直线与椭圆的位置关系导学案

直线与椭圆的位置关系导学案
一、引入
本导学案旨在引导学生深入探究直线与椭圆的位置关系。

通过学习，学生将能够了解直线与椭圆之间的相交情况，并能够运用相关知识解决实际问题。

二、基础知识回顾
在开始学习直线与椭圆的位置关系之前，我们先回顾一下相关的基础知识。

1. 直线的方程
一条直线可以用方程y = mx + c来表示，其中m是直线的斜率，c是直线与y 轴交点的纵坐标。

2. 椭圆的方程
一个标准椭圆的方程为((x - h) / a)^2 + ((y - k) / b)^2 = 1，其中(h, k)代表椭圆的中心坐标，a和b代表横轴和纵轴的半长轴。

三、直线与椭圆的位置关系
当直线与椭圆相交时，可能存在以下几种情况：
1. 直线与椭圆有两个交点
当直线与椭圆有两个交点时，意味着直线与椭圆相交于两个不同的点。

这种情况下，直线穿过椭圆。

2. 直线与椭圆有一个交点
当直线与椭圆有一个交点时，直线与椭圆相切。

此时，直线的斜率等于椭圆切线的斜率。

3. 直线与椭圆没有交点
当直线与椭圆没有交点时，直线与椭圆相离。

四、求解直线与椭圆的位置关系
1. 求解直线与椭圆的交点
为了确定直线与椭圆的位置关系，我们需要求解直线与椭圆的交点坐标。

可以通过联立直线和椭圆的方程，解方程组来求解。

2. 判断直线与椭圆的位置关系
通过求解方程组得到交点坐标后，可以根据交点的个数来判断直线与椭圆的位置关系。

若方程组有两个实数根，则直线与椭圆有两个交点，直线穿过椭圆。

若方程组有一个实数根，则直线与椭圆有一个交点，直线与椭圆相切。

若方程组无实数根，则直线与椭圆没有交点，直线与椭圆相离。

五、实例分析
我们通过一个实例来进一步理解直线与椭圆的位置关系。

示例：求解直线y = 2x + 1和椭圆((x - 1) / 4)^2 + ((y - 2) / 3)^2 = 1的位置关系。

解：首先，我们将直线与椭圆的方程化为标准形式。

直线的方程已经是标准形式。

将椭圆的方程展开得到((x - 1) / 4)^2 + ((y - 2) / 3)^2 = 1，可以得出椭圆的中心坐标为(1, 2)，横轴的半长轴为4，纵轴的半长轴为3。

然后，我们将直线的方程和椭圆的方程联立，得到方程组：
y = 2x + 1
((x - 1) / 4)^2 + ((y - 2) / 3)^2 = 1
通过求解方程组，我们可以得到交点坐标。

将直线的方程代入椭圆的方程，得到：
((x - 1) / 4)^2 + ((2x + 1 - 2) / 3)^2 = 1
将方程化简后，得到二次方程5x^2 + 8x - 37 = 0。

解这个二次方程可以得
到两个实数根。

将这两个根分别代入直线的方程，可以求得两个交点的坐标。

通过计算，我们可以得到交点坐标为(3, 7)和(-8, -15)。

因此，直线y =
2x + 1和椭圆((x - 1) / 4)^2 + ((y - 2) / 3)^2 = 1相交于两个不同的点，
直线穿过椭圆。

六、总结
通过本导学案的学习，我们了解了直线与椭圆的位置关系。

我们学会了如何判断直线与椭圆的相交情况，并学会了求解直线与椭圆的交点坐标的方法。

我们还通过一个实例来巩固所学知识。

希望同学们通过本导学案的学习，对直线与椭圆的位置关系有更加深入的理解，并能够灵活运用这些知识解决实际问题。