高三数学一轮复习 第二章第2课时知能演练轻松闯关 试题

2021年高三数学一轮复习 第二章第2课时知能演练轻松闯关 新人
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1．以下函数中，在(－∞，0)上为增函数的是( ) A ．y ＝1－x 2
B ．y ＝x 2
＋2x C ．y ＝
1
1＋x
D ．y ＝
x
x －1
解析：选A.∵y ＝1－x 2
的对称轴为x ＝0，且开口向下， ∴(－∞，0)为其单调递增区间．
2．函数f (x )为R 上的减函数，那么满足f (|x |)<f (1)的实数x 的取值范围是( ) A ．(－1,1) B ．(0,1)
C ．(－1,0)∪(0,1)
D ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
解析：选D.∵f (x )为R 上的减函数，且f (|x |)<f (1)， ∴|x |>1，∴x <－1或者x >1.
3．函数y ＝x －x (x ≥0)的值域为________． 解析：y ＝x －x ＝－(x )2
＋x ＝－(x －12)2＋14，
∴y max ＝14.故值域为(－∞，1
4]．
答案：(－∞，1
4]
4．讨论函数f (x )＝
x ＋a
x ＋b
(a ＞b ＞0)的单调性． 解：定义域为(－∞，－b )∪(－b ，＋∞)． 在定义域内任取x 1＜x 2， ∴f (x 1)－f (x 2)＝
x 1＋a x 1＋b －x 2＋a
x 2＋b
＝
x 1＋a
x 2＋b －x 1＋b x 2＋a
x 1＋b x 2＋b
＝
b －a x 1－x 2
x 1＋b
x 2＋b
.
∵a ＞b ＞0，∴b －a ＜0，x 1－x 2＜0，只有当x 1＜x 2＜－b 或者－b ＜x 1＜x 2时，函数才单调． 当x 1＜x 2＜－b 或者－b ＜x 1＜x 2时，f (x 1)－f (x 2)＞0.
∴f (x )在(－b ，＋∞)上是减函数，在(－∞，－b )上是减函数．
一、选择题
1．(2021·质检)函数y ＝1－
1
x －1
( ) A ．在(－1，＋∞)上单调递增 B ．在(－1，＋∞)上单调递减 C ．在(1，＋∞)上单调递增 D ．在(1，＋∞)上单调递减 答案：C
2．假设函数f (x )＝ax ＋1在R 上递减，那么函数g (x )＝a (x 2
－4x ＋3)的增区间是( ) A ．(2，＋∞) B ．(－∞，2) C ．(－2，＋∞) D ．(－∞，－2)
答案：B
3．函数f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧
x 2
＋4x ，x ≥0，
4x －x 2
，x ＜0.假设f (2－a 2
)＞f (a )，那么实数a 的取值范围是( )
A ．(－∞，－1)∪(2，＋∞)
B ．(－1,2)
C ．(－2,1)
D ．(－∞，－2)∪(1，＋∞)
f (x )的图象可知f (x )在(－∞，＋∞)上是单调递增函数，
由f (2－a 2
)＞f (a )得2－a 2
＞a ，即a 2
＋a －2＜0，解得－2＜a ＜1.
4．函数y ＝f (x )满足：f (－2)＞f (－1)，f (－1)＜f (0)，那么以下结论正确的选项是( )
A ．函数y ＝f (x )在区间[－2，－1]上单调递减，在区间[－1,0]上单调递增
B ．函数y ＝f (x )在区间[－2，－1]上单调递增，在区间[－1,0]上单调递减
C ．函数y ＝f (x )在区间[－2,0]上的最小值是f (－1)
D ．以上的三个结论都不正确
解析：选D.仅由几个函数值的大小关系无法确定函数的单调性，可以举反例说明．
5．假设f (x )＝⎩⎪⎨⎪
⎧
a x
x ≥1⎝ ⎛⎭
⎪⎫
4－a 2x ＋2x ＜1是R 上的单调递增函数，那么实数a 的取值范围
为( ) A ．(1，＋∞) B ．[4,8) C ．(4,8)
D ．(1,8)
f (x )在(－∞，1)和[1，＋∞)上都为增函数，且f (x )在(－∞，1)上的最高点不高于其在[1，
＋∞)上的最低点，即⎩⎪⎨⎪⎧
a ＞1
4－a 2＞0
a ≥4－a 2＋2
，解得a ∈[4,8)，应选B.
二、填空题
6．设f (x )＝⎩⎪⎨
⎪⎧
|x |，|x |≥1，
x ，|x |＜1，
那么f (x )的值域为________.
解析：当|x |＜1时，－1＜f (x )＜1；当|x |≥1时，f (x )≥1. 综上知：值域为(－1，＋∞)． 答案：(－1，＋∞)
7．函数y ＝－(x －3)|x |的递增区间是________．
解析：y ＝－(x －3)|x |
＝⎩
⎪⎨⎪⎧
－x 2
＋3x ，x ＞0，x 2
－3x ，x ≤0.
作出该函数的图象，观察图象知递增区间为[0，32]．
答案：[0，3
2
]
8．假如函数f (x )＝ax 2
＋2x －3在区间(－∞，4)上是单调递增的，那么实数a 的取值范围是________．
解析：(1)当a ＝0时，f (x )＝2x －3，在定义域R 上是单调递增的，故在(－∞，4)上单调递增；
(2)当a ≠0时，二次函数f (x )的对称轴为直线x ＝－1
a
，因为f (x )在(－∞，4)上单调递增，
所以a ＜0，且－1a ≥4，解得－14≤a ＜0.综上所述－1
4
≤a ≤0.
答案：⎣⎢⎡⎦
⎥⎤－14，0
三、解答题
9．求函数f (x )＝2x 2
＋(x －1)|x －1|的最小值． 解：当x ≥1时，f (x )＝2x 2
＋(x －1)(x －1)＝3x 2
－2x ＋1
＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫x －132＋23
， 故x ＝1时，取最小值2.
当x ＜1时，f (x )＝2x 2
－(x －1)(x －1)＝x 2
＋2x －1＝(x ＋1)2
－2，故x ＝－1时，取到最小值－2.
综上所述，f (x )的最小值为－2. 10．函数f (x )＝1a －1
x
(a >0，x >0)．
(1)求证：f (x )在(0，＋∞)上是单调递增函数； (2)假设f (x )在[12，2]上的值域是[1
2，2]，求a 的值．
解：(1)证明：设x 2>x 1>0，那么x 2－x 1>0，x 1x 2>0. ∵f (x 2)－f (x 1) ＝(1a －1x 2)－(1a －1
x 1
)
＝1x 1－1x 2
＝
x 2－x 1
x 1x 2
>0， ∴f (x 2)>f (x 1)，
∴f (x )在(0，＋∞)上是单调递增的． (2)∵f (x )在[12，2]上的值域是[1
2，2]，
又f (x )在[1
2，2]上单调递增，
∴f (12)＝1
2，f (2)＝2，
易得a ＝2
5
.
11．(2021·质检)f (x )＝
x
x －a
(x ≠a )．
(1)假设a ＝－2，试证f (x )在(－∞，－2)内单调递增；
(2)假设a ＞0且f (x )在(1，＋∞)内单调递减，求a 的取值范围． 解：(1)证明：任设x 1＜x 2＜－2， 那么f (x 1)－f (x 2)＝
x 1x 1＋2－x 2
x 2＋2
＝
2x 1－x 2
x 1＋2x 2＋2
.
∵(x 1＋2)(x 2＋2)＞0，x 1－x 2＜0， ∴f (x 1)＜f (x 2)，
∴f (x )在(－∞，－2)内单调递增． (2)任设1＜x 1＜x 2，那么
f (x 1)－f (x 2)＝x 1x 1－a －x 2
x 2－a
＝
a x 2－x 1
x 1－a x 2－a
.
∵a ＞0，x 2－x 1＞0，
∴要使f (x 1)－f (x 2)＞0，只需(x 1－a )(x 2－a )＞0恒成立，∴a ≤1. 综上所述知0＜a ≤1.
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