2017_2018学年高中数学第六章推理与证明6.1合情推理和演绎推理6.1.3演绎推理6.1.4合

6.1.3 演绎推理
6．1.4 合情推理与演绎推理的关系
一、基础达标
1．下列表述正确的是
( )
①归纳推理是由部分到整体的推理；
②归纳推理是由一般到一般的推理；
③演绎推理是由一般到特殊的推理；
④类比推理是由特殊到一般的推理；
⑤类比推理是由特殊到特殊的推理．
A．①②③ B．②③④ C．②④⑤ D．①③⑤
答案 D
解析根据归纳推理，演绎推理，类比推理的概念特征可以知道①③⑤正确．
2．《论语·学路》篇中说：“名不正，则言不顺；言不顺，则事不成；事不成，则礼乐不兴；
礼乐不兴，则刑罚不中；刑罚不中，则民无所措手足；所以，名不正，则民无所措手足．”
上述推理用的是
( ) A．类比推理B．归纳推理
C．演绎推理D．一次三段论
答案 C
解析这是一个复合三段论，从“名不正”推出“民无所措手足”，连续运用五次三段论，属演绎推理形式．
3．正弦函数是奇函数，f(x)＝sin(x2＋1)是正弦函数，因此f(x)＝sin (x2＋1)是奇函数．以上推理
( ) A．结论正确B．大前提不正确
C．小前提不正确D．全不正确
答案 C
解析由于函数f(x)＝sin (x2＋1)不是正弦函数．故小前提不正确．
4．“∵四边形ABCD是矩形，∴四边形ABCD的对角线相等．”以上推理的大前提是
( ) A．正方形都是对角线相等的四边形
B．矩形都是对角线相等的四边形
C．等腰梯形都是对角线相等的四边形
D．矩形都是对边平行且相等的四边形
答案 B
解析利用三段论分析：
大前提：矩形都是对角线相等的四边形；
小前提：四边形ABCD是矩形；
结论：四边形ABCD的对角线相等．
5．三段论：“①小宏在2013年的高考中考入了重点本科院校；②小宏在2013年的高考中只要正常发挥就能考入重点本科院校；③小宏在2013年的高考中正常发挥”中，“小前提”是________(填序号)．
答案③
解析在这个推理中，②是大前提，③是小前提，①是结论．
x－2的定义域时，第一步推理中大前提是当a有意义时，a≥0；小6．在求函数y＝log
2
x－2有意义；结论是________．
前提是log
2
x－2的定义域是[4，＋∞)
答案y＝log
2
x－2≥0，解得x≥4.
解析由大前提知log
2
7．用三段论证明：直角三角形两锐角之和为90°.
证明因为任意三角形内角之和为180°(大前提)，而直角三角形是三角形(小前提)，所以直角三角形内角之和为180°(结论)．
设直角三角形两个锐角分别为∠A、∠B，则有∠A＋∠B＋90°＝180°，因为等量减等量差相等(大前提)，(∠A＋∠B＋90°)－90°＝180°－90°(小前提)，所以∠A＋∠B ＝90°(结论)．
二、能力提升
8．“所有9的倍数(M)都是3的倍数(P)，某奇数(S)是9的倍数(M)，故某奇数(S)是3的倍数(P)．”上述推理是
( ) A．小前提错 B．结论错 C．正确的 D．大前提错
答案 C
解析由三段论推理概念知推理正确．
9．已知三条不重合的直线m、n、l，两个不重合的平面α、β，有下列命题：
①若m∥n，n⊂α，则m∥α；
②若l⊥α，m⊥β且l∥m，则α∥β；
③若m ⊂α，n ⊂α，m ∥β，n ∥β，则α∥β； ④若α⊥β，α∩β＝m ，n ⊂β，n ⊥m ，则n ⊥α. 其中正确的命题个数是
( )
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4 答案 B
解析 ①中，m 还可能在平面α内，①错误；②正确；③中，m 与n 相交时才成立，③错误；④正确．故选B.
10．已知函数f (x )满足：f (1)＝1
4，4f (x )f (y )＝f (x ＋y )＋f (x －y )(x ，y ∈R )，则f (2 010)
＝________. 答案 12
解析 令y ＝1得4f (x )·f (1)＝f (x ＋1)＋f (x －1) 即f (x )＝f (x ＋1)＋f (x －1)
①
令x 取x ＋1则f (x ＋1)＝f (x ＋2)＋f (x )
②
由①②得f (x )＝f (x ＋2)＋f (x )＋f (x －1)， 即f (x －1)＝－f (x ＋2)，
∴f (x )＝－f (x ＋3)，∴f (x ＋3)＝－f (x ＋6) ∴f (x )＝f (x ＋6)，即f (x )周期为6， ∴f (2 010)＝f (6×335＋0)＝f (0)
对4f (x )f (y )＝f (x ＋y )＋f (x －y )，令x ＝1，y ＝0，得 4f (1)f (0)＝2f (1)， ∴f (0)＝12，即f (2 010)＝1
2
.
11．用演绎推理证明函数f (x )＝|sin x |是周期函数．
证明 大前提：若函数y ＝f (x )对于定义域内的任意一个x 值满足f (x ＋T )＝f (x )(T 为非零常数)，则它为周期函数，T 为它的一个周期． 小前提：f (x ＋π)＝|sin(x ＋π)|＝|sin x |＝f (x )． 结论：函数f (x )＝|sin x |是周期函数．
12．S 为△ABC 所在平面外一点，SA ⊥平面ABC ，平面SAB ⊥平面SBC .求证：AB ⊥BC .
证明 如图，作AE ⊥SB 于E .
∵平面SAB ⊥平面SBC ，平面SAB ∩平面SBC ＝SB .AE ⊂平面
SAB .
∴AE ⊥平面SBC ， 又BC ⊂平面SBC .
∴AE ⊥BC .又∵SA ⊥平面ABC ， ∴SA ⊥BC .
∵SA ∩AE ＝A ，SA ⊂平面SAB ，AE ⊂平面SAB ， ∴BC ⊥平面SAB .
∵AB ⊂平面SAB .∴AB ⊥BC . 三、探究与创新 13．设f (x )＝
a x ＋a －x
2
，g (x )＝
a x －a －x
2
(其中a ＞0且a ≠1)
(1)5＝2＋3请你推测g (5)能否用f (2)，f (3)，g (2)，g (3)来表示； (2)如果(1)中获得了一个结论，请你推测能否将其推广． 解 (1)由f (3)g (2)＋g (3)f (2)＝a 3＋a －32
a 2－a －22
＋
a 3－a －32
a 2＋a －22
＝
a 5－a －5
2
，
又g (5)＝
a 5－a －5
2
因此，g (5)＝f (3)g (2)＋g (3)f (2)．
(2)由g (5)＝f (3)g (2)＋g (3)f (2)，即g (2＋3)＝
f (3)
g (2)＋g (3)f (2)，
于是推测g (x ＋y )＝f (x )g (y )＋g (x )f (y )． 证明 因f (x )＝a x ＋a －x
2，g (x )＝
a x －a －x
2(大前提)， 所以g (x ＋y )＝
a x ＋y －a x ＋y
2
，g (y )＝
a y －a －y 2，f (y )＝a y ＋a －y
2，(小前提及结论)
所以f (x )g (y )＋g (x )f (y )＝a x ＋a －x 2
a y －a －y 2
＋
a x －a －x 2
a y ＋a －y 2
＝a －
x ＋y
－a －x ＋y
2
＝
g (x ＋y )．
附：什么样的考试心态最好
大部分学生都不敢掉以轻心，因此会出现很多过度焦虑。

想要不出现太强的考试焦虑，那么最好的办法是，形成自己的掌控感。

1、首先，认真研究考试办法。

这一点对知识水平比较高的考生非常重要。

随着重复学习的次数增加，我们对知识的兴奋度会逐渐下降。

最后时刻，再去重复学习，对于很多学生已经意义不大，远不如多花些力气，来思考考试。

很多老师也会讲解考试的办法。

但是，老师给你的办法，不能很好地提高你对考试的掌控感，你要找到自己的一套明确的考试办法，才能最有效地提高你的掌控感。

有了这种掌控感，你不会再觉得，在如此关键性的考试面前，你是一只被检验、被考察甚至被宰割的绵羊。

2、其次，试着从考官的角度思考问题。

考官，是掌控考试的;考生，是被考试考验的。

如果你只把自己当成一个考生，你难免会惶惶不安，因为你觉得自己完全是个被摆布者。

如果从考官的角度去看考试，你就成了一名主动的参与者。

具体的做法就是，面对那些知识点，你想像你是一名考官，并考虑，你该用什么形式来考这个知识点。

高考前两个半月，我用这个办法梳理了一下所有课程，最后起到了匪夷所思的效果，令我在短短两个半月，从全班第19名升到了全班第一名。

当然，这有一个前提——考试范围内的知识点，我基本已完全掌握。

3、再次，适当思考一下考试后的事。

如觉得未来不可预测，我们必会焦虑。

那么，对未来做好预测，这种焦虑就会锐减。

这时要明白一点：考试是很重要，但只是人生的一个重要瞬间，所谓胜败也只是这一瞬间的胜败，它的确会带给我们很多，但它远不能决定我们一生的成败。