上海交通大学复变函数试卷

上海交通大学
复变函数与积分试题
一、填空题（每空3分，共30分）
1. 方程3sin =z 的解是 。

2.当=a 时，函数x
y i y x a z f arctan )ln()(22+-=在区域 0>x 内解析。

3. 设函数)(z f 在D 内解析，C 是D 内包含0Z 的一条正向简单闭曲线，
且0)(,0)(0'
0≠=z f z f ，在C 内无其他零点则⎰C dz z f z zf i )()(21'π 的值是 。

3. 设函数⎰-++=C d z
z f ξξξξ173)(2，其中C :3=z 的正向圆周，则 )1('i f +的值是 。

4. 函数)2()2(t f t --的富氏变换是 。

5.dz z z z ⎰=--25)
1)(3(1值是 。

6. 函数)3)(2()2sin()(1---=z z z e z f z 在120<-<z 的罗朗级数展开式中的负幂项 为 。

7.函数∑∞==+-=0
2651)(n n n z C z z z f ，则该级数的收敛 半径为 。

8. ⎰==+21
31z z dz e z
z 。

9.0=z 是函数4sin )(z
z z z f -=的 极点，[]=0),(Re z f s 。

10.积分方程ττd e t y t t t ⎰-+=-0)(2)(sin 21的解是 。

二、选择题（每题3分，共15分）
1. 设)(z f 在简单闭曲线C 内解析，在C 上连续，0z 在C 内，则有 。

A.dz z z z f dz z z z f C C ⎰⎰-=-200'20)(1)()()( ； B. dz z z z f dz z z z f C C ⎰⎰-=-0
'20)()()(； C. dz z z z f dz z z z f C C
⎰⎰-=-00201!2)()()( ；D. dz z z z f dz z z z f C C ⎰⎰-=-0
020)()()( 2.下列结论中不正确的是 。

A. 若)(z f 在单连域D 解析，则积分⎰1
0)(z z dz z f 与路径无关； B. 若)(z f 在D 内任一点0z 的邻域内可展开成泰勒级数，则)(z f 在D 解析析；
.C 如果)(z f 在单连域D 内沿D 内任一条简单闭曲线的积分值为零，则)(z f 在D 解析析
D. 设)(z f ()n z z z g n
,)(-=为正整数，)(z g 在0z 点解析，则0z 是)(z f 的n 阶极点。

3. 221)(p
e p F p
-+=,则其逆变换[]=-)(1p F F 。

A. )2(-+t u t ； B. );2(++t u t
C. )2()2(--+t u t t ；
D.)2()2(+++t u t t
4.在映射z
i w =
之下，将半带形域：0Re >）（z ，1)Im(0<<z 映射 成为 区域。

A.0Im ,0Re 2121>><-
）（）（且w w w ； B. 0Im ,0Re 2
121>>>-）（）（且w w w ； C. 0Im ,0Re 2121><<+
w w w 且； D. 0Im ,0Re 2
121<<<+）（）（且w w w 。

5.幂级数∑∞
=+02)31(n n n z i 的收敛半径是 。

.A 2
1； .B 2； .C 2； .D 21；
三、计算
1. 已知0)2(,2
2=+=f y x y v ，验证v 为调和函数，求相应的 共轭调和函数u 及解析函数iv u z f +=)(。

2.计算下列积分
（1）⎰=-23
)1(cos z dz z z z π （2）.计算积分⎰
-π
0cos 453cos dx x x 。

（3）)0()
(3sin 022>+⎰
+∞a dx a x x x 。

] 四、已值函数2
31)(2+-=z z z f ，求（1）在圆环域110<-<z 内 ； （2）在圆环域12>-z 内展开成罗朗级数。

D.
五、积分变换
1.求函数t e t f t cos )(-=的富氏变换，并证明 t e td t cos 2cos 42042-∞
+=++⎰πωωωω。

2.求微分方程组的解
⎩⎨⎧=+-=-0
)()()()()(2)(""''t Z t Z t y t f t z t y ，满足初始条件0)0()0()0()0(''====Z Z y y
六、设C 为正向圆周：,21π⎪⎭⎫ ⎝
⎛+=n z 其中n 为非负整数，试证： ⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛+=C n i zdz z 2
sinh 21sinh 2cot cosh πππ。