安徽省合肥市一模2023届高三数学 答案

合肥市2023年高三第一次教学质量检测
数学试题参考答案及评分标准
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分.
1.A
2.B
3.A
4.B
5.C
6.D
7.D
8.C 二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分.
9.ABC 10.BC 11.BD 12.ACD 三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分.
13.5 14.15 15.2 2⎡⎤-⎣⎦， 16.(
)
21++∞，
四、解答题：本大题共6小题，满分70分. 17.(本小题满分10分)
(1)设等差数列{}n a 的公差为d ，由522a a =，2
32S a =得12a d =，且()2
113232
a d a d ⨯+
=+， 解得1d =或0d =(舍去)，∴12a =. ∴1n a n =+. ……………………………………4分
(2) ∵()
()22
11111
111n n n n n a n =<=-+++， ∴
222
2123111
11111
1111122311n n n n a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++
<-+-++-=-< ⎪ ⎪ ⎪
++⎝⎭⎝⎭⎝⎭
. ……………………10分 18.(本小题满分12分)
方法一：
(1)∵13BP C Q ==，1BP C Q ∥，∴1BPN C QN ∆∆≌. ∴1BN C N =，即点N 为线段1BC 的中点.
过点N 作NE BC ⊥于点E ，则1NE CC ∥,且1122
NE CC ==， ∴NE AM ∥,且2NE AM ==，∴四边形AMNE 为平行四边形，
∴MN AE ∥.又∵MN ⊄平面ABCD ，AE ⊆平面ABCD ,∴MN ∥平面ABCD . ………………6分 (2)设多面体BDMPQ 的体积为V ，连接DP ，则 1
21
22344163
32
B MPD B QPD D BMP BPM
V V V V S
DA ---=+==⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯=. ………………12分
方法二：
(1)建立如图所示的空间直角坐标系，则D (0，0，0)，M (4，0，2)，P (4，4，3)，Q (0，4，1).A (4，0，0),B (4，4，0),C (0，4，0),
∴ ()0 4 0AB =，
，，()-4 0 0BC =，，. ∵13BP C Q ==，1BB ∥1CC ，∴点N 为1BC 的中点，则N (2，4，2)， ∴ ()1
2 4 02
MN AB BC =-=+，，
, ∴MN 与AB ，BC 共面，且MN ABCD ⊄平面，
∴MN ∥平面ABCD . ………………………………6分
(2)∵D (0，0，0)，M (4，0，2)，P (4，4，3)，Q (0，4，1)， 则=402DM QP =（，，）
，∴DM QP ∥，且DM QP =, ∴四边形PQDM 为平行四边形,
N
且25,17DM DQ ==.……………………………7分 ∵()4 0 2DM =，，，()0 4
1DQ =，，， ∴cos 2
DM DQ MDQ DM DQ
⋅∠=
=
=⋅
，∴sin
MDQ ∠=
∴sin DMPQ
S
DM DQ MDQ =⋅⋅∠==
设() n x y z =，，为平面DMPQ 的法向量，则42040. x z y z +=⎧⎨
+=⎩
，
令1y =，则2x =，4z =-，即()2 1
4n =-，，
， ∴点B 到平面DMPQ 的距离为12
21
n DB
n
⋅
=
=
， ∴四棱锥B DMPQ -的体积为1163⨯=. ……………………………………12分 19.(本小题满分12分)
(1)∵2
2
2
220b c a +-=，即2222
2()b b c a =+-，∴222sin cos 244sin b c a b B
A bc c C
+-===
， ∴4sin cos sin sin cos cos sin C A B A C A C ==+，即tan 3tan A C =.
当1
tan 3
C =时，tan 3tan 1A C ==，
又∵()0A π∈，，∴4
A π=
. …………………………6分
(2)由
(1)知，tan 3tan A C =
，∴02
C A π<<<
，
()2tan tan 2tan 2
tan 1
1tan tan 13tan 3tan tan A C C
A C A C C
C C
-
-=
==
=
+⋅++，当且仅当13tan tan C C
=，即
当tan C =
，6C π
=时，等号成立，∴()tan A C - 又∵02A C π<-<，∴A C -的最大值为6
π
，此时3A π=,2B π∴=
.
∴ABC ∆为直角三角形. ……………………………………12分 20.(本小题满分12
分)
(1)由x x
y '=⎧⎪⎨'=⎪⎩得x x y '=⎧⎪⎨
'=⎪⎩，代入22
2x y +=得2212x y ''+=， ∴曲线E 的方程为2
212
x y +=.
……………………………………4分
(2)当直线l 的斜率存在时，设l ：()1y k x =+.
由()22
121x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩
消去y 整理得，()2222124220k x k x k +++-=. 设()11A x y ，，()22B x y ，，则2
122
2
12241222.12k x x k k x x k ⎧+=-⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩
， ∴以AB 为直径的圆的圆心横坐标为2
2
212k k -+.
又∵
12
AB x
=-=
=
)2
2
1
12
k
k
+
=
+
，
∴以
AB为直径的圆的半径为
)2
2
1
12
k
R
k
+
=
+
，
圆心到直线2
x=-的距离为
22
22
222
2
1212
k k
d
k k
+
=-=
++
，
)(()2
2
2
222
21
1
22
121212
k
k
k
d R
k k k
+
+
+
-=-=>
+++
，即d R
>，
∴以AB为直径的圆与直线2
x=-相离. ……………………………………10分当直线l的斜率不存在时，易知以
AB圆的方程是()221
1
2
x y
++=，该圆与直线2
x=-相离.
综上可知，以AB为直径的圆与直线2
x=-相离. ……………………………………12分21.(本小题满分12分)
(1)∵
1
3
7
3
17
1
24
y
C
C
-=，∴
()()
111
7657
1224
y y y
⨯⨯
=
--
，
∴()()
111
127201098
y y y
--==⨯⨯，∴
1
10
y=. ……………………………………5分
(2)∵
6
1
54
i
i
x
=
=
∑，∴9
x=，∴()
62
1
64
i
i
x x
=
-=
∑.
∵
()()
6
i i
x x y y
r
--
=
∑()()
6
1
15
81616
i i
i
x x y y
=
--
==
⨯
∑
，
∴()()
6
1
815
i i
i
x x y y
=
--=⨯
∑，
∴
()()
()
1
2
1
81515
648
n
i i
i
n
i
i
x x y y
b
x x
=
=
--
⨯
===
-
∑
∑
.
又∵()
6666
222
22
1111
266256
i i i i
i i i i
y y y y y y y y
====
-=-⋅+=-=
∑∑∑∑，解得22
y=.
∴
1541
229
88
a y bx
=-=-⨯=，……………………………10分∴
4115
88
y x
=+，当15
x=时，
4115
1533
88
y=+⨯≈，
∴可以估计，昼夜温差为15O C时，该校新增患感冒的学生数为33人. ……………………………12分
22.(本小题满分12分)
(1)()
2
22
112
2
22
a x x a
f x
x x x
-+-
'=--=，0
x>. ……………………………1分
①当440
a
∆=-≤，即1
a≥时，()0
f x
'≤恒成立，此时，()
f x在()
+∞
，上单调递减.
……………………………2分②当
440
a
a
∆=->
⎧
⎨
>
⎩
，即01
a
<<时，由()0
f x
'=解得，1
x=
由
()0
f x
'>
解得，11
x<()0
f x
'<解得，01
x
<<1
x>
此时，()f x
在(0 1，
和()1+∞
上单调递减，在(1上单调递增.………4分 ③当440
0a a ∆=->⎧⎨
≤⎩
，即0a ≤时，
由()0f x '=
，解得1x =
1x =舍)，
由()0f x '>
，解得01x <<()0f x '<
，解得1x > 此时，()f x
在(0 1，
上单调递增，在()
1+∞上单调递减.
………………………6分
(2)令()()2
ln 2a x g x f x a x a x
-=-=+-，则()()g x f x '='.
由(1)知，当1a ≥时，()g x 在()0+∞，
上单调递减， ∴()g x 在()0+∞，
上至多有一个零点，不符合题意舍去. ……………………………7分
∵a 是整数，∴()0 1a ∉，.
当0a ≤时，由(1)知()g x
在(0 1，
上单调递增，在()
1+∞上单调递减， 且当0x →时，()ln 22a x g x x a x =+
--→-∞；当x →+∞时，()ln 22
a x g x x a x =+--→-∞. 若()g x 在()0+∞，
上有两个零点，则(10g >.
∵(
(
(2
11ln 1ln 11a g a a -==-
，
令1t ，则22a t t =-+(2t ≥).
∴()2
ln 31g t t t t =+-+，则()()()22111231230t t t t g t t t t t
---+'=+-==>， ∴()g t 在()2+∞，上单调递增.
又∵()2ln 210g =-<，()3ln310g =+>， ∴存在唯一的()02 3t ∈，，使得()00g t =，
当0t t >时，()0g t >，此时()2
023 0a t t <-+∈-，.
若1a =-，则1
t =
(
(
(
(
(2
1ln 11311ln 1g =+-+=.
令()1ln F x x x
=-，则()F x 在()0+∞，
上单调递增， 又∵()1
212
1214
2ln 2ln 2ln ln ln 022F e e
e =-=
-==>，∴(1(2)0F F
>>，
当1t ≥()
0g t >.
此时，111a ≤-.
∴当1a ≤-时，(10g >成立，
∴a 的最大整数值为1-.
……………………………12分。