高中数学 第1章 常用逻辑用语章末检测 苏教版高二选修2-1数学试题

常用逻辑用语 章末检测
一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分)
1．下列语句中，是命题的个数是________．
①|x ＋2|；②－5∈Z ；③π∉R ；④{0}∈N .
答案 3
解析 ②③④是命题．
2．命题“若α＝π4
，则tan α＝1”的逆否命题是____________． 答案 若tan α≠1，则α≠π4
解析 命题“若α＝π4，则tan α＝1”的逆否命题是“若tan α≠1，则α≠π4
”． 3．设a >0且a ≠1，则“函数f (x )＝a x 在R 上是减函数”是“函数g (x )＝(2－a )x 3在R 上是增函数”的________条件．
答案 充分不必要
解析 由题意知函数f (x )＝a x 在R 上是减函数等价于0<a <1，函数g (x )＝(2－a )x 3在R 上是增函数等价于0<a <1或1<a <2，∴“函数f (x )＝a x 在R 上是减函数”是“函数g (x )＝(2－a )x 3
在R 上是增函数”的充分不必要条件．
4．设函数f (x )＝x 2＋mx (m ∈R )，则下列命题中的真命题是________．
①任意m ∈R ，使y ＝f (x )都是奇函数；
②存在m ∈R ，使y ＝f (x )是奇函数；
③任意m ∈R ，使y ＝f (x )都是偶函数；
④存在m ∈R ，使y ＝f (x )是偶函数．
答案 ④
解析 存在m ＝0∈R ，使y ＝f (x )是偶函数．
5．已知集合A ＝{1，a }，B ＝{1,2,3}，则“a ＝3”是“A ⊆B ”的________条件．
答案 充分不必要
解析 若a ＝3，则A ⊆B ；若A ⊆B ，则a ＝3或2.
6．如果命题“非p 或非q ”是假命题，给出下列四个结论：
①命题“p 且q ”是真命题；②命题“p 且q ”是假命题；③命题“p 或q ”是真命题；④命题“p 或q ”是假命题．
其中正确的结论是________．
答案 ①③
解析 “非p 或非q ”是假命题⇒“非p ”与“非q ”均为假命题．故①③正确．
7．下列命题中正确的是________．
①“m ＝12
”是“直线(m ＋2)x ＋3my ＋1＝0与直线(m －2)x ＋(m ＋2)y －3＝0互相平行”的充分不必要条件；
②“直线l 垂直平面α内无数条直线”是“直线l 垂直于平面α”的充分条件； ③已知a 、b 、c 为非零向量，则“a ·b ＝a ·c ”是“b ＝c ”的充要条件；
④p ：存在x ∈R ，x 2＋2x ＋2≤0.则綈p ：任意x ∈R ，x 2＋2x ＋2>0.
答案 ④
解析 “m ＝12”“直线(m ＋2)x ＋3my ＋1＝0与直线(m －2)x ＋(m ＋2)y －3＝0互相平行”，
故①不正确．“直线l 垂直平面α内无数条直线”
“直线l 垂直于平面α”，故②不正确．“a ·b ＝a ·c ”“b ＝c ”，故③不正确．存在性命题的否定为全称命题，④正确．
8．已知a 、b ∈R ，那么“0＜a ＜1且0＜b ＜1”是“ab ＋1＞a ＋b ”的________条件． 答案 充分不必要
解析 将ab ＋1＞a ＋b 整理得，(a －1)(b －1)＞0，即判断“0＜a ＜1且0＜b ＜1”是“(a －
1)(b －1)＞0”的什么条件．由0＜a ＜1且0＜b ＜1可推知(a －1)(b －1)＞0，由(a －1)·(b
－1)＞0⇒⎩⎪⎨⎪⎧ a ＞1，b ＞1或⎩⎪⎨⎪⎧ a ＜1，b ＜1.故“0＜a ＜1且0＜b ＜1”是“ab ＋1＞a ＋b ”的充分不必
要条件．
9．设x ∈Z ，集合A 是奇数集，集合B 是偶数集．若命题p ：∀x ∈A,2x ∈B ，则綈p 是________________．
答案 ∃x ∈A,2x ∉B 解析 全称命题的否定是存在性命题．
10．命题“若a >b ，则2a >2b
－1”的否命题为________________________________． 答案 若a ≤b ，则2a ≤2b －1
解析 一个命题的否命题是对条件和结论都否定．
11．命题：存在一个实数对，使2x ＋3y ＋3<0成立的否定是
________________________________________________________________________. 答案 任意实数对，使2x ＋3y ＋3≥0都成立．
解析 存在性命题的否定是全称命题．
12．设p ：x >2或x <23
；q ：x >2或x <－1，则綈p 是綈q 的________条件． 答案 充分不必要
解析 綈p ：23
≤x ≤2.
綈q ：－1≤x ≤2.綈p ⇒綈q ，但綈q
綈p . ∴綈p 是綈q 的充分不必要条件．
13．f (x )，g (x )是定义在R 上的函数，h (x )＝f (x )＋g (x )，则“f (x )，g (x )均为偶函数”是“h (x )为偶函数”的________条件．
答案 充分不必要
解析 若f (x )，g (x )为偶函数，则f (－x )＝f (x )，g (－x )＝g (x )，故h (－x )＝f (－x )＋g (－x )＝f (x )＋g (x )＝h (x )．又∵f (x )，g (x )的定义域是R ，∴h (x )是偶函数．∴f (x )，g (x )是偶函数⇒h (x )是偶函数，令f (x )＝x ，g (x )＝x 2－x ，则h (x )＝f (x )＋g (x )＝x 2
是偶函数．而f (x )，g (x )不是偶函数，∴h (x )是偶函数f (x )，g (x )是偶函数．
14．在下列四个命题中，真命题的个数是________．
①∀x ∈R ，x 2
＋x ＋3>0；
②∀x ∈Q ，13x 2＋12
x ＋1是有理数； ③∃α，β∈R ，使sin(α＋β)＝sin α＋sin β；
④∃x 0，y 0∈Z ，使3x 0－2y 0＝10.
答案 4
解析 ①中x 2＋x ＋3＝(x ＋12)2＋114≥114
>0， 故①是真命题．
②中x ∈Q ，13x 2＋12
x ＋1一定是有理数， 故②是真命题．
③中α＝π4，β＝－π4
时， sin(α＋β)＝0，sin α＋sin β＝0，故③是真命题．
④中x 0＝4，y 0＝1时，
3x 0－2y 0＝10成立，故④是真命题．
二、解答题(本大题共6小题，共90分)
15．(14分)给出命题p ：“在平面直角坐标系xOy 中，已知点P (2cos x ＋1,2cos2x ＋2)和Q (cos x ，
－1)，∀x ∈[0，π]，向量OP →与OQ →不垂直”．试写出命题p 的否定，并证明命题p 的否定的真
假性．
解 綈p ：在直角坐标系xOy 中，已知点P (2cos x ＋1,2cos2x ＋2)和Q (cos x ，－1)，∃x ∈[0，
π]，向量OP →⊥OQ →，綈p 是真命题，证明如下：
由OP →⊥OQ →得cos x (2cos x ＋1)－(2cos2x ＋2)＝0利用cos2x ＝2cos 2x －1，
化简得：2cos 2x －cos x ＝0，
∴cos x ＝0或cos x ＝12
. 又∵x ∈[0，π]，∴x ＝π2或x ＝π3
. 故∃x ＝π2或x ＝π3
，向量OP →⊥OQ →. 16．(14分)求证：“a ＋2b ＝0”是“直线ax ＋2y ＋3＝0和直线x ＋by ＋2＝0互相垂直”的充要条件．
证明 充分性：
当b ＝0时，如果a ＋2b ＝0，那么a ＝0，此时直线ax ＋2y ＋3＝0平行于x 轴，直线x ＋by ＋2＝0平行于y 轴，它们互相垂直；当b ≠0时，直线ax ＋2y ＋3＝0的斜率k 1＝－a 2
，直线x ＋by ＋2＝0的斜率k 2＝－1b ，如果a ＋2b ＝0，那么k 1k 2＝(－a 2)×(－1b
)＝－1，两直线互相垂直． 必要性：
如果两条直线互相垂直且斜率都存在， 那么k 1k 2＝(－a 2)×(－1b
)＝－1，所以a ＋2b ＝0； 若两直线中有直线的斜率不存在，且互相垂直，则b ＝0，且a ＝0.所以a ＋2b ＝0.
综上，“a ＋2b ＝0”是“直线ax ＋2y ＋3＝0和直线x ＋by ＋2＝0互相垂直”的充要条件．
17．(14分)设p ：关于x 的不等式a x >1 (a >0且a ≠1)的解集为{x |x <0}，q ：函数y ＝lg(ax 2－x ＋a )的定义域为R .如果p 和q 有且仅有一个正确，求a 的取值范围．
解 当p 真时，0<a <1，
当q 真时，⎩⎪⎨⎪⎧ a >0，1－4a 2<0， 即a >12
， ∴p 假时，a >1，q 假时，a ≤12
. 又p 和q 有且仅有一个正确．
当p 真q 假时，0<a ≤12
，当p 假q 真时，a >1. 综上得，a ∈(0，12
]∪(1，＋∞)． 18．(16分)已知命题p ：x 2－8x －20>0，q ：x 2－2x ＋1－m 2
>0(m >0)，若p 是q 的充分不必要条件，求实数m 的取值范围．
解 由x 2－8x －20>0⇒x <－2或x >10，
即命题p 对应的集合为P ＝{x |x <－2或x >10}，
由x 2－2x ＋1－m 2
>0(m >0)
⇔[x －(1－m )][x －(1＋m )]>0(m >0)
⇔x <1－m 或x >1＋m (m >0)，
即命题q 对应的集合为 Q ＝{x |x <1－m 或x >1＋m ，m >0}，
因为p 是q 的充分不必要条件，知P 是Q 的真子集．
故有⎩⎪⎨⎪⎧
m >0，1－m ≥－2，
1＋m <10或⎩⎪⎨⎪⎧ m >0，1－m >－2，1＋m ≤10.解得0<m ≤3. 所以实数m 的取值范围是(0,3]． 19．(16分)设命题p ：实数x 满足x 2－4ax ＋3a 2<0，其中a >0，命题q ：实数x 满足⎩⎪⎨⎪⎧
x 2－x －6≤0，x 2＋2x －8>0. (1)若a ＝1，且p ∧q 为真，求实数x 的取值范围；
(2)若綈p 是綈q 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．
解 (1)由x 2－4ax ＋3a 2<0得(x －3a )(x －a )<0.
又a >0，所以a <x <3a ，
当a ＝1时，1<x <3，即p 为真命题时，
实数x 的取值范围是1<x <3.
由⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－x －6≤0，x 2＋2x －8>0.解得⎩⎪⎨⎪⎧ －2≤x ≤3，x <－4或x >2.
即2<x ≤3.
所以q 为真时实数x 的取值范围是2<x ≤3.
若p ∧q 为真，则⎩⎪⎨⎪⎧ 1<x <3，2<x ≤3⇔2<x <3，
所以实数x 的取值范围是(2,3)．
(2) 綈p 是綈q 的充分不必要条件，
即綈p ⇒綈q 且綈q 綈p .
设A ＝{x |x ≤a ，或x ≥3a }，B ＝{x |x ≤2，或x >3}，
则A B .
所以0<a ≤2且3a >3，即1<a ≤2.
所以实数a 的取值范围是(1,2]．
20．(16分)已知命题p ：函数f (x )＝lg ⎝
⎛⎭⎪⎫ax 2－x ＋116a 的定义域为R ；命题q ：不等式2x ＋1<1＋ax 对一切正实数x 均成立．如果命题p 或q 为真，p 且q 为假，求实数a 的取值范围．
解 命题p 为真命题等价于ax 2－x ＋116
a >0对任意实数x 均成立．当a ＝0时，－x >0，其解集不是R ，∴a ≠0.
于是有⎩⎪⎨⎪⎧ a >0，1－14a 2<0，
解得a >2，故命题p 为真命题等价于a >2.
命题q 为真命题等价于a >2x ＋1－1x ＝2x
x (2x ＋1＋1)＝22x ＋1＋1对一切实数x 均成立． 由于x >0，∴2x ＋1>1，2x ＋1＋1>2，
∴2
2x ＋1＋1<1，从而命题q 为真命题等价于a ≥1. 根据题意知，命题p 、q 有且只有一个为真命题，
当p 真q 假时，实数a 不存在；
当p 假q 真时，实数a 的取值范围是1≤a ≤2.。