任意区间上一致连续函数的判定 作者：王少英

L
#
E L
=
E,
所以 f ( x ) 在 I 上一致连续. 定理 1 若函数 f ( x ) 在区间 I 满足 Lipschit z
条件, 即存在常数 L , Pxc , xd I I , 有
| f ( xc) - f ( xd) | F L | xc - xd | ,
则 f ( x ) 在 I 上一致连续.
且 g( x ) 在 I 上一致连续, 则 f ( x ) 在 I 上也一致连 续.
证明 已知 g ( x ) 在 I 上一致连续, 即 PE: 0,
vD : 0, Pxc , xd I I , 且 | xc - xd | ; D, 有
| g( xc) - g( xd ) | ; LE.
由
| f ( xc) - f ( xd) | F L | g( xc) - g( xd) | ;
lim W f ( D) = 0.
Dy 0+
其中 W f ( D) = sup | f ( xc) - f ( xd ) |
| xc- xd| ; D
称为 f ( x ) 的连续模数. 证明 必要性. 设在 I 上不一致连续, PE: 0,
v D1 : 0, Pxc, xd I I , 且 | xc - xd | ; D1 , 有
)
-
( xdn ) ] =
0.
ny ]
证明 必要性. 设 f ( x ) 在 I 上一致连续, 即 PE
: 0, v D : 0, Pxc, xd I I , 且 | xc - xd | ; D, 有
| f ( xc) - f ( xd ) | ; D.
又
lim( xcn - xdn ) = 0,
ny ]
ny ]
但
lim[
f
(
x
c n
)
-
f ( xdn ) ]
X0
ny ]
与已知矛盾, 故 f ( x ) 在区间 I 上一致连续.
推论 函数 f ( x ) 在区间 I 上不一致连续的充
要条件是存在两数列,
{
x
c n
}
{
xdn
}
,
当
lim( xcn - xdn ) = 0
ny ]
时, 有
lim
ny ]
[
则
| x i - x i- 1 | =
| xc - xd | k+ 1
;
E,
故
| f ( x i ) - f ( x i- 1 ) | ; E, ( i = 0, 1, ,, k + 1) .
k+ 1
|
f ( xc ) xc -
f ( xd) xd
|
F
2|
i= 1
f ( x i ) - f ( x i- 1 ) | xc - xd |
对上述 D : 0, vN : 0, 当时 n :
|
xcn -
x
d n xcn ) - f ( xdn ) ; E| , 即
lim[
f
(
x
c n
)
-
( xdn ) ] =
0
ny ]
充分性. 假设 f ( x ) 在 I 上不一致连续,
即 vE0 : 0, 对 PD : 0, vxc, xd I I , 当 | xc - xd
| f ( xc) - f ( xd ) | ; D,
则称 f ( x ) 在区间 I 上一致连续.
引理 1 设函数 f ( x ) 和 g( x ) 定义在区间 I 上, vL : 0, Pxc, xd I I , 有
| f ( xc) - f ( xd) | F L | g( xc) - g( xd) | ,
又 f c ( x ) 在区间 I 有界, 即 vL : 0, Px I I , 有 | f c( x) | F L .
所以
| f ( x 1 ) - f ( x 2 ) | = f c ( N) | | x 1 - x 2 | F
L | x1- x2 | ,
即 f ( x ) 在区间 I 上满足 L ipschit z 条件, 由定理 1,
证明 令 g( x ) = x ( 在任意区间上一致连续) ,
由引理 1, 即证.
定理 2 若函数 f ( x) 在区间 I 上可导, 且 f c ( x ) 在区间 I 有界, 则 f ( x ) 在 I 上一致连续.
证明 f ( x ) 在区间 I 上可导, 据 L ag rang e 中值
定理, Px 1 , x 2 I I, 有 f ( x 1 ) - f ( x 2 ) = f c ( N) ( x 1 - x 2 )
有 | f ( xc) - f ( xd) | F N | xc - xd | .
则
|
xc -
xd |
E
1 N
|
f ( xc) -
f ( xd )
|
E
NE.
因此 PE : 0, 取 D= E, Pxc, xd I I , 当 N
| f ( xc) - f ( xd ) | E E, 有
| xc - xd | E D.
WANG Shao- y ing
( Department of M at hematics, Handan Colleg e, H andan Hebei , 056005)
Abstract: Identically continuo usly is an impo rtant concept in the mat hematical analy sis , and it is the basis to under stand other mathematics kno wledg e . T his article embarks fr om the co nsistent co nt inuous function definition, and pr oduces the consistent continuous funct ion deter minatio n theor em in the f ree secter .
Key words: co nt inuously; consistent continuo us ; functio n
( 上接第 81 页) 参考文献
[ 1] 何铭新, 郎宝敏, 陈星铭. 建筑工程制图[ M ] . 第 3 版. 北京; 高等教育出版社, 2004. 161-163. [ 2] 同济大学建筑制图教研室. 画法几何[ M ] . 上海: 同济大学出版社, 1986.
| f ( xc) - f ( xd) | ;
E 2
.
从而
W f ( D1 ) =
sup |
| xc- xd | ; D1
f ( xc) - f ( xd) | F
2E,
令
0;
D;
D1 , 0
F W f ( D)
F Wf ( D1 )
F
E 2
;
E,
故
lim W f ( D) = 0.
Dy 0+
充分性. 设lim W f ( D) = 0, 则 PE: 0, vD1 : 0, Dy 0+
PE : 0, Pxc , xd I I , vN : 0, 当
| f ( xc) - f ( xd ) | E E, 有
| f ( xc) - f ( xd) | F N | xc - xd | .
必要性. f ( x ) 在区间 I 上一致连续, 即 PE: 0, v D : 0, Pxc, xd I I, 当
参考文献
[ 1] 华东师大数学系. 数学分析[ M ] . 第 2 版. 北京: 高等教育出版社, 1999. 100. [ 2] 裴礼文. 数学分析中的典型问题与方法[ M ] . 北京: 高等教育出版社, 2005. 102- 103.
In Free Sector Consistent Continuous Function Determination
中图分类号: O17
文献标识码: A
文章编号: 1009- 1939( 2007) 02- 0092- 03
*
一致连续是数学分析中一个重要概念, 是理解
数学中其他知识的基础. 本文从一致连续函数定义 出发, 给出任意区间上一致连续函数的判定定理.
定义[ 1] 设函数 f ( x ) 在区间 I 上有定义, 若对任 给的 E: 0, 总存在 D= D( E) : 0, 对 Pxc , xd I I , 且 | xc - xd | ; D, 有
V ol. 23. N o. 2 APr. 2007
任意区间上一致连续函数的判定
王少英
( 邯郸学院数学系, 河北邯郸 056005)
摘 要: 一致连续是数学分析中一个重要概念, 是理 解数学中其他知识的基础. 本文从一致连续函数定义
出发, 给出任意区间上一致连续函数的判定定理.
关键词: 连续 一致连续 函数
所以 f ( x ) 在 I 上一致连续. 注 2: 定理 4 给出了观察 f ( x ) 一致连续的方法.
f ( x ) 的图形在某处最陡, 若 D y 0+ , 则 | f ( xc) f ( xd ) | y 0, f ( x ) 一致连续; f ( x ) 的图形在某出无 限变陡, 则 f ( x ) 不一致连续.
f ( x ) 在 I 上一致连续.
注 1: 定理 2 中 f c ( x ) 的有界性是充分而非必要.
例如, arcsin 在( - 1, 1) 一致连续, 但
( arcsin) c =
1
1- x2
在(- 1, 1) 上是无界.
定理3 函数 f ( x ) 在区间 I 上一致连续的充要
条件是对区间 I 上满足
apr2007任意区间上一致连续函数的判定邯郸学院数学系河北邯郸056005一致连续是数学分析中一个重要概念是理解数学中其他知识的基础
第 23 卷第 2 期 2007 年 4 月
雁 北师 范 学院 学报 JOU RA L O F Y A N BEI NO R M A L U N IV ERS ITY
P xc, xd I I , 且 | xc - xd | ; D1 时, sup | f ( xc) - f ( xd ) | ; E,
| xc- xd| ; D1
有
| f ( xc) - f ( xd) | F sup | f ( xc) - f ( xd ) | ; E,
| xc- xd| ; D1
定理5 函数 f ( x ) 在区间 I 上一致连续的充要 条件是 PE: 0, Pxc , xd I I , v N : 0, 使当
| f ( xc) - f ( xd) | : N | xc - xd | 时, 恒有
| f ( xc) - f ( xd ) | ; E. 证明 函数 f ( x ) 在区间 I 上一致连续的定义 等价于 PE: 0, v D : 0, Pxc, xd I I , 当 | f ( xc) - f ( xd ) | E E, 有 | xc - xd | E D. 题设条件等价于
| ; | D, 有 | f ( xcn ) - f ( xdn ) | E E0 .
取 Dn =
1 n
,
n
=
1, 2, 3, ,, 于是 vx n , y n I
I , 满足
|
xcn -
x
d n
|
;
显然
1 n
,
|
f
( xcn ) -
f
( xdn )
|
E
E0 .
lim( xcn - xdn ) = 0,
| f ( xc) - f ( xd ) | E E,
# 94 #
雁 北 师 范 学院 学 报
第2期
有
| xc - xd | E D.
故 v整数 k, 使得
kD F | xc - xd | F ( k + 1) D.
不妨设 xc ; xd , 将[ xc, xd ] 分成 k + 1 等份, 记
x i ( i = 0, 1, ,, k + 1) 为其分点, x 0 = xc , x k+ 1 = xd ,
lim
ny ]
(
xcn
-
x
d n
)
=
0
任意两数列{ xcn } { xdn } 有
收稿日期: 2007- 03- 15 作者简介: 王少英( 1978-) , 女 , 河北邯郸人, 学士, 助教, 研究方向: 高等数学教学.
第2期
王少英: 任意区间上一致连续函数的判定
# 93 #
lim[
f
(
x
c n
|
;
(
K
+ K
1) D
E
;
2DE,
因此
PE : 0, Pxc, xd I I ,
取 N = 2DE, 当 | f ( xc) - f ( xd ) | E E,
有 | f ( xc) - f ( xd) | F N | xc - xd | . 充分性. 设 PE : 0, Pxc, xd I I , vN : 0, 当 | f ( xc) - f ( xd ) | E E,
f
(
x
c n
)
-
f ( xdn ) ]
X0
例如, y = x 2 在( 0, + ] ) 上不一致连续. 取
x n = n + 1, y n = n, n = 1, 2, 3 ,, 当
lim( n+ 1 - n) = 0,
ny ]
而
( n+ 1) 2 - ( n) 2 = 1, 由推论即得.
定理 4[ 2] 设函数 f ( x ) 在区间 I 上有定义, 则 f ( x ) 在 I 上一致连续的充要条件是