A.a、b的电荷同号,k=
B.a、b的电荷异号,k=
C.a、b的电荷同号,k=
D.a、b的电荷异号,k=
[解析] D当c所受a、b的库仑力的合力与a、b连线平行时,场强如图G1-6甲或乙所示.所以,a、b
的电荷一定异号,E a=、E b=,由图可知=,解得=,D正确.
图G1-6
式如图G1-7所示,两球A、B用劲度系数为k1的轻弹簧相连,球B用长为L的细绳悬于O点,球A 固定在O点正下方,且点O、A之间的距离恰为L,系统平衡时绳子所受的拉力为F 1.现把A、B间的弹簧换成劲度系数为k2的轻弹簧(k2>k1),仍使系统平衡,此时绳子所受的拉力为F2,则F1与F2的大小关系为()
图G1-7
A.F1>F2
B.F1=F2
C.F1<F2
D.无法确定
考向2圆的几何知识及应用
圆是平面几何中的一个重要概念,也是物理情境中最常见的几何图形,在物理情境中常以运动轨迹、范围边界、对象特征、装置结构等形式呈现.凡涉及圆的物理情境,分析问题时通常都要用到圆的几何知识.
与圆有关的几何知识主要包括:
①垂径定理:垂直于弦的直径平分弦和弦所对的弧;
②直径所对的圆周角是直角;
③同弧或等弧所对的圆周角相等,都等于它所对圆心角的一半;
④相交弦定理:圆内的两条相交弦,被交点分成的两条线段长的乘积相等;
⑤圆的函数方程:(x-a)2+(y-b)2=r2是以点(a,b)为圆心、|r|为半径的圆.
5 [2017·全国卷Ⅱ]如图G1-8所示,虚线所示的圆形区域内存在一垂直于纸面的匀强磁场,P为磁场边界上的一点.大量相同的带电粒子以相同的速率经过P点,在纸面内沿不同方向射入磁场.若粒子射
入速率为v1,这些粒子在磁场边界的出射点分布在六分之一圆周上;若粒子射入速率为v2,相应的出射
点分布在三分之一圆周上.不计重力及带电粒子之间的相互作用.则v2∶v1为()
图G1-8
A.∶2
B.∶1
C.∶1
D.3∶
[解析] C当粒子在磁场中运动轨迹是半圆时,出射点与入射点的距离最远,故射入的速率为v1时,对应轨道半径为r1=R sin 30°,射入的速率为v2时,对应轨道半径为r2=R sin 60°,由半径公式r=可知轨道半径与速率成正比,因此==,C正确.
式1如图G1-9所示,在匀强电场中有一半径为R的圆,场强方向与圆所在平面平行,场强大小为E,电荷量为q的带正电粒子以相同的初动能沿着各个方向从A点进入圆形区域中,只在电场力作用下运动,从圆周上不同点离开圆形区域,其中从C点离开圆形区域的带电粒子的动能最大,图中O是圆心,AB 是圆的直径,AC是与AB成α角的弦,则()
图G1-9
A.匀强电场的方向沿AC方向
B.匀强电场的方向沿BC方向
C.从A到C电场力做功为2qER cos α
D.从A到C电场力做功为2qER cos2α
式2如图G1-10所示,质量为m、电阻为r、半径为R的金属环竖直落入磁感应强度为B、垂直纸面向里的匀强磁场中,在离开磁场还有h=时,加速度为零,求此时环下落的速度.
图G1-10
考法三利用数学方法求极值
分析求解物理量在某物理过程中的极大值或极小值是很常见的物理问题,这类问题的数学解法有很多,主要有:三角函数极值法、二次函数极值法、不等式极值法、一元二次方程判别式法等.
考向1利用三角函数求极值
(1)二倍角公式法:如果所求物理量的表达式可以化成y=A sin θcos θ,则根据二倍角公式,有y=sin 2θ,当θ=45°时,y有最大值,y max=.
(2)和差角公式法:如果所求物理量的表达式为y=a sin θ+b cos θ,通过和差角公式转化为
y=θ+φ),当θ+φ=90°时,y有最大值,y max=.
6重为G的木块与水平面间动摩擦因数为μ,一人欲用最小的作用力F使木块沿地面匀速运动,则此最小作用力的大小和方向如何?
[答案方向与水平方向夹角为arctan μ,斜向上方
[解析] 如图G1-11所示,木块受重力G、地面的支持力F N、摩擦力f和施加的外力F四个力作用.设力F与x轴夹角为θ,由共点力平衡条件得
图G1-11
F cos θ=f
F sin θ+F N=G
且有f=μF N
联立以上各式得F=
利用和差角公式变形为
F=其中tan φ=
当sin(θ+φ)=1时,F有极小值F min=,
F与x轴夹角θ=arctan μ.
考向2利用二次函数求极值
二次函数y=ax2+bx+c(a、b、c为常数且a≠0),当x=-时,y有极值y m=-(a>0时,y m为极小值;a<0时,y m为极大值).
7在场强为E的水平匀强电场中以初速度v0竖直向上发射一个质量为m、带电荷量为+q的小球,求小球在运动过程中具有的最小速度.(重力加速度为g)
[答案
图G1-12
[解析] 如图G1-12所示,竖直方向,小球在重力mg作用下做竖直上抛运动,水平方向,小球在电场力qE 作用下做匀加速运动.t时刻,小球水平速度v x=t,竖直速度v y=v0-gt,合速度大小为v,则
v2=+=t2+(v0-gt)2=+g2t2-2v0gt+,v2是t的一元二次函数,且二次项的系数大于零,故当t=-=--时,v2有最小值,解得v min=.
考向3利用均值不等式求极值
对于两个大于零的变量a、b,若其和a+b为一定值,则当a=b时,其积ab有极大值;若其积ab为一定值,则当a=b时,其和a+b有极小值.
8一轻绳一端固定在O点,另一端拴一小球,拉起小球使轻绳水平,然后无初速度释放小球,小球在运动至轻绳到达竖直位置的过程中,小球所受重力的瞬时功率在何处取最大值?
[答案] 轻绳与竖直方向夹角为arccos 处
[解析] 如图G1-13所示,当小球运动到绳与竖直方向夹角为θ时,重力的瞬时功率为P=mgv sin θ;由机械能守恒定律得mgl cos θ=mv2
图G1-13
解得P=mg.
令y=cos θsin2θ==,因2cos2θ+sin2θ+sin2θ=2为定值,故当且仅当2cos2θ=sin2θ时,y有最大值.此时2cos2θ=sin2θ=1-cos2θ,解得cos θ=,即当cos θ=时,重力的瞬时功率有最大值.
考法四函数图像及其应用
每一个物理过程都遵循一定的物理规律,每一个物理规律都可以表示为一种函数关系,每一个函数关系都可以描绘成一个函数图像,通过图像的几何(数学)特征可以把物理量之间的相互依赖关系、周期变化特征等复杂物理过程直观地展现出来.这种数形结合的思想正是高考能力考查的重点.
高中阶段物理量间的函数关系主要有一次函数、二次函数、正(反)比例函数、三角函数等,图像形状主要有直线、双曲线、抛物线、正余弦曲线等,如下表所示:
图像形状
路端电压随外电阻变化规律U=R
纯电阻外电路的I-R图像I=
9 (多选)如图G1-14所示,一有界区域内存在着磁感应强度大小均为B、方向分别垂直于光滑水平桌面向下和向上的匀强磁场,磁场宽度均为l.边长为l的正方形导线框abcd的bc边紧靠磁场边缘置于
桌面上,使线框从静止开始沿x轴正方向匀加速通过磁场区域,若以逆时针方向为电流的正方向,能反映线框中感应电流变化规律的是图G1-15中的()
图G1-14
图G1-15
[解析] AC设线框加速度大小为a,t时刻的速度大小为v=at,位移x处的速度大小为v=,t1时刻前,只有bc边切割磁感线,感应电动势e=Blv=Blat或e=Blv=Bl,感应电流i==或i==;t1时刻,线框bc边跨过磁场交界线,ad和bc边同时切割方向相反的磁感线,感应电动势和感应电流加倍(突变),感应电流i==或i==;t2时刻,线框ad边离开磁场交界线,之后只有ad边切割磁感线,感应电流i==或i==,结合常见函数图像可判断A、C正确.
式1如图G1-16所示,若x轴表示时间,y轴表示位置,则该图像反映了某质点做匀速直线运动时,位置与时间的关系.若令x轴和y轴分别表示其他物理量,则该图像又可以反映在某种情况下,相应的物理量之间的关系.下列说法中正确的是 ()
图G1-16
A.若x轴表示时间,y轴表示动能,则该图像可以反映某物体受恒定合外力作用做直线运动过程中,物体动能与时间的关系
B.若x轴表示频率,y轴表示动能,则该图像可以反映光电效应中,光电子最大初动能与入射光频率之间的关系
C.若x轴表示时间,y轴表示动量,则该图像可以反映某物体在沿运动方向的恒定合外力作用下,物体动量与时间的关系
D.若x轴表示时间,y轴表示感应电动势,则该图像可以反映静置于磁场中的某闭合回路,当磁感应强度随时间均匀增大时,闭合回路的感应电动势与时间的关系
式2某研究性学习小组用加速度传感器探究物体从静止开始做直线运动的规律,得到了质量为1.0 kg的物体运动的加速度随时间变化的关系图线,如图G1-17所示.由图可以得出()
图G1-17
A.从t=4.0 s到t=6.0 s的时间内,物体做匀减速直线运动
B.物体在t=10.0 s时的速度大小约为5.8 m/s
C.从t=10.0 s到t=12.0 s的时间内,合外力对物体做的功约为7.3 J
D.不能根据已知信息粗略估算出物体在t=3.0 s时的速度大小
考法五微积分初步及其应用
微积分知识自2001年起已引入高中数学教材,并纳入到高考数学必考范围.考生在高二时已学习相关知识,为解决物理问题提供了重要的思想方法和数学工具.现行高中物理教材中很多地方都涉及微分和积分的思想方法.尽管现行高中物理教材和考试大纲并未将微积分作为一种必须掌握的解决物理问题的数学方法,但在高三物理复习阶段,可尝试引入微积分知识来加深对物理概念的理解,解决疑难
物理问题.
考向1导数及其应用
很多物理量都可以定义为一个物理量对另一个物理量的变化率,而导数就是一个量对另一个量变化率的极限,如速度是位移对时间的变化率、加速度是速度对时间的变化率、电流是电荷量对时间的变化率、感应电动势正比于磁通量对时间的变化率等.
10 (多选)如图G1-18所示,竖直面内有一个由柔软导线制成的闭合导线框ACDE挂在两固定点A、D上,水平线段AD为半圆的直径,导线框E处通过动滑轮悬挂一重物,使导线处于绷紧状态.在半圆形区域内,有磁感应强度大小为B、方向垂直于纸面向里的有界匀强磁场.设导线框电阻为r,圆的半径为R,在将导线上的C点以恒定角速度ω(相对于圆心)从A点沿圆弧移动的过程中,若不考虑导线中电流间的相互作用,则下列说法正确的是()
图G1-18
A.在C从A点沿圆弧移动到D点的过程中,导线框中感应电流的方向先逆时针,后顺时针
B.在C从A点沿圆弧移动到图中∠ADC=30°位置的过程中,通过导线上C点的电荷量为
C.当C沿圆弧移动到圆心O的正上方时,导线框中的感应电动势最大
D.在C从A点沿圆弧移动到D点的过程中,导线框中产生的电热为
[解析] ABD任意时间t内OC连线转过的角度为ωt,由圆的几何知识知△ACD为直角三角形,且
∠AOC=2∠ADC=2θ,穿过导线框的磁通量Φ=B 2R sin θ 2R cos θ=BR2sin 2θ=BR2sin ωt,感应电动势e==BR2ωcos ωt,在C点从A点沿圆弧移动的过程中,磁通量Φ先增大后减小,由楞次定律可判断导线框中感应电流的方向先逆时针后顺时针,A正确;∠ADC=30°时,Φ=BR2sin 60°=BR2,平均感应电动势=,电荷量q=Δt=Δt==,B正确;由瞬时感应电动势的表达式可知,当cos ωt=±1,即C点与A点或D点重合时,导线框中的感应电动势最大,C错误;感应电动势随时间按余弦规律变化,有效值为E=,导线框中产生的电热为Q==,D正确.
式如图G1-19所示,两根平行金属导轨固定在水平桌面上,每根导轨每米的电阻为r0=0.10 Ω/m,导轨的端点P、Q用电阻可忽略的导线相连,两导轨间的距离l=0.2 m,有随时间变化的匀强磁场垂直于桌面,已知磁感应强度B与时间t的关系为B=kt,比例系数k=0.020 T/s,一电阻不计的金属杆可以在导轨上无摩擦地滑动,在滑动过程中始终保持与导轨垂直且接触良好,在t=0时刻,金属杆紧靠在P、Q端,在外力作用下,杆以恒定的加速度从静止开始向导轨的另一端滑动,求在t=6.0 s时金属杆所受的安培力大小.
图G1-19
考向2微元法及其应用
如果某物理过程中有一不断变化的物理量,可以试着把这个物理过程分割为无数多个很小的过程,即所谓的微元,在每个很小的过程中这个变化的物理量近似是不变的,然后在每一小段中求出这个物理量对时间或位移等的积累,再对这些积累量进行求和,就可以得到这个物理量在整个过程中对时间或位移等的积累.
11 [2017·天津卷]电磁轨道炮利用电流和磁场的作用使炮弹获得超高速度,其原理可用来研制新武器和航天运载器.电磁轨道炮示意图如图G1-20所示,图中直流电源电动势为E,电容器的电容为C.两根固定于水平面内的光滑平行金属导轨间距为l,电阻不计.炮弹可视为一质量为m、电阻为R的金属棒MN,垂直放在两导轨间处于静止状态,并与导轨良好接触.首先开关S接1,使电容器完全充电.然后将S接至2,导轨间存在垂直于导轨平面、磁感应强度大小为B的匀强磁场(图中未画出),MN开始向右加速运动.当MN上的感应电动势与电容器两极板间的电压相等时,回路中电流为零,MN达到最大速度,之后离开导轨.问:
图G1-20
(1)磁场的方向;
(2)MN刚开始运动时加速度a的大小;
(3)MN离开导轨后电容器上剩余的电荷量Q是多少.
[答案] (1)垂直于导轨平面向下
(2)(3)
[解析] (1)垂直于导轨平面向下.
(2)电容器完全充电后,两极板间电压为E,当开关S接2时,电容器放电,设刚放电时流经MN的电流为I,有
I=①
设MN受到的安培力为F,有
F=IlB ②
由牛顿第二定律,有
F=ma ③
联立①②③式得
a=④
(3)当电容器充电完毕时,设电容器上电荷量为Q0,有
Q0=CE ⑤
开关S接2后,MN开始向右加速运动,速度达到最大值v max时,设MN上的感应电动势为E',有
E'=Blv max⑥
依题意有E'=⑦
设在此过程中MN的平均电流为,MN上受到的平均安培力为,有
=lB ⑧
由动量定理,有
Δt=mv max⑨
又Δt=Q0-Q
联立⑤⑥⑦⑧⑨⑩式得
Q=
式如图G1-21所示,空间有一个范围足够大的水平匀强磁场,磁感应强度为B,一个质量为m、电荷量为+q的带电小圆环套在一根固定的绝缘竖直细杆上,杆足够长,环与杆间的动摩擦因数为μ.现使圆环以初速度v0向上运动,经时间t圆环回到出发位置.不计空气阻力.已知重力加速度为g.求当圆环回到出发位置时速度v的大小.
图G1-21
考法六数列及数学归纳法
数列是高中数学的一个重点,日常生活中的很多实际问题都可以利用数列知识进行求解,物理情境中也有很多问题与数列有关.某一复杂物理过程中如果同一物理情境重复出现,往往会涉及数学归纳法和数列知识的应用.
高中物理涉及的数列知识主要有等差数列、等比数列、通项公式和前n项和公式的应用等.解题的基本思路分三步:第一步,逐个分析开始阶段的几个物理过程;第二步,利用数学归纳法寻找变化物理量的通项公式;第三步,应用数列知识分析求解.
图G1-22
12如图G1-22所示,质量M=2 kg的平板小车左端放有质量m=3 kg的小铁块(可视为质点),它和小车之间的动摩擦因数μ=0.5.开始时,小车和铁块共同以v0=3 m/s的速度向右在光滑水平面上运动,车与墙正碰,碰撞时间极短且碰撞中不损失机械能.车身足够长,使铁块不能和墙相撞,且始终不能滑离小车.g取10 m/s2.求小车和墙第一次碰后直至其最终恰好靠墙静止这段时间内,小车运动的总路程.
[答案] 1.25 m
[解析] 小车第一次碰墙后以原速率反弹,并在小铁块的摩擦力作用下向左减速,因mv0>Mv0,故小车先减速为零,后向右加速直至与铁块达到共同速度;之后小车第二次碰墙后反弹,重复上述过程.设小车第一次碰墙后向左运动的最大距离为s1,第二次碰墙后向左运动的最大距离为s2,第三次碰墙后向左运动的最大距离为s3……小车第一次碰墙之后与铁块的共同速率为v1,第二次碰墙之后与铁块的共同速率为v2,第三次碰墙之后与铁块的共同速率为v3……
第一次碰墙之后,由动能定理得μmgs1=M,解得s1==m;
由动量守恒定律得(m-M)v0=(m+M)v1,解得v1=-v0=v0;
第二次碰墙之后,由动能定理得μmgs2=M,解得s2==s1;
由动量守恒定律得(m-M)v1=(m+M)v2,解得v2=-v1=v1;
……
s1.
故小车第n次碰墙之后向左运动的最大距离为s n=
-
显然s1,s2,s3,…,s n为一公比是的等比数列.
=1.25 m.
小车运动的总路程为s=2(s1+s2+s3+…+s n)=
-
式如图G1-23所示,A为位于一定高度处的质量为m、带电荷量为+q的小球,B为位于水平地面上的质量为M、用特殊材料制成的长方形空心盒子,且M=2m,盒子与地面间的动摩擦因数μ=0.2,盒内存在着竖直向上的匀强电场,场强大小E=,盒外没有电场.盒子的上表面开有一系列孔径略大于小球直径的小孔,孔间距满足一定的关系,使得小球进出盒子的过程中始终不与盒子接触.当小球A以1 m/s 的速度从孔1进入盒子的瞬间,盒子B恰以v1=6 m/s的速度向右滑行.已知盒子通过电场对小球施加的作用力与小球通过电场对盒子施加的作用力大小相等,方向相反.设盒子足够长,重力加速度g取10
m/s2,小球恰能顺次从各个小孔进出盒子.试求:
(1)小球A从第一次进入盒子到第二次进入盒子所经历的时间;。