高考数学压轴专题(易错题)备战高考《复数》分类汇编附答案解析

数学《复数》期末复习知识要点
一、选择题
1．设3443i z i
-=+，()21f x x x =-+，则()f z =（ ） A ．i
B ．i -
C ．1i -+
D ．1i + 【答案】A
【解析】
【分析】
利用复数代数形式的乘除运算化简，代入函数解析式求解．
【详解】 解：3443i z i
-=+Q ()()()()
344334434343i i i z i i i i ---∴===-++- ()21f x x x =-+Q
()()()2
1f z i i i ∴=---+=
故选：A
【点睛】
本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础的计算题．
2．若复数21z i i =
+-（i 为虚数单位），则||z =（ ）
A
B C D ．5
【答案】C
【解析】
【分析】
根据复数的运算，化简复数，再根据模的定义求解即可.
【详解】 22(1)
12
1(1)(1)
i z i i i i i i +=+=+=+--+，||z ==故选C. 【点睛】
本题主要考查了复数的除法运算，复数模的概念，属于中档题.
3．已知复数21i z =
-+，则（ ） A ．2z = B ．z 的实部为1 C ．z 的虚部为1- D ．z 的共轭复数为1i +
【解析】
分析：由题意首先化简复数z ，然后结合z 的值逐一考查所给的选项即可确定正确的说法. 详解：由复数的运算法则可得：()()()()21211112i i z i i i ----=
==---+--，
则z =，选项A 错误；
z 的实部为1-，选项B 错误；
z 的虚部为1-，选项C 正确；
z 的共轭复数为1z i =-+，选项D 错误.
本题选择C 选项.
点睛：本题主要考查复数的运算法则，复数的几何意义等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
4．已知复数z 满足()1z i i =-，(i 为虚数单位)，则z =( )
A
B C ．2 D ．3
【答案】A
【解析】 ()
11z i i i =-=+，故z = A.
5．若z C ∈且342z i ++≤，则1z i --的最大和最小值分别为,M m ，则M m -的值等于（ ）
A ．3
B ．4
C ．5
D ．9 【答案】B
【解析】
【分析】
根据复数差的模的几何意义可得复数z 在复平面上对应的点的轨迹，再次利用复数差的模的几何意义得到,M m ，从而可得M m -的值.
【详解】 因为342z i ++≤，
故复数z 在复平面上对应的点P 到134z i =--对应的点A 的距离小于或等于2， 所以P 在以()3,4C --为圆心，半径为2的圆面内或圆上， 又1z i --表示P 到复数21z i =+对应的点B 的距离，
故该距离的最大值为222AB +==，
最小值为22AB -=，故4M m -=.
【点睛】 本题考查复数中12z z -的几何意义，该几何意义为复平面上12,z z 对应的两点之间的距离，注意12z z +也有明确的几何意义（可把12z z +化成()12z z --），本题属于中档题.
6．设i 是虚数单位，则()()
3211i i -+等于( ) A ．1i -
B ．1i -+
C ．1i +
D ．1i --
【答案】B
【解析】
【分析】
化简复数得到答案.
【详解】 ()
()3221(1)(1)2(1)1221i i i i i i i i
i -----===-++ 故答案选B
【点睛】
本题考查了复数的计算，意在考查学生的计算能力.
7．
若1+是关于x 的实系数方程20x bx c ++=的一个复数根，则（ ）
A ．2,3b c ==
B ．2,1b c ==-
C ．2,1b c =-=-
D ．2,3b c =-=
【答案】D
【解析】
【分析】
由题意，将根代入实系数方程x 2+bx +c ＝0整理后根据得数相等的充要条件得到关于实数a ，b
的方程组100b c -++=⎧⎪⎨=⎪⎩
，解方程得出a ，b 的值即可选出正确选项 【详解】
由题意
1是关于x 的实系数方程x 2+bx +c ＝0
∴
﹣2+
b bi +
c ＝0
，即()
10b c i -+++=
∴100
b c -++=⎧⎪⎨=⎪⎩，解得b ＝﹣2，c ＝3 故选：D ．
【点睛】
本题考查复数相等的充要条件，解题的关键是熟练掌握复数相等的充要条件，能根据它得
到关于实数的方程，本题考查了转化的思想，属于基本计算题
8．已知复数z 满足
121i z i i +⋅=--（其中z 为z 的共轭复数），则z 的值为( )
A ．1
B ．2
C
D 【答案】D
【解析】
【分析】 按照复数的运算法则先求出z ，再写出z ，进而求出z .
【详解】 21(1)21(1)(1)2
i i i i i i i ++===--+Q ， 1222(2)121i i z i i z i z i i i i i
+-∴⋅=-⇒⋅=-⇒==--=---，
12||z i z ∴=-+⇒==
故选：D
【点睛】
本题考查复数的四则运算、共轭复数及复数的模，考查基本运算能力，属于基础题.
9．复数z 满足(2)36z i i +=-（i 为虚数单位），则复数z 的虚部为（ ）
A ．3
B ．3i -
C ．3i
D ．3- 【答案】D
【解析】
【分析】
首先化简复数z ，然后结合复数的定义确定其虚部即可.
【详解】 由题意可得：()()()()
362361151322255i i i i z i i i i -----====--++-， 据此可知，复数z 的虚部为3-.
本题选择D 选项.
【点睛】
复数的代数形式的运算主要有加、减、乘、除及求低次方根．除法实际上是分母实数化的过程．
10．已知两非零复数12,z z ，若12R z z ∈，则一定成立的是
A ．12R z z ∈
B ．12R z z ∈
C ．12R z z +∈
D ．12
R z z ∈
【答案】D
【解析】
利用排除法：
当121,1z i z i =+=-时，12z z ∈R ，而()21212z z i i R =+=∉，选项A 错误， 1211z i i R z i +==∉-，选项B 错误， 当121,22z i z i =+=-时，12z z ∈R ，而123z z i R +=-∉，选项C 错误，
本题选择D 选项.
11．复数
的共轭复数对应的点位于 A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限 【答案】C
【解析】
【分析】
利用复数的除法运算法则：分子、分母同乘以分母的共轭复数，化简复数，再利用共轭复数的概念求出复数
的共轭复数，进一步求出对应点的坐标得结果 . 【详解】
，
的共轭复数为
， 对应坐标是
在第三象限，故选C.
【点睛】
复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数、复数的模这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.
12．已知复数z 满足11212i i z
+=+（i 为虚数单位），则z 的虚部为（ ） A ．4 B ．4i C ．4- D ．4i -
【答案】C
【解析】112i 11420i 34i 12i 5
z ++-===-+ ,所以z 的虚部为4-,选C.
13．若复数z 的虚部小于0，|z |5=4z z +=，则iz =（ ）
A ．13i +
B ．2i +
C ．12i +
D ．12i -
【答案】C
【解析】
【分析】 根据4z z +=可得()2z mi m =+∈R ，结合模长关系列方程，根据虚部小于0即可得解.
【详解】
由4z z +=，得()2z mi m =+∈R ，因为||z ==1m =±. 又z 的虚部小于0，所以2z i =-，12iz i =+.
故选：C
【点睛】
此题考查复数的概念辨析和模长计算，根据复数的概念和运算法则求解.
14．设i 是虚数单位，则2320192342020i i i i +++⋅⋅⋅+的值为（ ）
A ．10101010i --
B ．10111010i --
C ．10111012i --
D ．10111010i -
【答案】B
【解析】
【分析】
利用错位相减法、等比数列的求和公式及复数的周期性进行计算可得答案.
【详解】
解：设2320192342020S i i i i =+++⋅⋅⋅+,
可得：24201920320023420192020iS i i i i i =++++⋅⋅⋅++，
则24201923020(1)22020i S i i i i i i -=++++⋅⋅⋅+-， 2019242019202023020(1)(1)202020201i i i S i i i i i i i i i i
--=+++++⋅⋅⋅+-+-=-， 可得：2
(1)(1)(1)20202020202112
i i i i i S i i i i ++-=+-=+-=-+-， 可得：2021(2021)(1)1011101012i i i S i i -+-++=
==---， 故选：B.
【点睛】
本题主要考查等比数列的求和公式，错位相减法、及复数的乘除法运算，属于中档题.
15．设i 是虚数单位，则复数
734i i ++在复平面内所对应的点位于（ ） A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限 【答案】D
【解析】
因为734i i
++(7)(34)2525=1(34)(34)25i i i i i i +--==-+-， 所以所对应的点为(1,1)-，位于第四象限，选D.
16．若202031i i z i
+=+，则z 在复平面内对应点位于( ) A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
【答案】A
【解析】
【分析】
化简得到2z i =+，得到答案.
【详解】 ()()()()
202013131342211112i i i i i i z i i i i i +-+++=====++++-，对应的点在第一象限. 故选：A .
【点睛】
本题考查了复数对应象限，意在考查学生的计算能力.
17．已知复数z 满足21zi z i +=-，则z =
A ．12i +
B ．12i -
C ．1i +
D ．1i - 【答案】C
【解析】
【分析】
设出复数z ，根据复数相等求得结果.
【详解】
设(),z a bi a b R =+∈，则z a bi =-， 故()()()()22221zi z a bi i a bi b a a b i i +=++-=-++-=-， 故2121b a a b -+=⎧⎨-=-⎩，解得11
a b =⎧⎨=⎩. 所以1z i =+.
故选：C .
【点睛】
本题考查复数的运算，共轭复数的求解，属综合基础题.
18．已知复数z 在复平面内对应点是()1,2-，i 为虚数单位，则21
z z +=-（ ）
A ．1i --
B ．1i +
C ．312i -
D ．312
i + 【答案】D
【解析】 21z z +=-323122
i i i -=+- ，选D.
19．复数z 满足|||3|z i z i -=+，则||z ( )
A ．恒等于1
B ．最大值为1，无最小值
C ．最小值为1，无最大值
D ．无最大值，也无最小值
【答案】C
【解析】
【分析】
设复数z x yi =+，其中x ，y R ∈，由题意求出1y =-，再计算||z 的值．
【详解】
解：设复数z x yi =+，其中x ，y R ∈，
由|||3|z i z i -=+，得|(1)||(3)|x y i x y i +-=++， 2222(1)(3)x y x y ∴+-=++，
解得1y =-；
||1z ∴=，
即||z 有最小值为1，没有最大值．
故选：C ．
【点睛】
本题考查了复数的概念与应用问题，是基础题．
20．若复数(1)(1)z m m m i =-+-是纯虚数，其中m 是实数，则1z =( ) A ．i
B ．i -
C ．2i
D ．2i - 【答案】A
【解析】
因为复数()()11z m m m i =-+-是纯虚数，所以()1010m m m ⎧-=⎨
-≠⎩，则m =0，所以z i =-，则11i z i
==-.。