北师大版2018-2019学年九年级(上)期末数学模拟试卷附答案

2018-2019学年九年级（上）期末数学模拟试卷
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．由4个相同的小立方体搭成的几何体如图所示，则它的主视图是（）
A．B．C．D．
2．在下列网格中，小正方形的边长为1，点A、B、O都在格点上，则∠A的正弦值是（）
A．B．C．D．
3．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，过B，C两点的⊙O交AC于点D，交AB于点E，连接EO并延长交⊙O于点F，连接BF，CF，若∠EDC=135°，CF=2，则AE2+BE2的值为（）
A．8B．12C．16D．20
4．若P1（x1，y1），P2（x2，y2）是函数y=图象上的两点，当x1＞x2＞0时，下列结论正确的是（）
A．0＜y1＜y2B．0＜y2＜y1C．y1＜y2＜0D．y2＜y1＜0
5．△ABC与△A′B′C′是位似图形，且△ABC与△A′BC′的位似比是2：3，那么这两个相似三角形面积的比是（）
A．2：3B．：C．4：9D．8：27
6．下列方程：①2x2﹣1=0，②3x2=﹣3，③x2+5x﹣7=0，④2x2+3x+8=0．无实数根的是
（）
A．①②③④B．①③C．②④D．②③④
7．有一块直角边AB=3cm，BC=4cm的Rt△ABC的铁片，现要把它加工成一个正方形（加工中的损耗忽略不计），则正方形的边长为（）
A．B．C．D．
8．已知：如图，⊙O的直径CD垂直于弦AB，垂足为P，且AP=4cm，PD=2cm，则⊙O 的半径为（）
A．4cm B．5cm C．4cm D．2cm
9．在一次初三学生数学交流会上，每两名学生握手一次，统计共握手253次．若设参加此会的学生为x名，据题意可列方程为（）
A．x（x+1）=253B．x（x﹣1）=253
C．D．
10．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，对称轴是直线x=1，下列结论：①ab ＜0；②b2＞4ac③a+b+c＜0；④2a+b+c=0，其中正确的是（）
A．①④B．②④C．①②③D．①②③④
二．填空题（共4小题，满分16分，每小题4分）
11．（4分）若m是方程2x2﹣3x﹣1=0的一个根，则6m2﹣9m+2016的值为．12．（4分）如图，在△ABC中，D为AB边上一点，△CBD∽△ACD，AD=6，BD=9，那么AC的长等于．
13．（4分）把二次函数y=x2﹣2x+3的图象绕原点旋转180°后得到的图象的函数解析式为．
14．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，以顶点C为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC，BC于点E，F，再分别以点E，F为圆心，大于EF的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线CP交AB于点D．若BD=3，AC=10，则△ACD的面积是．
三．解答题（共6小题，满分54分）
15．（12分）（1）计算：（π﹣5）0+cos45°﹣|﹣3|+（）﹣1
（2）解方程：x2﹣6x+8=0
16．（6分）先化简，再求值：（1﹣）÷，从﹣1，0，1，2中选择一个适
当的数作为x的值代入．
17．（8分）已知：如图，斜坡AP的坡度为1：2.4，坡长AP为26米，在坡顶A处的同一水平面上有一座古塔BC，在斜坡底P处测得该塔的塔顶B的仰角为45°，在坡顶A处测得该塔的塔顶B的仰角为76°．求：
（1）坡顶A到地面PQ的距离；
（参考数据：sin76°≈0.97，cos76°≈0.24，tan76°≈4.01）（2）古塔BC的高度（结果精确到1米）．
18．（9分）某校为了解九年级男同学的体育考试准备情况，随机抽取部分男同学进行了1000米跑步测试，按照成绩分为优秀、良好、合格与不合格四个等级，并绘制了如图不完整的统计图．
（1）根据给出的信息，求扇形统计图中a和b的值，并补全条形统计图；
（2）该校九年级有600名男生，请估计成绩未达到良好有多少名？
（3）某班甲、乙两位成绩优秀的同学被选中参加即将举行的学校运动会1000米比賽，预赛分别为A、B、C三组进行，选手由抽签确定分组．甲、乙两人恰好分在同一组的概率是多少？
19．（9分）如图，一次函数y=kx+2的图象与反比例函数y=的图象在第一象限的交点于P，函数y=kx+2的图象分别交x轴、y轴于点C、D，已知△OCD的面积S△OCD=1，OA=2OC
（1）点D的坐标为；
（2）求一次函数解析式及m的值；
（3）写出当x＞0时，不等式kx+2＞的解集．
20．（10分）如图，在直角三角形ABC中，∠ACB=90°，点H是△ABC的内心，
AH的延长线和三角形ABC的外接圆O相交于点D，连结DB．
（1）求证：DH=DB；
（2）过点D作BC的平行线交AC、AB的延长线分别于点E、F，已知CE=1，圆O的直径为5．
①求证：EF为圆O的切线；
②求DF的长．
四．填空题（共5小题，满分20分，每小题4分）
21．（4分）已知关于x的方程x2﹣3x﹣7=0的两个根分别为x1、x2，则x12x2+x1x22=．22．（4分）如图，正六边形内接于⊙O，小明向圆内投掷飞镖一次，则飞镖落在阴影部分的概率是．
23．（4分）点A在双曲线y=上，点B在双曲线y=（k≠0）上，AB∥x轴，分别过点A、B向x轴作垂线，垂足分别为D、C，若矩形ABCD的面积是6，则k的值为．
24．（4分）函数y=（x﹣1）2+4的对称轴是，顶点坐标是，最小值是．25．（4分）如图，正方形ABCD中，AD=4，E在AB上且AB=4BE，连接CE，作BF⊥CE 于F，正方形对角线交于O点，连接OF，将△COF沿CE翻折得△CGF，连接BG，则BG的长为．
五．解答题（共3小题，满分30分）
26．（8分）某商店经营一种小商品，进价是每件40元．据市场调查，销售价是60元时，平均每星期的销售量是300件．而销售价每降价1元，平均每星期的期就多售出30件．
（1）假定每件商品降价x元，商店每星期的销售量是y件，请写出y与x之间的函数关系式（请直接写出结果）；
（2）每件小商品销售价是多少元时，商店每星期销售这种小商品的利润吸最大？最大利润是多少？
27．（10分）如图1，在等腰Rt△ABC中，∠BAC=90°，点E在AC上（且不与点A、C重合），在△ABC的外部作等腰Rt△CED，使∠CED=90°，连接AD，分别以AB，AD为邻边作平行四边形ABFD，连接AF．
（1）求证：△AEF是等腰直角三角形；
（2）如图2，将△CED绕点C逆时针旋转，当点E在线段BC上时，连接AE，求证：AF=AE；
（3）如图3，将△CED绕点C继续逆时针旋转，当平行四边形ABFD为菱形，且△CED 在△ABC的下方时，若AB=2，CE=2，求线段AE的长．
28．（12分）如图，抛物线y=ax2+bx+c经过点A（2，﹣3），且与x轴交点坐标为（﹣1，0），（3，0）
（1）求抛物线的解析式；
（2）在直线AB下方抛物线上找一点D，求出使得△ABD面积最大时点D的坐标；（3）点M在抛物线上，点N在抛物线的对称轴上，是否存在以点A，B，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案
AACAC
3．解：∵四边形BCDE内接于⊙O，且∠EDC=135°，
∴∠EFC=∠ABC=180°﹣∠EDC=45°，
∵∠ACB=90°，
∴△ABC是等腰三角形，
∴AC=BC，
又∵EF是⊙O的直径，
∴∠EBF=∠ECF=∠ACB=90°，
∴∠BCF=∠ACE，
∵四边形BECF是⊙O的内接四边形，
∴∠AEC=∠BFC，
∴△ACE≌△BFC（ASA），
∴AE=BF，
∵Rt△ECF中，CF=2、∠EFC=45°，
∴EF2=16，
则AE2+BE2=BF2+BE2=EF2=16，
4．解：把点P1（x1，y1）、P2（x2，y2）代入y=得y1=，y2=，则y1﹣y2=﹣=，
∵x1＞x2＞0，
∴x1x2＞0，x2﹣x1＜0，
∴y1﹣y2=＜0，
即y1＜y2．
CDBDC
7．解：如图，过点B作BP⊥AC，垂足为P，BP交DE于Q．
∵S△ABC=AB•BC=AC•BP，
∴BP===．
∵DE∥AC，
∴∠BDE=∠A，∠BED=∠C，
∴△BDE∽△BAC，
∴．
设DE=x，则有：，
解得x=，
8．解：连结OA，如图，设⊙O的半径为R，
∵CD⊥AB，
∴∠APO=90°，
在Rt△OAP中，∵OP=OD﹣PD=r﹣2，OA=r，AP=4，∴（r﹣2）2+42=r2，解得r=5，
即⊙O的半径为5cm．
选：B．
11．2019．
12．3．
13．y=﹣x2﹣2x﹣3．
14．解：如图，过点D作DQ⊥AC于点Q，
由作图知CP是∠ACB的平分线，
∵∠B=90°，BD=3，
∴DB=DQ=3，
∵AC=10，
∴S△ACD=•AC•DQ=×10×3=15，
15．（1）解：原式=1+×﹣3+2
=1+1﹣3+2
=1
（2）解：（x﹣2）（x﹣4）=0
x﹣2=0或x﹣4=0
x1=2，x2=4
16．解：原式=•=，
当a=﹣1时，原式=．
17．解：（1）过点A作AH⊥PQ，垂足为点H．∵斜坡AP的坡度为1：2.4，∴=，
设AH=5km，则PH=12km，
由勾股定理，得AP=13km．
∴13k=26m．解得k=2．
∴AH=10m．
答：坡顶A到地面PQ的距离为10m．
（2）延长BC交PQ于点D．
∵BC⊥AC，AC∥PQ，
∴BD⊥PQ．
∴四边形AHDC是矩形，CD=AH=10，AC=DH．∵∠BPD=45°，
∴PD=BD．
设BC=x，则x+10=24+DH．∴AC=DH=x﹣14．
在Rt△ABC中，tan76°=，即≈4.0，
解得x=，即x≈19，
答：古塔BC的高度约为19米．
18．解：（1）抽取的学生数：16÷40%=40（人）；抽取的学生中合格的人数：40﹣12﹣16﹣2=10，
合格所占百分比为10÷40=25%，即a=25
优秀人数所占百分比为12÷40=30%，即b=30，
如图所示：
（2）估计成绩未达到良好有600×（5%+25%）
=180（名）；
（3）如图：
，
可得一共有9种可能，甲、乙两人恰好分在同一组的有3种，所以甲、乙两人恰好分在同一组的概率=．
19．解：（1）当x=0时，y=kx+2=2，则D（0，2），
答案为（0，2）；
（2）∵S△OCD=1，
∴OD•OC=1，
∴OC=1，
∴C（﹣1，0），
把C（﹣1，0）代入y=kx+2得﹣k+2=0，解得k=2，
∴一次函数解析式为y=2x+2；
∵OA=2OC=2，
∴P点的横坐标为2，
当x=2时，y=2x+2=6，
∴P（2，6），
把P（2，6）代入y=，
∴m=2×6=12；
（3）不等式kx+2＞的解集为x＞2．
20．解：（1）证明：连接HB，
∵点H是△ABC的内心，
∴∠DAC=∠DAB，∠ABH=∠CBH，
∵∠DBC=∠DAC，
∴∠DHB=∠DAB+∠ABH=∠DAC+∠CBH，∵∠DBH=∠DBC+∠CBH，
∴∠DHB=∠DBH，
∴DH=DB；
（2）①连接OD，
∵∠DOB=2∠DAB=∠BAC
∴OD∥AC，
∵AC⊥BC，BC∥EF，
∴AC⊥EF，
∴OD⊥EF，
∵点D在⊙O上，
∴EF是⊙O的切线；
②过点D作DG⊥AB于G，
∵∠EAD=∠DAB，
∴DE=DG，
∵DC=DB，∠CED=∠DGB=90°，
∴△CDE≌△BDG，
∴GB=CE=1，
在Rt△ADB中，DG⊥AB，
∴∠DAB=∠BDG，
∵∠DBG=∠ABD，
∴△DBG∽△ABD，
∴，
∴DB2=AB•BG=5×1=5，
∴DB=，DG=2，
∴ED=2，
∵H是内心，
∴AE=AG=4，
∵DO∥AE，
∴△OFD∽△AFE，
∴，
∴，
∴DF=．
21．﹣21．
22．解：如图所示：连接OA，
∵正六边形内接于⊙O，
∴△OAB，△OBC都是等边三角形，∴∠AOB=∠OBC=60°，
∴OC∥AB，
∴S△ABC=S△OBC，
∴S
，
阴=S扇形OBC
则飞镖落在阴影部分的概率是；
答案为：．
23．9．
解：设A（a，），则B（，）∴AB=
∵SABCD=AB×AD
∴（）×=6
∴k=9
24．直线x=1，（1，4），y=4．
25．解：如图，连接BG，过B作BH⊥GF于H，由题可得，BE=1，BC=4，AE=3，OC=2，
∴Rt△BCE中，CE=，
∵BF⊥CE，∠CBE=90°，
∴BF==，
∵Rt△BCE中，BF⊥CE；Rt△ABC中，BO⊥AC，∴BC2=CF×CE，BC2=CO×CA，
∴CF×CE=CO×CA，即，
又∵∠OCF=∠ECA，
∴△COF∽△CEA，
∴∠CFO=∠CAB=45°，
由折叠可得，∠CFG=∠CFO=45°，
∴∠BFH=90°﹣45°=45°，
∴△BFH是等腰直角三角形，
∴FH=BH=BF=，
∵△COF∽△CEA，
∴，即，
∴OF==GF，
∴HG=FG﹣FH=，
∴Rt△BHG中，BG==．
答案为：．
26．解：（1）依题意有：y=300+30x；
（2）设利润为w，
则w=（300+30x）（20﹣x）
=﹣30x2+300x+6000
=﹣30（x﹣5）2+6750；
∵a=﹣30＜0，
∴当x=5时w取最大值，最大值是6750，即降价5元时利润最大，
∴每件小商品销售价是55元时，商店每天销售这种小商品的利润最大，最大利润是6750元．
27．解：（1）如图1，∵四边形ABFD是平行四边形，
∴AB=DF，
∵AB=AC，
∴AC=DF，
∵DE=EC，
∴AE=EF，
∵∠DEC=∠AEF=90°，
∴△AEF是等腰直角三角形；
（2）如图2，连接EF，DF交BC于K．
∵四边形ABFD是平行四边形，
∴AB∥DF，
∴∠DKE=∠ABC=45°，
∴∠EKF=180°﹣∠DKE=135°，EK=ED，
∵∠ADE=180°﹣∠EDC=180°﹣45°=135°，
∴∠EKF=∠ADE，
∵∠DKC=∠C，
∴DK=DC，
∵DF=AB=AC，
∴KF=AD，
在△EKF和△EDA中，
，
∴△EKF≌△EDA（SAS），
∴EF=EA，∠KEF=∠AED，
∴∠FEA=∠BED=90°，
∴△AEF是等腰直角三角形，
∴AF=AE．
（3）如图3，当AD=AC=AB时，四边形ABFD是菱形，
设AE交CD于H，
依据AD=AC，ED=EC，可得AE垂直平分CD，而CE=2，
∴EH=DH=CH=，
Rt△ACH中，AH==3，
∴AE=AH+EH=4．
28．解：（1）把交点坐标为（﹣1，0），（3，0）代入二次函数的表达式：解得：a=1，b=﹣2，
：二次函数的表达式为：y=x2﹣2x﹣3；
（2）过D点做DF⊥x轴于F，交AB于E，
把A（2，﹣3），B（﹣1，0）代入一次函数表达式得直线AB 的方程为：y=﹣x﹣1，
设：D（m，m2﹣2m﹣3），E（m，﹣m﹣1），
∴DE=﹣m﹣1﹣（m，m2﹣2m﹣3）=﹣m2+m+2，
S△ABD=DE×（x A﹣x B）=﹣（m﹣）2+，
∴当D坐标为（，﹣）时，△ABD的面积最大；
（3）当AB是为平行四边形的边长时，如下二图所示，M1、M2为所求点，
∵四边形ANM1B为平行四边形，
∴△ANH≌△BM1G，
则M1的横坐标为：﹣2，代入二次函数表达式，
解得：M1坐标为（﹣2，5）；
∵四边形ANM2B为平行四边形，
∴△ABG≌△NHM2，
则M2的横坐标为：4，代入二次函数表达式，
解得：M2坐标为（4，5）；
当AB时平行四边形的对角线时，下图所示，
M3与点C重合，
M3（0，﹣3）；
M点的坐标为：（0，﹣3）、（4，5）、（﹣2，5）．。