【倒计时一日一总结】2014届中考倒计30日回扣押题：4(含思路点拨+完美解答+考点延伸)

如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线c bx ax y ++=2交x 轴于)0,6(),0,2(B A 两点，交y 轴于点
)32,0(C .
（1） 求此抛物线的解析式；
（2） 若此抛物线的对称轴与直线x y 2=交于点D ，作⊙D 与x 轴相切，⊙D 交y 轴于点E 、F 两点，
求劣弧EF 的长；
（3）P 为此抛物线在第二象限图像上的一点，PG 垂直于x 轴，垂足为点G ，试确定P 点的位置，使得△PGA 的面积被直线AC 分为1︰2两部分.
解：（1）∵抛物线c bx ax y ++=2
经过点)0,2(A ，)0,6(B ，)320(，C ．
（第24题图）
∴⎪⎩⎪⎨⎧==++=++320636024c c b a c b a ， 解得⎪⎪⎪⎩
⎪⎪
⎪
⎨
⎧=-==3233463c b a . ∴抛物线的解析式为：3233
4632+-=
x x y . …………………………3分
（2）易知抛物线的对称轴是4=x .把x =4代入y =2x 得y =8，∴点D 的坐标为（4,8）．
∵⊙D 与x 轴相切，∴⊙D 的半径为8． …………………………4分
连结DE 、DF ，作DM ⊥y 轴，垂足为点M ． 在Rt △MFD 中，FD =8，MD =4．∴cos ∠MDF =
2
1
． ∴∠MDF =60°，∴∠EDF =120°． …………………………6分
∴劣弧EF 的长为：π=⨯π⨯3
16
8180120．
…………………………7分
（3）设直线AC 的解析式为y =kx +b . ∵直线AC 经过点)32,0(),0,2(C A .
∴⎩⎨⎧==+3202b b k ，解得⎪⎩⎪⎨⎧=-=3
23b k .∴直线AC 的解析式为：323+-=x y . ………8分
设点)0)(3233
463,
(2<+-m m m m P ，PG 交直线AC 于N ， 则点N 坐标为)323,(+-m m .∵PN S S G NA PNA ::=∆∆∴①若PN ︰GN =1︰2，则PG ︰GN =3︰2，PG =
2
3
GN . 即
3233
4
632+-m m =）（32323+-m .
解得：m 1=－3， m 2=2（舍去）.
当m =－3时，
3233
4
632+-m m =3215. ∴此时点P 的坐标为)32
15
,
3(-. …………………………10分
②若PN ︰GN =2︰1，则PG ︰GN =3︰1， PG =3GN .
即
3233
4
632+-m m =）
（3233+-m . 解得：121-=m ，22=m （舍去）.当121-=m 时，3233
4
632+-m m =342. ∴此时点P 的坐标为)342,12(-.
综上所述，当点P 坐标为)32
15
,
3(-或)342,12(-时，△PGA 的面积被直线AC 分成1︰2两部分． …………………12分。