线性代数试题精选与精解(含完整试题与详细答案,2020考研数学基础训练)

线性代数试题精选与精解（含完整试题与详细答案，2020
考研数学基础训练）
一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）
1.设3阶方阵A =（α1，α2，α3），其中αi （i =1,2,3）为A 的列向量，若| B |=|（α1+2α2，α2，α3）|=6，则| A |=( ) A.-12 B.-6 C.6
D.12
【答案】C
【解析】本题考查了矩阵行列式的性质。

有性质可知，行列式的任意一列（行）的(0)k k ≠倍加至另一列（行），行列式的值不变。

本题中，B 是由A 的第二列的2倍加到了第一列形成的，故其行列式不变，因此选C 。

【提醒】行列式的性质中，主要掌握这几条：（1）互换行列式的两行或两列行列式要变号；（2）行列式的任意一行（列）的(0)k k ≠倍加至另一行（列），行列式的值不变；（2）行列式行（列）的公因子（公因式）可以提到行列式的外面。

【点评】本题涉及内容是每年必考的，需重点掌握。

热度：☆☆☆☆☆；可出现在各种题型中，选择、填空居多。

【历年考题链接】 （2008,4）1．设行列式D=3332
31
232221
131211a a a a a a a a a =3，D 1=33
32
3131
2322212113
12
1111252525a a a a a a a a a a a a +++，则D 1的值为（ ） A ．-15 B ．-6 C ．6
D ．15
答案：C 。

2.计算行列式3
2 3 20 2 0 0 0
5 10 2 0 2 0 3 ----=( )
A.-180
B.-120
C.120
D.180 【答案】A
【解析】本题考查了行列式的计算。

行列式可以根据任意一行（列）展开。

一般来说，按含零元素较多的行或列展开计算起来较容易。

本题，按第三列展开，有：
441424344433
313233 3 0 2 0
302
2 10 5 0
00033(1)2105
0 0 2 0
002
2 3 2 3
30
3(002)6(1) =630180. 210
A A A A A A A ++--=⋅+⋅+⋅+⋅=-----=⋅+⋅-=---⨯=-
【提醒】还要掌握一些特殊矩阵的行列式的计算，如对角矩阵，上（下）三角矩阵，还有分块矩阵。

【点评】行列式的计算是每年必考的，常出现在选择、填空和计算中，选择、填空居多。

近几年，填空题的第一题一般考察这个内容。

需重点掌握。

热度：☆☆☆☆☆。

【历年考题链接】
（2008,1）11.若,
02
11=k 则k=_______.
答案：1/2。

3.若A 为3阶方阵且| A -1 |=2，则| 2A |=( ) A.21 B.2 C.4
D.8
【答案】C
【解析】本题考查了逆矩阵行列式的计算，和矩阵行列式的运算性质。

由于1
1,A
A
-=
由已知| A -1 |=2，从而12A =
，所以3
122842
A A ==⨯=。

【提醒】牢记公式：1
1
,A
A
-=
n kA k A =，AB A B =，以及由*AA A E =推出的1
*n A A
-=。

其中n 为A 的阶数。

【点评】本题涉及内容是矩阵行列式的运算性质，需重点掌握。

热度：☆☆☆☆☆；可出现在各种题型中，选择、填空居多。

【历年考题链接】 （2008,4）4．设A 为n 阶方阵，n ≥2，则A 5-=（ ） A ．（-5）n A
B ．-5A
C ．5A
D ．5n A
答案：A 。

4.设α1，α2，α3，α4都是3维向量，则必有( ) A.α1，α2，α3，α4线性无关
B.α1，α2，α3，α4线性相关
C.α1可由α2，α3，α4线性表示
D.α1不可由α2，α3，α4线性表示 【答案】B
【解析】本题考查了向量组线性相关性。

由结论可知，向量组中向量的个数大于维数，则此向量组线性相关。

本题中，向量个数4，维数3，故线性相关。

【提醒】请记住判断向量组线性相关与否的结论。

如：向量组的个数如果和维数相同的话，可以通过计算以这些向量为行（列）组成的行列式的值，如果值为零，则原向量组线性相关，否组线性无关。

【点评】本题涉及内容是每年必考的，常出现在选择和计算题中。

热度：☆☆☆☆☆；可出现在各种题型中，选择、填空居多。

【历年考题链接】 （2008,7）5.已知向量组A ：4321,,,αααα中432,,ααα线性相关，那么（ ） A. 4321,,,αααα线性无关 B. 4321,,,αααα线性相关 C. 1α可由432,,ααα线性表示 D. 43,αα线性无关
答案：B 。

5.若A为6阶方阵，齐次线性方程组Ax=0的基础解系中解向量的个数为2，则r(A)=( )
A.2
B.3
C.4
D.5
【答案】C
【解析】本题考查了齐次线性方程组Ax=0的基础解系的性质：基础解系中解向量的个数为未知数的个数减去A的秩。

本题中，未知数的个数为6，基础解系中解向量的个数为2。

由结论可知，A的秩为4。

【提醒】另外要牢记基础解系的含义：首先，基础解系中每个向量都是解向量，它们是线性无关的；其次，方程组的所有解可以由它们线性表出。

【点评】本题涉及内容是大纲要求的重点内容，每年必考的，常出现在选择和计算题中。

热度：☆☆☆☆☆。

【历年考题链接】
（2010,1）6.设A是4×6矩阵，r（A）=2，则齐次线性方程组Ax=0的基础解系中所含向量的个数是（）
A.1
B.2
C.3
D.4
答案：D。

6.设A、B为同阶方阵，且r(A)=r(B)，则( )
A.A与B相似
B.| A |=| B |
C.A与B等价
D.A与B合同
【答案】C
【解析】本题考查了矩阵相似、等价与合同等概念的区别。

因为r(A)=r(B)，故A、B通过初等变换可以互相转化，从而A与B是等价的。

【提醒】（1）若A,B为同型矩阵，A通过初等变换可以转化为B，则称A与B等价。

（2）若存在可逆矩阵P，使得P-1AP=B，则称A与B相似。

相似矩阵有相同的行列式和相同的特征值。

（3）若存在可逆矩阵P，使得P，AP=B，则称A与B合同。

若A与B合同，则它们也是等价的。

【点评】这些概念与相关性质几乎是每年必考的，常出现在选择和填空题中。

热度：☆☆☆☆☆。

【历年考题链接】
（2008,7）7.若A与B相似，则（）
A.A，B都和同一对角矩阵相似
B.A，B有相同的特征向量
C.A-λE=B-λE
D.|A|=|B|
答案：D。

7.设A 为3阶方阵，其特征值分别为2,1,0则| A +2E |=( ) A.0
B.2
C.3
D.24 【答案】D 。

【解析】本题考查了特征值的性质。

已知A 为3阶方阵，特征值分别为2,1,0，根据性质：
,(),()()A A A λϕλλϕλϕ若是矩阵的特征值是关于的多项式则是的特征值（含负指数），可得，A+2E 的特征值为2+2，1+2,0+2，即：4,3,2。

再根据性质：若n 阶矩阵 A 的特征值为
12,,,n λλλ ，则12n A λλλ= ，可得，| A +2E |=4╳3╳2=24。

【提醒】110,A A λλλ--≠若（）是矩阵的特征值则的特征值为；若n 阶矩阵 A 的特征值为
12,,,n λλλ ，则121122n nn a a a λλλ+++=+++ 。

【点评】本题涉及内容是考试热点，每年必考的，常出现在选择和填空中。

热度：☆☆☆
☆☆。

【历年考题链接】
（2008,7）18.设三阶方阵A 的三个特征值为1，2，3. 则|A+E |=___________. 答案：24。

（2010,1）9.设矩阵A =⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡--111131111的三个特征值分别为λ1，λ2，λ3，则λ1+λ2+λ
3 =
（ ）
A.4
B.5
C.6
D.7
答案：B
8.若A 、B 相似，则下列说法错误．．的是( ) A.A 与B 等价 B.A 与B 合同
C.| A |=| B |
D.A 与B 有相同特征值
【答案】B
【解析】本题考查了相似矩阵的性质。

首先，相似矩阵有相同的行列式和相同的特征值；其次，由定义，A 与B 相似则存在可逆矩阵P ，使得P -1AP=B 。

因为可逆矩阵P -1和P 都能写成若干初等矩阵的乘积，而左乘初等矩阵相当于相应行变换，右乘初等矩阵相当于相应
列变换，由P -1AP=B 可知，A 通过若干初等变换可以互相转化为B ，从而A 与B 是等价的。

用排除法可知本题选B 。

【提醒】（1）若存在可逆矩阵P ，使得P ，
AP=B ，则称A 与B 合同。

若A 与B 合同或相似，则它们也是等价的，反之不一定成立。

（2）若存在正交矩阵P ，使得P -1AP=B ，则可以得到A,B 合同。

【点评】本题与上面的第6题都考察了矩阵等价、合同、相似等概念和性质，这些内容需重点掌握，常出现在选择和填空题中。

热度：☆☆☆☆☆。

【历年考题链接】 （2007,10）8．设3阶矩阵A 与B 相似，且已知A 的特征值为2，2，3. 则|B -1|=（ ）
A ．121
B ．71
C ．7
D ．12
答案：A 。

9.若向量α=（1，-2,1）与β=(2，3，t )正交，则t =( ) A.-2 B.0 C.2
D.4 【答案】D 。

【解析】本题考查了向量的正交性。

如果0T αβ=，则向量,αβ正交。

向量α=（1，-2,1）与β=(2，3，t )正交，由0T αβ=得，12(2)310t ⨯+-⨯+⨯=，解得4t =。

【提醒】3维向量正交性和空间解析几何中的向量垂直是相同的。

记得什么是正交矩阵吗？ 【点评】本题涉及内容近年常考，多出现填空中。

热度：☆☆☆☆。

【历年考题链接】
（2008,7）9.下列向量中与α=（1，1，-1）正交的向量是（ ） A. 1α=（1，1，1） B. 2α=（-1，1，1） C. 3α=（1，-1，1） D. 4α=（0，1，1）
答案：D
10.设3阶实对称矩阵A 的特征值分别为2,1,0，则( ) A.A 正定 B.A 半正定 C.A 负定 D.A 半负定 【答案】B 。

【解析】本题考查了实对称矩阵正定性的判定。

n 阶对称矩阵A 正定的充分必要条件是A 的 n 个特征值全是正数。

n 阶对称矩阵A 是负定矩阵的充分必要条件是A 的特征值全小于零。

n 阶对称矩阵A 是半正定矩阵的充分必要条件是A 的特征值全大于等于零，但至少有一个特征值等于零。

【提醒】n 阶对称矩阵A 正定的另一个充分必要条件是：A 的 n 个顺序主子式全大于零。

【点评】正定性的判定是考察的重点。

本题涉及内容是考试热点，每年必考的，常出现在选择和填空中。

热度：☆☆☆☆。

【历年考题链接】 （2007,10）20．若实对称矩阵A =⎪⎪⎪
⎭
⎫
⎝⎛a a a 000103为正定矩阵，则a 的取值应满足_____________.
答案：0a <<
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）
请在每小题的空格中填上正确答案。

错填、不填均无分。

11.设A =⎪
⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛-4 21 02 3,B =⎥⎦⎤
⎢⎣⎡--0 1 01 1 2，则AB =_________________. 【答案】⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛2- 2- 4 0
1- 03- 5 6。

【解析】本题考查了矩阵的乘法运算。

将A 中的第i 行元素分别与B 中的第j 列对应元素相乘相加就得到新矩阵的第i 行第j 列元素，因此AB =⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛-4 21 02 3⎥⎦⎤
⎢⎣⎡--0 1 01 1 2=⎪
⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛2- 2- 4 0 1- 03- 5
6。

【提醒】只有当A 的列数和B 的行数相同的话，A ，B 才能相乘。

另外，矩阵的乘法运算性质也要牢记（特别矩阵乘法不满足交换律）。

【点评】矩阵乘法运算属基本技能，是考试热点，多出现在填空中，也有在计算题里。

考
试热度：☆☆☆☆☆。

【历年考题链接】(2008,1) 12.设A= ⎢⎢⎢⎣
⎡⎥⎥⎥⎦⎤411023,B=,010201⎢⎣⎡⎥⎦⎤则AB=___________.
答案：326010142⎡⎤
⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢
⎥。

12.设A 为3阶方阵，且| A |=3，则| 3A -1 |=______________. 【答案】9。

【解析】本题与第3题考查内容基本相同。

【提醒】见第3题。

【点评】见第3题。

13.三元方程x 1+x 2+x 3=1的通解是_______________.
【答案】1212123111010(,001x x k k k k x --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪
=++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
为任意常数）。

【解析】本题考察的是线性方程组通解的求法。

简述如下：先用初等行变换将增广矩阵化为行阶梯型矩阵，找到系数矩阵的秩，看增广矩阵的秩与系数矩阵的秩是否相等，若是，说明有解，否则无解；有解时，若系数矩阵的秩小于未知数个数，则方程组有无穷多解，存在基础解系；此时，确定自由未知量的个数并选定自由未知量（未知数的个数减去系数矩阵的秩），将所有向量用自由未知量表示出来，写成矩阵形式，即可得通解。

本题，系数矩阵秩为1，自由未知量个数为3-1=2， 选定自由未知量x 2，x 3 ，则有：
12312232232333
23111100,010(,00100x x x x x x x x x x x x x x x x =----⎧⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=++=++⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪
=++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎩为任意常数），上式即为通解（其中任意常数x 2，x 3 可以换成k 1，k 2 ）。

【提醒】取自由未知量时，注意其取值的“任意性”。

【点评】本题涉及内容是本课程的考察重点之一，要重点掌握。

历年试题的选择填空题中，出现的线性方程组一般较简单，而计算中稍复杂，重在考察它的解法。

热度：☆☆☆☆☆。

【历年考题链接】（2008,1）16.方程组0x x x 321=-+的通解是_____.
答案：k 1⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛-011+k 2
⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛101(其中k 1 ，k 2为任意常数)。

14.设α=（-1，2，2），则与α反方向的单位向量是_________________. 【答案】⎪⎭
⎫ ⎝⎛--
32,32,31。

【解析】本题考查了向量的单位化运算。

与α 同向的单位向量为：α
α
，反向的单位向量为
-α
α。

本题中，)2,2,1(-=α ， ()3221222
=++-=α
，所以与α 反向的单位向量为：⎪⎭
⎫
⎝⎛--=-32,32,31αα。

【提醒】),,(c b a =α ，则),,(,222kc kb ka k c b a =++=
αα。

【点评】本题在高等数学中也出现过，内容简单，掌握起来较容易，但历年试题中出现的不多，考试热度：☆☆☆。

15.设A 为5阶方阵，且r (A )=3，则线性空间W ={x | Ax =0}的维数是______________. 【答案】2。

【解析】本题考查了线性方程组基础解系的定义与线性空间维数的概念。

实际上，Ax =0的基础解系就是线性空间（即该方程组的解空间）W ={x | Ax =0}的一个基；反知，W ={x | Ax =0}的一个基也是Ax =0的基础解系。

本题中，Ax =0的基础解系中含有5-3=2个解向量，即所
有的解都可以通过这两个解向量线性表出，故由Ax =0的解构成的线性空间W ={x | Ax =0}的维数为2。

【提醒】若线性空间中的所有向量都可以由一个线性无关的向量组线性表示，则此向量组称为线性空间的一组基，这组基中向量的个数即为此线性空间的维数。

一般的，线性空间W ={x | Ax =0}的维数是Ax =0的基础解系中所含解向量个数。

【点评】线性空间的维数本题涉及内容考试热度：☆☆☆☆。

【历年考题链接】（2010,1）14.实数向量空间V ={（x 1,x 2,x 3）|x 1+x 2+x 3=0}的维数是_________. 答案：2。

16.设A 为3阶方阵，特征值分别为-2，2
1
，1，则| 5A -1 |=______________. 【答案】-125。

【解析】本题考查了特征值以及行列式的性质。

已知A 为3阶方阵，特征值分别为-2，
2
1，1，根据性质“若n 阶矩阵 A 的特征值为12,,,n λλλ ，则12n A λλλ= ”可得，| A |=-2╳
21╳1=-1，1
11,A A
-==-13155125A A --==-。

【提醒】（1）若n 阶矩阵 A 的特征值为
12,,,n λλλ ，则12n A λλλ= ；若n 阶矩阵 A
的特征值为12,,,n λλλ ，则121122n nn a a a λλλ+++=+++ 。

（2）1
1
,A
A
-=
n kA k A =。

（3）110,A A λλλ--≠若（）是矩阵的特征值则的特征值为。

【点评】本题涉及内容与上面的第3,7,12题基本相同，是考试热点，常出现在选择和填空中。

热度：☆☆☆☆☆。

【历年考题链接】（2007,10）8．设3阶矩阵A 与B 相似，且已知A 的特征值为2，2，3. 则|B -1|=（ ）
A ．12
1
B ．
7
1
C ．7
D ．12
答案：A 。

（2008,4）8．设3阶方阵A 的特征值为1，-1，2，则下列矩阵中为可逆矩阵的是（ ） A ．E-A B ．-E-A C ．2E-A D ．-2E-A 答案：D 。

17.若A 、B 为5阶方阵，且Ax =0只有零解，且r (B )=3，则r (AB )=_________________. 【答案】3。

【解析】本题考查了矩阵秩的性质。

由A 为5阶方阵，且Ax =0只有零解，所以A 是满秩矩阵，即A 是可逆的，则A 可看成若干初等矩阵的乘积，AB 就可以认为是矩阵B 经过若干次初等行变换得到的，而初等变换不改变矩阵的秩。

因此，r (AB )= r (B )=3。

（参考教材P71）。

【提醒】（1）初等变换不影响矩阵的秩；（2）r (AB )小于等于r (A )，r (B )中最小的一个。

（3）若B 是可逆矩阵，则r (AB )= r (BA )= r (A )。

【点评】矩阵秩的性质考得不多，但是其求法是考试热点。

本内容多出现在选择填空中。

考试热度：☆☆☆。

18.实对称矩阵⎪⎪⎪
⎭
⎫
⎝⎛--1 1 0 1 0 10 1 2 所对应的二次型f (x 1, x 2, x 3)=________________.
【答案】22131223222x x x x x x +-+。

【解析】本题考查了实二次型的矩阵。

一个实二次型对应唯一一个实对称矩阵，反过来，一个实对称矩阵也唯一对应一个实二次型。

本题给定了一个实对称矩阵，对应的二次型的写法是：矩阵的主对角线上的元素2,0,1依次是222123,,x x x 的系数，121a =-的两倍为12
x x
的系数，130a =的两倍为13x x 的系数，231a =的两倍为23x x 的系数。

因此得到f (x 1, x 2, x 3)= 22131223222x x x x x x +-+。

【提醒】不仅要会由矩阵写出对应的二次型，还要会写二次型对应的矩阵。

【点评】本题涉及内容是重点，几乎每年必考，常与矩阵的秩联合考察。

考试热度：☆☆☆☆☆。

【历年考题链接】（2008,7）20.矩阵A =⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡--221201113所对应的二次型是___________.
答案：221312132332224x x x x x x x x +-++。

19.设3元非齐次线性方程组Ax =b 有解α1=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321，α2=⎪⎪⎪
⎭
⎫
⎝⎛-3 2 1且r (A )=2，则Ax =b 的通解是
_______________.
【答案】⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321+k 200⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭(其中k 为任意常数)。

（⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321+k 100⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，123-⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
+k 100⎛⎫
⎪
⎪ ⎪
⎝⎭
等也正确，答案不唯
一）。

【解析】本题考查了非齐次线性方程组解的性质与通解的结构。

Ax =b 的任意两个解的差为对应的齐次方程Ax =0的解。

Ax =b 的通解由Ax =0的通解与本身的一个特解相加得到。

本题中，非齐次方程的两个解的差α1—α2=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321—⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-3 2 1=200⎛⎫
⎪
⎪ ⎪
⎝⎭
为Ax =0的非零解，又因为
r (A )=2，Ax =0的基础解系中含3-2=1解向量，所以200⎛⎫ ⎪
⎪ ⎪⎝⎭
就是Ax =0的基础解系。

从而Ax =0
的通解为k 200⎛⎫ ⎪
⎪ ⎪⎝⎭。

故Ax =b 的通解为：⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321+k 200⎛⎫
⎪ ⎪ ⎪⎝⎭。

（其中k 为任意常数）
【提醒】牢记齐次和非齐次线性方程组解的性质以及非齐次线性方程组的通解结构。

（内容在教材110-111和118-119页）
【点评】本题涉及内容是常考的，要熟记结论并灵活运用它才能答好这部分题。

考试热度：☆☆☆☆。

【历年考题链接】（2008,7）8.设1α，2α是Ax=b 的解，η是对应齐次方程Ax=0的解，则（ ）
A. η+1α是Ax =0的解
B. η+（1α-2α）是Ax=0的解
C. 1α+2α是Ax=b 的解
D. 1α-2α是Ax=b 的解
答案：B 。

20.设α=⎪⎪⎪
⎭
⎫
⎝⎛321，则A =ααT 的非零特征值是_______________.
【答案】14。

【解析】本题考查矩阵特征值的求法。

本题中，A =ααT =123246369⎛⎫ ⎪
⎪ ⎪⎝⎭
，由
()221
23
462624
2
461(2)3
693936
369
(1)(13)2(2)33(14)0,
E A λλλλλλλλλλλλλλλλ----------=---=-------------=--+--⋅=-=
得，1230,14.λλλ===即非零特征值为14。

【提醒】有时候可以根据12n A λλλ= ，121122n nn a a a λλλ+++=+++ 来算得特征值和矩阵中的参数。

【点评】本题涉及内容是重点，几乎每年必考，常出现在填空和计算题中。

考试热度：☆☆☆☆☆。

【历年考题链接】（2008,4）18.已知λ=0为矩阵A=⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛-----222222
220的2重特征值，则A 的另一特征值为______________.
答案：4。

三、计算题（本大题共6小题，每小题9分，共54分）
21.计算5阶行列式D =20001
020
00002
0000020100
02。

【答案】24。

【解析】本题考查了高阶行列式的计算。

一般是先利用性质使某行或某列出现较多的零，后根据某一行或列展开。

本题中，
2222
22
200012001
02000
0200 21002000020
00020
1002
10002
201
221020
102
214212412
+++-⋅-⋅-=按第二行展开（）
按第二行展开（）按第二行展开（）。

【点评】利用行列式的性质来计算行列式的值是每年必考的，常出现在填空和计算题中。

考试热度：☆☆☆☆☆。

22.设矩阵X 满足方程
⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-2 0 00 1 00 0 2X ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0 1 01 0 00 0 1=⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛---0 2 11 0 23 4 1 求X .
【答案】13 -222-2 1 01 0 -1 2⎛⎫
⎪ ⎪
⎪ ⎪ ⎪⎝⎭。

【解析】本题考查了矩阵方程的求解。

通过左乘或右乘系数矩阵来求得X 。

本题中，
X=1
2 0 00 1 00 0 2-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭
⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛---0 2 11 0 23 4 11
1 0 00 0 10 1 0-⎛⎫
⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
=1 0 020 1 010 0 2⎛⎫ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪
⎝
⎭⎪⎪
⎪⎭
⎫ ⎝⎛---0 2 11 0 23 4 1 1 0 00 0 10 1 0⎛⎫
⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
=1 0 020 1 010 0 2⎛⎫
⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪
⎝
⎭ 1 3 42 1 01 0 2-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭ =13 -222-2 1 01 0 -1 2⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭。

【点评】考察矩阵方程求解，考虑到高阶矩阵的逆矩阵较难求得，所以命题人常选择逆矩阵容易求得的特殊矩阵（如对角矩阵，某些初等矩阵等）或者二阶矩阵作为系数矩阵。

此内容常出现在填空和计算题中。

考试热度：☆☆☆☆。

23.求非齐次线性方程组
⎪⎩⎪
⎨⎧=--+=+--=--+0
89544331
34321
43214321x x x x x x x x x x x x 的通解. 【答案】13 -222-2 1 01 0 -1 2⎛⎫ ⎪ ⎪
⎪ ⎪ ⎪⎝⎭。

【解析】本题考查了非齐次线性方程组的求法，与前面的第13题考查内容大致相同。

求通
解时，先用初等行变换将增广矩阵化为行阶梯型矩阵，找到系数矩阵的秩，看增广矩阵的秩与系数矩阵的秩是否相等，若是，说明有解，否则无解；有解时，若系数矩阵的秩等于未知数个数，则方程组有唯一解，由简化方程组最后方程解出变量值然后逐步回代则可得这个唯一解；若系数矩阵的秩小于未知数个数，则方程组有无穷多解，存在基础解系；此时，确定自由未知量的个数并选定自由未知量（未知数的个数减去系数矩阵的秩），将所有向量用自由未知量表示出来，写成矩阵形式，即可得通解。

本题中，先将⎪⎩⎪
⎨⎧=--+=+--=--+0
8954433134321
43214321x x x x x x x x x x x x 的增广矩阵进行初等变换： 113111131
111311313440467104
67115980046710
00
0⎛
⎫⎛⎫⎛⎫------ ⎪ ⎪ ⎪
⎪
⎪
⎪--→-→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪
⎪ ⎪ ⎪ ⎪----- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭⎝
⎭
， 因为增广矩阵的秩与系数矩阵的秩相同所以有解，方程组等价于
123423431
4671
x x x x x x x +--=⎧⎪⎨
-++=⎪⎩， 方程组中自由未知量的个数为4-2=2，选取34,x x 为自由未知量，将所有变量用34,x x 表示出来：
1
342343434234
3344
13
75331313424424137424x x x x x x x x x x x x x x x x x ⎧⎛⎫=++-=++--++=+- ⎪⎪⎝⎭⎪
⎪
=-++⎨⎪
=⎪⎪
=⎩， 所以通解为：
123434345/43/23/41/43/27/4(,010001x x x x x x x x -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭为任意常数）。

【点评】线性方程组通解的求法是每年必考的内容，学员们要认真掌握这个知识点。

考试热度：☆☆☆☆☆。

24.求向量组α1=（1,2，-1,4），α2=(9,100,10,4)，α3=（-2，-4,2，-8）的秩和一个极大无关组.
【答案】秩为2，极大无关组为：12α,α。

【解析】本题考查了向量组的秩与极大无关组的求法。

这里没有要求将其余向量用极大无关组表示出来，因此只需把所有行向量转置成列向量组成矩阵后，用初等行变换把它化为行阶梯型矩阵即可；若需要用极大无关组表示其余向量，则最好化为简化行阶梯型矩阵。

因为
1
92192192210040820010()1102019000044803200
00---⎛⎫⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪ ⎪-
⎪ ⎪ ⎪
=→→ ⎪ ⎪ ⎪
- ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭
T T T T 1234α,α,α,α，
所以该向量组的秩为2，极大无关组为：12α,α。

【点评】向量组的秩和极大无关组的求法几乎是每年必考的内容，学员们要加紧这部分内容的练习，特别是如何用极大无关组来表示向量组中其余向量的方法。

考试热度：☆☆☆☆☆。

25.已知A =⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛---2 13 5 2 1 2 b a 的一个特征向量ξ=（1,1，-1）T ，求a ，b 及ξ所对应的特征值，
并写出对应于这个特征值的全部特征向量.
【答案】a ，b 及ξ所对应的特征值分别为：-3,0，-1；与特征值-1对应的所有特征向量为：
111k -⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭。

【解析】本题考查了矩阵特征值与特征向量的概念。

A 为n 阶实方阵，若存在某个数λ和某个n 维非零列向量ξ，满足A ξ=λξ，则λ是A 的一个特征值，ξ是A 的与特征值λ对应的特征向量。

本题中，若设ξ是A 的与特征值λ对应的特征向量，则根据A ξ=λξ得：
2 1 211 5 3111 211a b λλλλ-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫
⎪⎪ ⎪ ⎪
== ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪-----⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即
121a b λλλ-⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪
+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+-⎝⎭⎝⎭
，
从而有：1,21,11a b λ=-+=-+=即3,0, 1.a b λ=-==-
当1λ=-时，方程组()0E A X --=的通解就是与-1对应的全部特征向量。

此齐次线性方程组系数矩阵：
312101101523022011101011000E A --⎛⎫⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪ ⎪
--=--→→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，
方程组等价于：1323
0x x x x +=⎧⎨+=⎩。

取3x 为自由未知量，用它表示所有变量有：
132333,x x x x x x =-⎧⎪=-⎨⎪=⎩即1233111x x x x -⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪
=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭（3x 为任意常数），
故与特征值1λ=-对应的所有特征向量为111k -⎛⎫
⎪
- ⎪ ⎪⎝⎭
（k 为任意常数）。

还可以这样计算对应的特征向量：()0E A X --=的系数矩阵的秩为2， 故它的基础
解系中只含一个解向量，因此已知的特征向量ξ=（1,1，-1）T 就是()0E A X --=的基础
解系，故它的通解为111k ⎛⎫ ⎪
⎪ ⎪-⎝⎭
（k 为任意常数）。

本题答案的形式不唯一。

【点评】矩阵的特征值与特征向量是线性代数中重要的概念，有着广泛的应用，本题偏重考察概念。

而上面的20题，偏重考察计算（请回头看看）。

考试热度：☆☆☆☆。

26.设A =⎪⎪⎪
⎭
⎫
⎝⎛----2 2 1 1 1 2 1 2 1 1 2a ，试确定a 使r (A )=2.
【答案】0a =。

【解析】本题考查了矩阵秩的求法：先将矩阵化为行阶梯型矩阵，非零行的个数即为此矩
阵的秩。

2 1 1 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 2 1 2 1 1 2 0
3 3 1 1 2 2 1 2 1 a a ----⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-=--→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭ 20 3 3 2 1 1 2 2 1 1 2 20 3 3 20 3 3 20 3 3 2 0 0 a a ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭
--⎛⎫ ⎪→-→- ⎪ ⎪--⎝⎭, 0 a ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
所以该矩阵A 的秩为2，则0a =。

【点评】此题属于简单题，涉及内容是考试的热点，一般出现在填空和计算题中。

考试热度：☆☆☆☆☆。

四、证明题（本大题共1小题，6分）
27.若α1，α2，α3是Ax=b (b ≠0)的线性无关解，证明α2-αl ，α3-αl 是对应齐次线性方程组Ax =0的线性无关解.
【解析】本题考查的是关于向量组线性相关性的证明。

一般有反证法或者直接按定义结合
线性方程组解的理论来证明。

本题可用反证法来证明：
因为α1，α2，α3是Ax=b (b ≠0)的解，所以α2-αl ，α3-αl 是对应齐次线性方程组Ax =0
的解。

假设α2-αl ，α3-αl 是线性相关的，则)0(1
312≠=--k k αααα ，这样()()()001,3211312≠=-+--=-k k k k ααααααα ，由线性相关的定义知，α1，α2，
α 3 是线性相关的，这与已知“α1，α2，α3是Ax=b (b ≠0)的线性无关解”相矛盾，故假
设不成立，即α2-αl ，α3-αl 是对应齐次线性方程组Ax =0的线性无关解。

【点评】本题涉及内容是一个难点，这要求学员们对线性相关和线性无关的概念十分熟悉，
多总结一些证明这类题的方法。

此内容一般出现在填空和计算题中。

考试热度：☆☆☆☆。

（时间紧急，难免会有个别错误，请学员批评指正，谢谢大家的观看，祝大家都能顺利通
过考试！）。