小学数学竞赛一、定义新运算

一、定义新运算
同学们都比较爱照像，翻开自己的像册，那一张张记忆犹新的笑脸蕴藏着多少欢乐！那么，照片是如何而来的呢？——是通过对底片的冲洗而得.对同一张底片，我们可以提出不同的要求，请照像馆的师傅根据不同的加工程序洗出1寸的、5寸的、7寸的等等各种大小的照片，也可以用彩色底片洗出彩色的或黑白的照片，甚至于给蓝天加上几朵白云，给暮日添上几笔晚霞.这样，对于同一张底片，我们可以通过不同的加工程序，得到不同效果的照片。

对于同学们极为熟悉的数以及加减乘除四则运算，仔细思考一下，不也是把相同的原料，通过不同的加工得到不同的结果吗？加、减、乘、除四种运算就是我们已经规定了的四种不同的加工程序。

例如：
其中，“+”“-”“×”“÷”分别代表加、减、乘、除四种运算，并且对于这四种运算，还定义了它们所满足的各种运算律。

那么，除了以上四种运算，我们是否还可以规定其他新的加工程序（新运算）呢？
这个新运算，那么对于数a、b，有：
下面，我们通过具体的例子进一步熟悉“定义新运算”是怎么一回事。

（1）计算1996*1998，1998*1996；
（2）计算1997*7*1，1997*（7*1）；
（3）运算“*”有交换律吗？
（4）运算“*”有结合律吗？
解（1）直接根据运算“*”的定义，代入具体数值，进行计算：
（2）
（3）虽然由（1），对于1996和1998，有：
1996*1998=1998*1996
但要说明“*”有交换律，需要证明对任何数a、b，都有a*b=b*a.
对于任意两个数a、b，
所以a*b=b*a。

所以“*”有交换律。

（4）由（2），（1997*7）*1≠1997*（7*1）
所以“*”不满足结合律。

（1）说明，运算“∧”具有结合律，即：（a∧b）∧c = a∧（b∧c）
（2）计算，2∧4∧8∧16∧16，
（3）计算，16∧2∧8∧16∧4。

解（1）因为：
所以（a∧b）∧c = a∧（b∧c）。

故此，运算“∧”满足结合律.
（2）2∧4∧8∧16∧16
=2∧4∧8∧（16∧16）（利用结合律）
=2∧4∧8∧8
=2∧4∧（8∧8）
=2∧4∧4
=2∧（4∧4）
=2∧2
=1
（3）容易说明“∧”具有交换律，所以
16∧2∧8∧16∧4
=16∧16∧2∧8∧4（利用交换律和结合律）
=16∧16∧8∧2∧4
=16∧16∧8∧4∧2
=1
其中，第一步详细过程如下：
16∧2∧8∧16∧4
=（16∧2∧8）∧16∧4（结合律）
=16∧（16∧2∧8）∧4（交换律）
=16∧16∧2∧8∧4（结合律）
其余各步类同。

小结：解这一类题，第一是正确理解新运算；第二是严格按新运算的定义所指定的加工程序进行计算，不得随意改变运算顺序，有括号时，先计算括号内的部分；第三是许多新运算不具备交换律、结合律，如例1 中运算“*”不具备结合律，因此，在没有确定新运算是否具有这些性质时，不能运用这些运算律解题。

例3 沿a＠b=［a，b］+（a，b），其中，［a，b］表示a与b的最小公倍数，（a，b）表示a与b的最大公约数。

比如，6和9，最小公倍数是18，最大公约数是3，则6＠9=18+3=21.
（1）求14＠4；
（2）说明，如果c|a，且c|b，则c|a＠b；
（3）已知6＠x=33，求x.
解（1）根据“＠”的定义，先求出14与4的最小公倍数为28，最大公约数为2，则：
14＠4=［14，4］+（14，4）=28+2=30。

（2）如果c|a且c|b，则有：
c|［a，b］，c （a，b），
因此 c|［a，b］＋（a，b），即 c|a＠b。

（3）由“＠”的定义，有：
［6，x］+（6，x）=33，
而（6，x）只能是1，2，3，6；
所以［6，x］只能是32，31，30，27，这其中只有30是6的倍数，故有：
［6，x］＝30，（6，x）=3
利用公式［a，b］·（a，b）=ab，得：30×3=6x
即 x=15。

例4 对于平面上两个点M和N，定义M△N为M与N的中点。

已知ABCD为边长是4的正方形，求：
（1）以A△B、B△C、C△D、D△A为顶点的四边形面积；
（2）以A△（A△B），C△（C△B），C△（C△D），A△（A△D）为顶点的四边形面积。

解（1）如图1，记AB、BC、CD、DA中点分别为 E、F、G、H，则A△B=E，B△C=F，C△D=G，D△A=H，依题意，需求四边形EFGH的面积.由图知，四边形EFGH（实际上是正方形）的面积为
ABCD
（2）如图2，A△（A△B）=A△E=A与E的中点，记之为Q，C△（C △B）=C△F=C与F的中点，记之为R，以下类似，有C△（C△D）=S，A △（A△D）=T.
依题意，需求四边形QRST的面积，我们把正方形ABCD画出网格，很容易数出QRST的面积为6。

另法：。