高中数学： 极坐标方程 复习和巩固

极坐标方程
【学习目标】
1．能在极坐标系中用极坐标表示点的位置．
2．理解在极坐标系中和直角坐标系中表示点的区别，能进行极坐标和直角坐标的互化． 3．能在极坐标系中给出简单图形（如过极点的直线、过极点或圆心在极点的圆）的方程． 【要点梳理】
要点一、极坐标系和点的极坐标 1. 极坐标系定义
（1）在平面内取一定点O ，由点O 引出一条射线Ox ，并确定一个长度单位和度量角度的正方向（通常取逆时针方向），这就构成一个极坐标系，定点O 叫做极点，射线Ox 叫做极轴．
要点诠释：
①极点；②极轴；③长度单位；④角度单位和它的正方向，构成了极坐标系的四要素，缺一不可.
2. 点的极坐标 在极坐标系中，平面上任意一点P 的位置可以由OP 的长度ρ和从Ox 轴旋转到OP 的角度θ来确定，（ρ，θ）叫做点P 的极坐标，ρ叫做点P 的极径，θ叫做点P 的极角．极点的极坐标为（0，θ），其中θ可以取任何值． 要点诠释：
（1）极轴是以极点为端点的一条射线，它与极轴所在的直线是有区别的；极角θ的始边是极轴，它的终边随着θ的大小和正负而取得各个位置；θ的正方向通常取逆时针方向，θ的值一般是以弧度为单位的数量；点M 的极径ρ表示点M 与极点O 的距离|OM|，因此ρ≥0；但必要时，允许ρ＜0．
（2）在极坐标系中，与给定的极坐标（ρ，θ）相对应的点的位置是唯一确定的；反过来，同一个点的极坐标却可以有无穷多个．如一点的极坐标是（ρ，θ）（ρ≠0），那么这一点也可以表示为（ρ，2n θπ+）或（ρ-，(21)n θπ++）
（其中n 为整数）． 一般情况下，我们取极径ρ≥0，极角θ为0≤θ＜2π（或－π＜0≤π）．
如果我们规定ρ＞0，0≤θ＜2π，那么除极点外，平面内的点可用唯一的极坐标（ρ，θ）来表示，这时，极坐标与平面内的点之间就是一一对应的关系． 3．相关点的极坐标
（1）同一个点：如极坐标系中点4,
6π⎛
⎫ ⎪⎝
⎭，4,26π
π⎛⎫+ ⎪⎝⎭，4,46ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，4,66ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，4,26ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭
，由终边相同的角的定义可知上述点的终边相同，并且与极点的距离相等，这样，它们就表示平面上的同一个点，实际上，4,
26k π
π⎛
⎫+ ⎪⎝
⎭（k ∈Z ）都表示点4,6π⎛⎫
⎪⎝⎭
．于是我们有，一般地，极坐标（ρ，θ）与（ρ，
2k θπ+）
（k ∈Z ）表示平面内的同一个点．特别地，极点O 的坐标为（0，θ）（θ∈R ），也是平面内的同一个点，这样，我们就知道平面内的一个点的极坐标有无数多种表示． 这就是说：平面上的点与这一点的极坐标不是一一对应的． （2）位于同一个圆上的点：如极坐标分别为（4，0）、4,
6π⎛
⎫
⎪⎝
⎭
、4,
3π⎛⎫
⎪⎝
⎭
、4,
2π⎛⎫
⎪⎝
⎭
，但它们的极角不相等，也不再是终边相同的角，所有这些点在以极点为圆心，以4为半径的圆上，因而（ρ，θ）{这里ρ为定值，[0,2)θπ∈}点的轨迹就是以极点为圆心，以ρ为半径的圆．
（3）对称点：（ρ，θ）关于极轴的对称点为（ρ，2πθ-），关于极点的对称点为（ρ，πθ+），关于过极点且垂直于极轴的直线的对称点为（ρ，πθ-）．
（4）共线的点：如果极坐标为（ρ，θ），其中θ为常数，ρ＞0，则表示与极轴成θ角的射线． 4．极坐标系内两点间的距离公式
设极坐标系内两点111(,)P ρθ，222(,)P ρθ，则12||PP =
特例：当12θθ=，1212||||P P ρρ-=-． 要点二、极坐标与直角坐标的互化
1、平面内一点的极坐标与直角坐标互化的条件 ①极坐标系中的极点与直角坐标系中的原点重合； ②极坐标系中的极轴与直角坐标系中的x 轴正半轴重合； ③两种坐标系中长度单位相同
2、互化公式
如图，符合上述三条件的点P 的极坐标为(,)ρθ，直角坐标为(,)x y ，
这就是在两个坐标系下，同一个点的两种坐标间的互化关系.
要点诠释：
由2
2
2
x y ρ=+求ρ时，ρ不取负值；由tan (0)y
x x
θ=
≠确定θ时，根据点（x ，y ）所在的象限取正
角．当x ≠0时，θ角才能由tan y
x
θ=按上述方法确定．当x=0时，tan θ没有意义，这时又分三种情况：（1）当x=0，y=0时，θ可取任何值；
（2）当x=0，y ＞0时，可取2
π
θ=；（3）当x=0，y ＜0时，可取32πθ=． 要点三、曲线的极坐标方程 1．曲线的极坐标方程的概念
（1）一般地，在极坐标系中，如果平面曲线C 上任意一点的
极坐标中至少有一个满足方程(,)0f ρθ=，并且坐标适合方程(,)0f ρθ=的点都在曲线C 上，那么方程
(,)0f ρθ=称为曲线C 的极坐标方程．
在直角坐标系中，曲线可以用含有变量x 、y 的方程表示；同样地，在极坐标系中，曲线可以用含有ρ、
θ这两个变量的方程(,)0f ρθ=来表示，这种方程即为曲线的极坐标方程．
要点诠释： 在直角坐标系内，曲线上每一点的坐标一定适合它的方程，可是在极坐标系内，曲线上一点的所有坐标不一定都适合方程．例如给定曲线ρθ=，设点P 的一极坐标为,44ππ⎛⎫
⎪⎝
⎭，那么点P 适合方程ρθ=，从而是曲线上的一个点，但点P 的另一个极坐标9,44
ππ
⎛⎫
⎪⎝⎭
就不适合方程ρθ=了．所以在极坐标系内，确定某一个点P 是否在某一曲线C 上，只需判断点P 的极坐标中是否有一对坐标适合曲线C 的方程即可．
2. 求曲线极坐标方程的步骤．
①建立适当的极坐标系，设(,)P ρθ是曲线上任意一点．
②由曲线上的点所适合的条件，列出曲线上任意一点的极径ρ和极角θ之间的关系式． ③将列出的关系式进行整理、化简，得出曲线的极坐标方程．
④证明所得方程就是曲线的极坐标方程，若方程的推导过程正确，化简过程都是同解变形，证明可以省略．
要点诠释：
（1）求平面曲线的极坐标方程，就是要找极径ρ和极角θ之间的关系，常用解三角形（正弦定理、余弦定理）的知识，利用三角形的面积相等来建立ρ、θ之间的关系．
（2）今后我们遇到的极坐标方程多是()ρρθ=的形式，即ρ是θ的一个函数．
（3）由极坐标系中点的对称性可得到极坐标方程()ρρθ=的图形的对称性：若()()ρθρθ=-，则相应图形关于极轴对称；若()()ρθρπθ=-，则图形关于射线2
π
θ=
所在的直线对称；若
()()ρθρπθ=+，则图形关于极点O 对称．
3．圆的极坐标方程
（1）圆心在极轴上且过极点的圆
圆心在极轴上的点（a ，0）处，且圆过极点O （如图所示）．P 为圆与极轴的另一交点，(,)M ρθ为圆上的动点，连接OM 和MP ，由平面几何知识知OM ⊥MP ．在直角三角形OMP 中，由三角知识可得2cos a ρθ=．
坐标(,)ρθ满足此方程的点也在该圆上．因此，得该圆的方程为
2cos a ρθ=．
也可以先写出该圆的直角坐标方程，再化为极坐标方程．
如图所示，建立直角坐标系，在直角坐标系中，该圆的圆心为（a ，0），半径为a ，故圆的直角坐标方程为 (x －a)2
+y 2
=a 2
， 即 x 2
+y 2
=2ax ．
由坐标变换公式得 2
2cos a ρρθ=， 即 2cos a ρθ=．
这样就得到前面推导出的极坐标方程．
所以，方程2cos a ρθ=就是圆上任意一点极坐标(,)ρθ所满足的条件，另一方面，我们也可以验证，坐标适合方程2cos a ρθ=的点都在这个圆上． （2）圆心在极点的圆
如果已知⊙O 的半径为r ，我们可以以圆心为极点，以从圆心O 发出的一条射线为极轴建立极坐标系，那么圆上各点的特征是它们的极径都等于圆的半径r ，这时圆的极坐标方程为r ρ=（ρ∈R ）．
4．直线的极坐标方程
（1）过极点的直线的极坐标方程．
如图所示，直线AA ＇过极点且与极轴成的角为α，即直线AA ＇的极坐标方程为 θα=（ρ≥0）和θπα=+（ρ≥0）．
特别地，我们规定ρ为全体实数，那么该直线的极坐标方程就为θα=（ρ∈R ），或θαπ=+（ρ∈R ）．
（2）过点A （a ，0）（a ＞0）且垂直于极轴的直线l 的极坐标方程．
如图所示，设(,)M ρθ为直线l 上的除A 外的任意一点．连接OM ，则有△AOM 为直角三角形并且∠AOM=θ，|OA|=a ，|OM|=ρ，所以有||cos ||OM OA θ=． 即cos a ρθ=，化为直角坐标方程为x=a ．
（3）过点,
2A a π⎛⎫
⎪⎝
⎭
且平行于极轴所在直线的直线极坐标方程． 如图所示，设M 为直线上任意一点，其极坐标为(,)M ρθ，连接OM ，则有|OA|=a ，|OM|=ρ，
2AOM π
θ∠=
-，在直角三角形AOM 中，我们有||cos ||2OM OA πθ⎛⎫
⋅-= ⎪⎝⎭． ∴cos 2a πρθ⎛⎫
-=
⎪⎝⎭
，即sin a ρθ=，化为直角坐标方程为y=a ． 【典型例题】
类型一、极坐标系中的点的表示
例1． 写出右图中各点的极坐标（ρ＞0，0≤θ＜2π）．
【思路点拨】 根据极坐标定义：若M 是平面上任一点，ρ表示OM 的长度，θ表示以射线Ox 为始边，射线OM 为终边所成的角． 【解析】 由图可知： A （5，0），2,
6B π⎛⎫
⎪⎝
⎭
，4,
2C π⎛⎫
⎪⎝
⎭
，35,
4
D π⎛⎫ ⎪⎝
⎭，E （2，π），45,
3
F π
⎛⎫
⎪⎝⎭
，53.5,
3G π⎛
⎫ ⎪⎝
⎭
． 【总结升华】 本题考查了极坐标的定义，已知点在极坐标系中的位置，要准确写出它的极坐标，对应的极角可以限定一个范围，如[0，2π）．当ρ＞0时，每一点都对应唯一确定的一个极坐标． 举一反三：
【变式1】下列各点中与2,
6π⎛
⎫
⎪⎝
⎭
不表示极坐标中同一个点的是（ ）
． A ．112,6
π⎛⎫-
⎪⎝
⎭ B ．132,
6π⎛⎫ ⎪⎝⎭ C ．112,
6π
⎛⎫ ⎪⎝⎭ D ．232,6π⎛
⎫-
⎪⎝
⎭
【答案】C 。

由点的极坐标定义可得。

【变式2】 设点2,
3A π⎛
⎫
⎪⎝
⎭
，直线l 为过极点且垂直于极轴的直线，分别求点A 关于极轴、直线l 、极点的对称点的极坐标（限定0ρ>，πθπ-<≤）．
【答案】 如图所示． 关于极轴的对称点为2,3B π⎛⎫
-
⎪⎝
⎭
． 关于直线z 的对称点为22,3C π⎛
⎫ ⎪⎝⎭
． 关于极点D 的对称点为22,3D π⎛⎫- ⎪⎝
⎭
． 【变式3】．在极坐标系中，点(ρ,θ)与(-ρ, π-θ)的位置关系为( )。

A ．关于极轴所在直线对称 B ．关于极点对称 C ．关于直线θ=2
π
(ρ∈R) 对称 D ．重合
【答案】A 与点M(ρ,θ)关于极轴对称的点有(ρ,-θ)或(-ρ,π-θ)，关于θ=2
π
所在直线对称的点有(-ρ,-θ)或(ρ,π-θ)，关于极点对称的点有(-ρ,θ)或(ρ,π+θ)。

类型二、极坐标与直角坐标互化
例2．（1）将下列点的极坐标化成直角坐标：(2,)3
π
-
；(4,)π--。

（2）将下列各点的直角坐标化为极径为正，极角在[0,2)π之间的极坐标：；(2,--。

【思路点拨】依据直角坐标与极坐标的互化公式运算。

【解析】
（1）12cos()213
2x π
=⨯-
=⨯
=，2sin()3y π
=-=
所以极坐标系中点(2,)3
π
-
的直角坐标为(1,。

4cos()4(1)4x π=-⨯-=-⨯-=，2sin()200y π=⨯-=⨯=，
所以极坐标系中点(4,)π--的直角坐标为(4,0)。

（2）ρ==tan y x θ=
=
又点在第一象限，所以6
π
θ=
，
所以直角坐标系中点的极坐标为)6
π。

4ρ==，tan 2
y x θ-=
==-
又点(2,--在第三象限，所以43
π
θ=。

所以直角坐标系中点(2,--的极坐标为4(4,
)3
π。

【总结升华】把点M 的极坐标(,)ρθ化成直角坐标(,)x y 时，关键是依据关系式
222cos ,sin ,x y x y ρθρθρ===+，把极坐标方程中的,ρθ用,x y 表示。

把点M 的直角坐标(,)x y 化成极坐标(,)ρθ
时，关键是依据关系式tan ,0
y
x x ρθ⎧=⎪
⎨=≠⎪⎩
，且注意由tan y
x
θ=
求θ时，还须结合点(,)x y 所在的象限来确定θ的值，一般取02θπ≤<。

举一反三：
【变式1】点M
的直角坐标是(-，则点M 的极坐标为（ ）
A ．(2,
)3
π
B ．(2,)3π-
C ．2(2,)3π
D ．(2,2),()3k k Z π
π+∈
【答案】C 2(2,2),()3
k k Z π
π+∈都是极坐标
【变式2】将点M 的极坐标4(2,)3
π
化为直角坐标。

【答案】41
2cos
2()132
x π==⨯-=-
，42sin 2(32y π==⨯-= ∴点4(2,
)3
π
的直角坐标为(1,- 【变式3】 （1）把点M 的极坐标28,
3
π⎛⎫
⎪⎝⎭
化成直角坐标； （2）把点M 的直角坐标（1，－1）化成极坐标． 【答案】（1）28cos
43x π==-
，28sin 3
y π
== ∴点M
的直角坐标是(4,-．
（2）应用极坐标与直角坐标的互化关系可得：
ρ=
= 1
tan 11
y x θ-=
==-． ∴7
4
θπ=
（点M 在第四象限）． ∴点M
的极坐标为74π⎫⎪⎭
． 【变式4】在极坐标系中，已知三点(2,)3M π
-
，(2,0)N
，)6
P π
， （1）将,,M N P 三点的极坐标化为直角坐标；（2）判断,,M N P 三点是否在同一直线上.
【答案】（1）(1,M ，N(2,0)，(3P
（2）MN NP k k =,所以三点共线. 类型三、圆的极坐标方程 例3. 求圆心在32,
2
A π⎛
⎫
⎪⎝
⎭
处并且过极点的圆的极坐标方程．
【思路点拨】 如图所示，设(,)M ρθ为圆上除O 、B 外的任意一点，连接OM 、MB ，则在Rt △BOM 中，由|OM|=|OB|·cos ∠MOB ，即可得ρ、θ的关系．本题亦可以先求直角坐标系中的方程，再化为极坐标方程．
【解析】如图所示，设(,)M ρθ为圆上除O 、B 外的任意一点，连OM 、MB ，则有OB=4，OM=ρ，
32MOB θπ∠=-．2
BMO π
∠=，从而△BOM 为直角三角形，所以有|OM|=|OB|cos ∠MOB ，
即34cos 4sin 2ρθπθ⎛⎫
=-
=- ⎪⎝⎭
． 【总结升华】与求圆的直角坐标方程相比，求它的极坐标方程比球直角坐标更加简便，因为在极坐标系中圆上的点的坐标ρ、θ所满足的条件更加容易表示，代数变换也更加直接，有时为了求极坐标方程，也可以先求出相应的直角坐标方程，再利用cos x ρθ=，sin y ρθ=代换，也较为方便．
举一反三：
【变式1】在极坐标系中，圆心在(),2π且过极点的圆的方程为（ ） (A) θρcos 22= (B)θρcos 22-= (C)θρsin 22= (D)θρsin 22-=
【答案】B
【变式2】在平面直角坐标系中，以点(1,1)为半径的圆在以直角坐标系的原点为极点， 以Ox 轴为极轴的极坐标系中对应的极坐标方程为 （ ）
A ．)4π
ρθ=-
B ．)4
π
ρθ=-
C ．1)ρθ=-
D ．1)ρθ=- 【答案】B
圆的直角坐标方程为2
2
(1)(1)2x y -+-=，
化为 极坐标方程为2
2
(cos 1)(sin 1)2ρθρθ-+-=，[)]04
π
ρρθ--
=，
∵曲线)04
π
ρθ--=也过极点，
∴[)]04π
ρρθ--
=与)04
π
ρθ--=等价，
∴对应的极坐标方程为)4
π
ρθ=-
.
【变式3】在极坐标系中，半径为1的圆C 的圆心坐标为(3,
)6
C π
，求圆C 的极坐标方程；
【答案】法一：（1）设(,)P ρθ在圆上，则||1PC =，||OP ρ=，||3OC =，||6
POC π
θ∠=-，
由余弦定理得2
1923cos ||6
π
ρρθ=+-⋅⋅-
即2
6cos()806
π
ρρθ--
+=，为圆的极坐标方程。

法二：（1）圆心(3,
)6
C π
的直角坐标为3
(
)22
，
则符合条件的圆方程为223
(()12x y -
+-=，
∴圆的极坐标方程：223
(cos (sin )12
ρθρθ+-=
整理得2
cos 3sin )80ρθρθ-++=，
即2
6cos()806
π
ρρθ--
+=.
类型四、直线的极坐标方程
例4. （2016 海淀区校级模拟）在极坐标系中，直线l 的方程为
sin +=42πρθ（） ，则点A （2，-4
π
）到直线l 的距离是（ ）
A ． B. 2
C. 2-2
D. 2+2 【答案】B
【解析】直线方程为sin
+=4
2π
ρθ（），展开化为：sin +cos =22
ρθρθ（），
可得直角坐标方程为：x+y=1，
则点A （2，-
4
π
）化为A （2cos （-
4
π
），2sin （-
4
π
）），即A ，，
所以点A 到这条直线的距离 ，故选B 。

举一反三：
【变式1】求适合下列条件的直线的极坐标方程： （1）过极点，倾斜角是
3
π； （2）过点(5,)4P π
，并且和极轴垂直。

【答案】
（1）由图知，所求的极坐标方程为()3
R π
θρ=
∈；
（2）法一：由图知，所求直线的方程为cos 5cos
4
π
ρθ=
，即cos ρθ=
.
法二：由图知，所求直线的方程为x
，即cos ρθ. 【变式2】求（1）过点)4
,2(π
A 平行于极轴的直线。

（2）过点)3
,
3(πA 且和极轴成
4
3π
角的直线。

【答案】（1）在直线l 上任取一点),(θρM ，因为)4
,2(π
A ，所以|MH|=224
sin
=⋅π
在直角三角形MOH 中|MH|=|OM|sin θ即2sin =
θρ，所以过点)4
,2(π
A 平行于极轴的直线为
2sin =θρ。

（2）设M ),(θρ为直线l 上一点。

)3
,
3(π
A ， OA =3，3
π
=
∠AOB
由已知4
3π=∠MBx ，所以125343π
ππ=-=∠OAB ，所以127125πππ=
-=∠OAM 又θπ
θ-=
-∠=∠4
3MBx OMA 在∆MOA 中，根据正弦定理得 12
7sin
)43sin(3πρ
θπ=
- 又426)34sin(127sin
+=+=πππ 将)4
3sin(θπ
-展开化简可得23233)cos (sin +=
+θθρ 所以过)3
,3(π
A 且和极轴成
4
3π
角的直线为：23233)cos (sin +=+θθρ
类型五、 极坐标方程与直线坐标方程互化
例5. 将下列各题进行直角坐标方程与极坐标方程的互化。

（1）x y 42= （2）3
π
θ=
（3）12
cos 2
=θ
ρ （4）42cos 2=θρ
【解析】（1）将θρθρsin ,cos ==y x 代入x y 42=得θρθρcos 4)sin (2=化简得
θθρsin 4sin 2=
（2）∵x y =
θtan ∴ 33tan ==x y
π 化简得：)0(3≥=x x y （3）∵12cos 2=θρ ∴ 12
cos 1=+θ
ρ。

即2cos =+θρρ 所以 222=++x y x 。

化简得 )1(42--=x y 。

（4）由42cos 2=θρ 即4)sin (cos 222=-θθρ 所以 422=-y x 【总结升华】
（1）互化公式是有三个前提条件的，即极点与直角坐标系的原点重合、极轴与直角坐标系的横轴的
正半轴重合，两种坐标系的长度单位相同．
（2）由直角坐标求极坐标时，理论上不是唯一的，但这里约定只在0≤θ＜2π范围内求值． （3）将直角坐标方程化为极坐标方程最后要注意化简．
（4）将极坐标方程化为直角坐标方程时要注意变形的等价性，通常总要用ρ去乘方程的两端，应该
检查极点是否在曲线上，若在，是等价变形，否则，不是等价变形．
举一反三：
【变式1】极坐标方程cos 2sin 2ρθθ=表示的曲线为 （ ） A ．一条射线和一个圆 B ．两条直线 C ．一条直线和一个圆 D ．一个圆 【答案】C
2cos 4sin cos ,cos 0,4sin ,4sin ρθθθθρθρρθ====或即 则,2
k π
θπ=+
或224x y y +=
【变式2】如图，极坐标方程ρ=asin θ(a>0)所表示的曲线的图形是( )
【答案】C
如果没有记住它的图形，不妨化其为直角坐标方程:ρ=asin θ，ρ2
=ρasin θ,x 2
+y 2
=ay,x 2
+(y-2
a )2=42
a ,图
形显然是以(0,
2a )为圆心，2
a
为半径的圆.选C.
【高清课堂：极坐标方程406449例题3】
【变式3】 （1）把下列极坐标方程化为直角坐标方程，并判断图形的形状．
①2cos (0)a a ρθ=>； ②9(sin cos )ρθθ=+； ③4ρ=；④2cos 3sin 5ρθρθ-=． 【答案】 ①2cos a ρθ=两边同时乘ρ得2
2cos a ρρθ=， 即 x 2
+y 2
=2ax ．
整理得 x 2
+y 2
－2ax=0，即 (x －a)2
+y 2
=a 2
． 它是以（a ，0）为圆心，以a 为半径的圆．
②两边同时乘ρ得2
9(sin cos )ρρθθ=+，即x 2
+y 2
=9x+9y ，又可化为
22
9981222x y ⎛
⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，它是以99,22⎛⎫ ⎪⎝⎭ ③将ρ=4两边平方得ρ2
=16，即x 2
+y 2
=16．
它是以原点为圆心，以4为半径的圆．
④2cos 3sin 5ρθρθ-=，即2x －3y=5，是一条直线． 【高清课堂：极坐标方程406449例题2】 【变式4】将下列直角坐标方程化为极坐标方程．
① x 2+(y －2)2=4； ②x 2+y 2=4x ； ③x+y=2； ④x=2．
【答案】①x 2+(y －2)2=4可化为x 2+y 2=4y ．
代入cos x ρθ=，sin y ρθ=得2
4sin 0ρρθ-=，即4sin ρθ=．
②代入sin y ρθ=，cos x ρθ=得2
4cos ρρθ=，即4cos ρθ=．
③cos sin 2ρθρθ+=． ④cos 2ρθ=．
【变式5】已知圆的极坐标方程是05)sin 3(cos 22
=-++θθρρ，求直线0=θ被圆截得的弦长.
【答案】圆的普通方程是：22
(1)(9x y +++=，与直线0y =的交点为1,0)，(1,0)，
所以弦长为.
【变式6】已知直线的极坐标方程为sin 42
πρθ⎛⎫
+
= ⎪⎝
⎭，求点A （2，74π）到这条直线的距离．
【答案】sin()4
π
ρθ+
=
(sin cos cos sin )44ππρθθ+=
即sin cos 1ρθρθ+=，利用极坐标与直角坐标的互化公式222cos sin x x x y ρθρθρ⎧=⎪
=⎨⎪+=⎩
得直线的直角坐标方程为
1x y +=，即10x y +-=。

点A （2，74π
）化为直角坐标为72cos 4
72sin 4
x x ππ⎧
==⎪⎪⎨⎪==⎪⎩，点A
的直角坐标为，利用点00(,)
P x y 到直线0Ax By C ++=的距离公式
d =
，得点A （2，
74π
）到这条直线的距离为2d ==。

类型六、 极坐标方程的综合应用
例6（2016 兰州模拟）在极坐标系中，已知圆C 的圆心C （，
），半径r=
．
（Ⅰ）求圆C 的极坐标方程； （Ⅱ）若α∈[0，
），直线l 的参数方程为
（t 为参数），直线l 交圆C 于A 、B 两点，求
弦长|AB|的取值范围．
【思路点拨】（Ⅰ）先利用圆心坐标与半径求得圆的直角坐标方程，再利用ρcosθ=x ，ρsinθ=y ，ρ2=x 2+y 2，进行代换即得圆C 的极坐标方程.
（Ⅱ）设A ，B 两点对应的参数分别为t 1，t 2，则|AB|=|t 1﹣t 2|，化为关于α的三角函数求解． 【解析】（Ⅰ）∵C （
，
）的直角坐标为（1，1），
∴圆C 的直角坐标方程为（x ﹣1）2+（y ﹣1）2=3． 化为极坐标方程是ρ2﹣2ρ（cosθ+sinθ）﹣1=0 （Ⅱ）将
代入圆C 的直角坐标方程（x ﹣1）2+（y ﹣1）2=3，
得（1+tcosα）2+（1+tsinα）2=3， 即t 2+2t （cosα+sinα）﹣1=0． ∴t 1+t 2=﹣2（cosα+sinα），t 1•t 2=﹣1． ∴|AB|=|t 1﹣t 2
|==2
．
∵α∈[0，
），∴2α∈[0，
），
∴2≤|AB|＜2．
即弦长|AB|的取值范围是[2，2）
【总结升华】极坐标问题利用直角坐标与极坐标间的关系，即利用ρcosθ=x ，ρsinθ=y ，ρ2=x 2+y 2，进行代换即可．
举一反三：
【变式1】在极坐标系中，(4,
)9
A π
，5(1,
)18
B π
，则△AOB 的面积是________。

【答案】51896
AOB πππ∠=-=， ∴11||||sin 41sin 1226
AOB S AO BO AOB π
∆=
⋅⋅⋅∠=⋅⋅⋅=。

【变式2】极坐标方程分别是cos ρθ=和sin ρθ=的两个圆的圆心距是（ ）
A ．2
B
C ．1
D ．2
【答案】D
法一:在极坐标系中，两圆的圆心坐标分别为1
(,0)2
与1(,
)22
π
,由此求得圆心距为22. 法二:将极坐标方程化成直角坐标方程x 2+y 2=x 和x 2+y 2
=y ，它们的圆心分别是1(,0)2，1(0,)2
，
由此求得圆心距为
2
2. 【变式3】（2016 湖南二模）极坐标系与直角坐标系xoy 有相同的长度单位，以原点为极点，以x 轴正半轴为极轴，已知曲线C 1的极坐标方程为ρ=4cosθ，曲线C 2的参数方程为（t 为参数，0≤α＜
π），射线θ=φ，θ=φ+，θ=φ﹣与曲线C 1交于（不包括极点O ）三点A 、B 、C ．
（I ）求证：|OB|+|OC|=|OA|；
（Ⅱ）当φ=
时，B ，C 两点在曲线C 2上，求m 与α的值．
【解析】（Ⅰ）依题意，|OA|=4cosφ，|OB|=4cos （φ+），|OC|=4cos （φ﹣
），
则|OB|+|OC|=4cos （φ+）+4cos （φ﹣
）=2
（cosφ﹣sinφ）+2（cosφ+sinφ）=4
cosφ，
=
|OA|．
（Ⅱ）当φ=时，B ，C 两点的极坐标分别为（2，
），（2，﹣）．
化为直角坐标为B （1，），C （3，﹣）． C 2是经过点（m ，0），倾斜角为α的直线， 又经过点B ，C 的直线方程为y=﹣（x ﹣2），故直线的斜率为﹣，
所以m=2，α=
．
【变式4】已知定角(0)2
AOB π
αα∠=<<
，点P 在OA 上，点Q 在OB 上，
且△POQ 的面积为8，设PQ 中点为M ，求|OM|的最小值。

【答案】以O 为极点，OB 为极轴建立极坐标系。

设1(,)P ρα，2(,0)Q ρ，(,)M ρθ， 由题意得
121sin 82ρρα=，即1216
sin ρρα
=。

又11sin()42POM S ρραθ∆=
-=，21
sin 42
QOM S ρρθ∆==。

两式相乘得2
12sin sin()64ρρρθαθ-=，
所以2
4sin 8sin sin sin()cos(2)cos αα
ρθαθθαα
=
=---。

所以当cos(2)1θα-=时，2
ρ有最小值
8sin 1cos α
α
-。

所以|OM|的最小值为
【巩固练习】
一、选择题
1. （2016春 衡阳县校级期末）点M 的直角坐标是- ，则点M 的极坐标为（ ）
A.3π（2，）
B. -3
π
（2，）
C. 23
π（2，） D. k +k 3
π
π∈（2，2），Z 2. 极坐标ρ=cos(
θπ
-4
)表示的曲线是
A.双曲线
B.椭圆
C.抛物线
D.圆
3．（2016春 宁夏校级期中）化极坐标方程ρ2cosθ﹣ρ=0为直角坐标方程为（ ） A ．x 2+y 2=0或y=1 B ．x=1 C ．x 2+y 2=0或x=1 D ．y=1 4．在极坐标系中，已知△ABC 三顶点坐标分别为4,
2A π⎛
⎫
⎪⎝
⎭
、73,
6B π⎛⎫ ⎪⎝⎭、113,
6C π
⎛⎫
⎪⎝
⎭
，则△ABC 的形状为（ ）．
A ．等边三角形
B ．等腰三角形
C ．直角三角形
D ．钝角三角形
5. 在平面直角坐标系中，以点(1,1)为半径的圆在以直角坐标系的原点为极点， 以Ox 轴为极轴的极坐标系中对应的极坐标方程为（ ）
A ．)4π
ρθ=-
B ．)4
π
ρθ=-
C ．1)ρθ=-
D ．1)ρθ=- 6．直线1:sin()l a ρθα+=和2:2
l π
θα=
-的位置关系是（ ）．
A ．12//l l
B ．12l l ⊥
C ．1l 和2l 重合
D ．1l 和2l 斜交
7. 在极坐标系中，与圆ρ=4sinθ相切的直线的方程是
A.ρsinθ=2
B.ρcosθ=2
C.ρcosθ=4
D.ρcosθ=-4 二、填空题
8. 设曲线的普通方程为2
2
2
x y R +=,则它的极坐标方程为 .
9．（2016 河东区一模）在极坐标系中，直线ρsin （θ+）=2被圆ρ=4截得的弦长为 ．
10．曲线θ=0，3
π
θ=
（ρ≥0）和ρ=4所围成的面积是________．
11.（2016 北京高考）在极坐标系中，直线cos sin -1=0ρθθ与圆=2cos ρθ交于A ，B 两点，则丨AB 丨=______. 三、解答题
12．（2016 包头校级一模）已知在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程是（t 是参
数），以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标，曲线C 的极坐标方程．
（Ⅰ）判断直线l 与曲线C 的位置关系；
（Ⅱ）设M 为曲线C 上任意一点，求x+y 的取值范围．
13. 在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴为极轴建立坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρcos （3
π
θ-）
=1，M,N 分别为C 与x 轴，y 轴的交点。

（Ⅰ）写出C 的直角坐标方程，并求M,N 的极坐标； （Ⅱ）设MN 的中点为P ，求直线OP 的极坐标方程。

14. 在平面直角坐标系中，已知点A(3,0)，P 是圆x 2+y 2=1上一个动点，且∠AOP 的平分线交PA 于Q 点，求Q
点的轨迹的极坐标方程.
【答案与解析】
1.【答案】C
【解析】由于222
=x +y ρ，2
=4=2ρρ，，由cos x ρθ=，得1cos =-2θ ，结合点在第二象限得，2=3
π
θ，则点M 的极坐标为23
π
（2，）
，故选C 。

2. 【答案】D
【解析】原极坐标方程化为ρ=
2
1(cosθ+sinθ)⇒22ρ=ρcosθ+ρsinθ，
∴普通方程为
2(x 2+y 2)=x+y ，表示圆.
3.【答案】C
【解析】∵ρ2cosθ﹣ρ=0， ∴ρcosθ﹣1=0或ρ=0，
∵，
∴x 2+y 2=0或x=1故选C
4．【答案】B
【解析】 由两点间距离公式得：||AB =
=
||BC ==
||CA ==
∴|AB|=|CA|，∴△ABC 为等腰三角形。

故选B 。

5. 【答案】A
【解析】圆的直角坐标方程为2
2
(1)(1)2x y -+-=，
化为 极坐标方程为2
2
(cos 1)(sin 1)2ρθρθ-+-=，[)]04
π
ρρθ--=，
∵曲线)04
π
ρθ--=也过极点，
∴[)]04π
ρρθ--
=与)04
π
ρθ--=等价，
∴对应的极坐标方程为)4
π
ρθ=-.
6．【答案】B
【解析】 对于1l 可化为sin cos x y a αα+=，1sin cos k α
α
=-
，对于2l 可化为: cos sin 0x y αα-=，2cos sin k α
α
=
，∴12l l ⊥。

故选B 。

7. 【答案】B
【解析】如右图.
⊙C 的极坐标方程为ρ=4sinθ，CO ⊥OX,OA 为直径，｜OA ｜=4,l 和圆相切，
l 交极轴于B(2，0)点P(ρ,θ)为l 上任意一点，则有 cosθ=
ρ
2
=
OP
OB ，得ρcosθ=2，
∴应选B.
8. 【答案】R ρ=。

【解析】用cos ,sin x y ρθρθ==代入即得. 9.【答案】4
【解析】∵ρsin （θ+
）=2，
∴ρsinθ+ρcosθ=2，化成直角坐标方程为： x+y ﹣2=0，
圆ρ=4化成直角坐标方程为x 2+y 2=16，
圆心到直线的距离为：
∴截得的弦长为： 2×
=
．
10．【答案】
83
π
【解析】 4ρ=表示以原点为圆心，4为半径的圆。

即x 2
+y 2
=42
， 3
π
θ=(0)ρ≥表示过原点倾
斜角为
3
π
的直线，0θ=表示x 轴的正半轴。

如答图，所求面积为扇形OAB 的面积。

∴2211842233
S R ππ
α=
=⨯⨯=。

11. 【答案】2
【解析】分别将直线方程和圆方程化为直角坐标方程：直线为-10x =，过圆（x-1）2+y 2=1的圆心，因此丨AB 丨=2，故填：2.
12.【解析】（Ⅰ）由，消去t 得：y=x+．
由，得
，即，
∴
，即
．
化为标准方程得：
．
圆心坐标为
，半径为1，圆心到直线x ﹣y+=0的距离d=＞1．
∴直线l 与曲线C 相离；
（Ⅱ）由M 为曲线C 上任意一点，可设，
则x+y=sinθ+cosθ=， ∴x+y 的取值范围是
．
13. 【解析】
（Ⅰ）由得1)3cos(=-πθρ1)sin 2
3
cos 21(=+
θθρ 从而C 的直角坐标方程为
)2
,332(3322)0,2(202
312321π
ρπ
θρθN M y x y x ，所以时，，所以时，即=
=
===+=+
（Ⅱ）M 点的直角坐标为（2，0）
N 点的直角坐标为)33
2,
0( 所以P 点的直角坐标为
),6,332(),33.
1(π点的极坐标为则P
所以直线OP 的极坐标方程为(),,6
π
ρρ=
∈-∞+∞
14. 【解析】先建系,再由面积求
.
以圆心O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，设Q(ρ,θ),P(1,2θ). ∴S △OAQ +S △OQP =S △OAP .
∴
21·3ρsinθ+21ρsinθ=2
1
·3·1·sin2θ. 整理得ρ=2
3
cosθ.。