考研数学二(选择题)模拟试卷121(题后含答案及解析)

考研数学二（选择题）模拟试卷121(题后含答案及解析)
题型有：1.
1．下列关于向量组线性相关性的说法正确的个数为( )①若α1，α2，…，αn线性相关，则存在全不为零的常数k1，k2，…，kn，使得k1α1+k2α2+…+knαn=0。

②如果α1，α2，…，αn线性无关，则对任意不全为零的常数k1，k2，…，kn，都有k1α1+k2α2+…+knαn≠0。

③如果α1，α2，…，αn线性无关，则由k1α1+k2α2+…+knαn=0可以推出k1=k2=…kn=0。

④如果α1，α2，…，αn线性相关，则对任意不全为零的常数k1，k2，…，kn，都有k1α1+k2α2+…+knαn=0。

A．1。

B．2。

C．3。

D．4。

正确答案：B
解析：对于①，线性相关的定义是：存在不全为零的常数k1，k2，…，kn，使得k1α1+k2α2+…+knαn=0。

不全为零与全不为零不等价，故①错。

②和③都是向量组线性无关的等价描述，正确。

对于④，线性相关性只是强调不全为零的常数k1，k2，…，kn的存在性，并不一定要对任意不全为零的k1，k2，…，kn都满足k1α1+k2α2+…+knαn=0，故④错误。

事实上，当且仅当α1，α2，…，αn全为零向量时，才能满足对任意不全为零的常数k1，k2，…，kn，都有k1α1+k2α2+…+knαn=0。

综上所述，正确的只有两个，故选B。

知识模块：向量
2．设当x→0时，f(x)=ax3+bx与g(x)=∫0sinx(一1)dx等价，则( ) A．a=，b=1
B．a=3，b=0
C．a=，b=0
D．a=1，b=0
正确答案：C
解析：知识模块：函数、极限、连续
3．两个4阶矩阵满足A2=B2，则
A．A=
B．
B．A=－
B．
C．A=B或A=－
B．
D．｜A｜=｜B｜或｜A｜=－｜B｜．
正确答案：D
解析：对A2=B2两边取行列式，得｜A｜2=｜B｜2｜A｜2－｜B｜2=0(｜A｜－｜B｜)(｜A｜+｜B｜)=0｜A｜－｜B｜=0或｜A｜+｜B｜=0即｜A｜=｜B｜或｜A｜=－｜B｜．知识模块：矩阵
4．设A，B为满足AB=0的任意两个非零矩阵，则必有
A．A的列向量组线性相关，B的行向量组线性相关．
B．A的列向量组线性相关，B的列向量组线性相关．
C．A的行向量组线性相关，B的行向量组线性相关．
D．A的行向量组线性相关，B的列向量组线性相关．
正确答案：A 涉及知识点：向量
5．设函数f(x)连续，且f’(0)＞0，则存在δ＞0，使得( )
A．f(x)在(0，δ)内单调增加。

B．f(x)在(一δ，0)内单调减少。

C．对任意的x∈(0，δ)，有f(x)＞f(0)。

D．对任意的x∈(一δ，0)，有f(x)＞f(0)。

正确答案：C
解析：由导数定义，知f’(0)=＞0。

根据极限的保号性，存在δ＞0，使对任意x∈＞0。

于是当x∈(一δ，0)时，有f(x)＜f(0)；当x∈(0，δ)时，有f(x)＞f(0)。

故选C。

知识模块：一元函数微分学
6．设f(χ)＝∫0sinχsint2dt，g(χ)＝χ3＋χ4，当χ→0时，f(χ)是g(χ)的( )．
A．等价无穷小
B．同阶但非等价无穷小
C．高阶无穷小
D．低阶无穷小
正确答案：B
解析：因为，所以正确答案为
B．知识模块：函数、极限、连续
7．设f(x)有连续的导数，f(0)=0，f’(0)≠0，F(x)=∫0x(x2一t2)f(t)dt，且当x→0时，F’(x)与xk是同阶无穷小，则k等于( )
A．1
B．2
C．3
D．4
正确答案：C
解析：用洛必达法则，=f’(0)≠0，所以k=3，选(C)．其中①F’(x)=[x2∫0xf(f)dt 一∫0xt2f(t)dt]’=2x∫0xf(t)dt；②洛必达法则的使用逻辑是“右推左”，即右边存在(或为无穷大)，则左边存在(或为无穷大)，本题逻辑上好像是在“左推右”，事实上不是，因为=f’(0)存在，即最右边的结果存在，所以洛必达法则成立．知识模块：一元函数微分学
8．设y=y(x)由x=确定，则f’’(0)等于( )．
A．2e2
B．2e-2
C．e2-1
D．e-2-1
正确答案：A
解析：当x=0时，由知识模块：一元函数微分学
9．与二次型f=x12+x22+2x32+6x1x2的矩阵A既合同又相似的矩阵是( ) A．
B．
C．
D．
正确答案：B
解析：二次型f的矩阵A=。

因为两个实对称矩阵相似必合同，所以只需计算出矩阵A的特征值即可。

由矩阵A的特征方程可得，矩阵A的特征值是4，2，—2，故选B。

知识模块：二次型
10．设f(x)满足f(x)在x=0处三阶可导，且，则正确的是
A．f(0)不是f(x)的极值，(0，f(0))不是曲线y=f(x)的拐点．
B．f(0)是f(x)的极小值．
C．(0，f(0))是曲线y=f(x)的拐点．
D．f(0)是f(x)的极大值．
正确答案：C
解析：由条件=1及f’(x)在x=0连续且=f’(0)=0．用洛必达法则得型未定式极限因=f’’(0)，若f’’(0)≠0，则J=∞与J=1矛盾，故必有f’’(0)=0．再由f’’(0)的定义得f’’(0)=2．因此，(0，f(0))是拐点．选(C)．知识模块：微分中值定理及其应用
11．设y=f(x)满足f”(x)+2f’(x)+=0，且f’(x0)=0，则f(x)在
A．x0某邻域内单调增加．
B．x0某邻域内单调减少．
C．x0处取得极小值．
D．x0处取极大值．
正确答案：D 涉及知识点：高等数学
12．设平面D由及两条坐标轴围成，则( )
A．I1＜I2＜I3．
B．I3＜I1＜I2．
C．I1＜I3＜I2．
D．I3＜I2＜I1．
正确答案：C
解析：显然在D上0＜x+y≤1，则ln(x+y)3≤0，0＜sin(x+y)3＜(x+y)3，从而有，故选
C．知识模块：多元函数微积分学
13．已知α1是矩阵A的属于特征值λ=2的特征向量，α2，α3是矩阵A 的属于特征值λ=6的特征向量，则矩阵P不可能是( )
A．(α1，一α2，α3)。

B．(α1，α2+α3，α2一2α3)。

C．(α1，α3，α2)。

D．(α1+α2，α1一α2，α3)。

正确答案：D
解析：由题意可得Aα1=2α1，Aα2=6α2，Aα3=6α3。

因α2是属于特征值λ=6的特征向量，所以一α2也是属于特征值λ=6的特征向量，故选项A 正确。

同理，选项B，C也正确。

由于α1，α2是属于不同特征值的特征向量，所以α1+α2，α1一α2均不是矩阵A的特征向量，故选项D一定错误。

知识模块：矩阵的特征值和特征向量
14．具有特解y1=e-x，y2=2xe-x，y3=3ex的三阶线性常系数齐次微分方程是( )
A．y”‘一y”一y’+y=0
B．y”‘+y”一y’一y=0
C．y”‘一6y”+11y’一6y=0
D．y”‘一2y”一y’+2y=0
正确答案：B
解析：根据题设条件，1，一1是特征方程的两个根，且一1是重根，所以特征方程为(λ一1)(λ+1)2=λ3+λ2一λ一1=0，故所求微分方程为y”‘+y”一y’一y=0，故选(B)．或使用待定系数法，具体为：设所求的三阶线性常系数齐次微分方程是y”‘+ay”+by’+cy=0．由于y1=e-x，y2=2xe-x，y3=3ex 是上述方程的解，所以将它们代入方程后得解得a=1，b=一1，c=一1．故
所求方程为y”‘+y”一y’一y=0，即选项(B)正确．知识模块：微分方程
15．设α1，α2，α3，α4是四维非零列向量组，A=(α1，α2，α3，α4)，A*为A的伴随矩阵。

已知方程组Ax=0的基础解系为k(1，0，2，0)T，则A*x=0的基础解系为( )
A．α1，α2，α3。

B．α1+α2，α2+α3，α1+α3。

C．α2，α3，α4。

D．α1+α2，α2+α3，α3+α4，α4+α1。

正确答案：C
解析：方程组Ax=0的基础解系只含一个解向量，所以四阶方阵A的秩r(A)=4—1=3，则其伴随矩阵A*的秩r(A*)=1，于是方程组A*x=0的基础解系含有三个线性无关的解向量。

又A*(α1，α2，α3，α4)=A*A=｜A｜E=0，所以向量α1，α2，α3，α4都是方程组A*x=0的解。

将(1，0，2，0)t代入方程组Ax=0可得α1+2α3=0，这说明α1可由向量组α2，α3，α4线性表出，而向量组α1，α2，α3，α4的秩等于3，所以向量组α2，α3，α4必线性无关。

事实上，由α1+2α2=0可知向量组α1，α2，α3线性相关，选项A不正确；显然，选项B中的向量都能被α1，α2，α3线性表出，说明向量组α1+α2，α2+α3，α1+α3线性相关，选项B不正确；而选项D中的向量组含有四个向量，不是基础解系，所以选项D也不正确。

故选C。

知识模块：线性方程组
16．曲线y＝χ(χ－1)(2－χ)与χ轴所围成的图形面积可表示为( )．A．－∫02(χ－1)(2－χ)dχ
B．∫01χ(χ－1)(2－χ)dχ－∫12χ(χ－1)(2－χ)dχ
C．－∫01χ(χ－1)(2－χ)dχ＋∫12χ(χ－1)(2－χ)dχ
D．∫02χ(χ－1)(2－χ)dχ
正确答案：C
解析：曲线y＝(χ－1)(2－χ)与χ轴的三个交点为χ＝0，χ＝1，χ＝2，当0＜χ＜1时，y＜0；当1＜χ＜2时，y＞0，所以围成的面积可表示为C的形式，选
C．知识模块：一元函数积分学
17．设An×n是正交矩阵，则( )
A．A*(A*)T=|A|E
B．(A*)TA*=|A*|E
C．A*(A*)T=E
D．(A*)TA*=一E
正确答案：C
解析：A正交阵，则有，A*(A*)T=|A|AT(|A|AT)T=|A|2ATA=E．知识模块：线性代数
18．已知η1，η2，η3，η4是齐次方程组Aχ＝0的基础解系，则此方程组的基础解系还可以是
A．η1＋η2，η2＋η3，η3＋η4，η4＋η1．
B．η1，η2，η3＋η4，η3－η4．
C．η1，η2，η3，η4的一个等价向量组．
D．η1，η2，η3，η4的一个等秩的向量组．
正确答案：B
解析：向量组(A)线性相关，选项A不正确．η1，η2，η3，η4，η1＋η2，与η1，η2，η3，η4等价．但前者线性相关，故选项C不正确．等秩的向量组不一定能互相线性表出，因而可能不是方程组的解，故选项D不正确．因此本题选
B．知识模块：线性方程组
19．设α，β为四维非零列向量，且α⊥β，令A=αβT，则A的线性无关特征向量个数为( )
A．1
B．2
C．3
D．4
正确答案：C
解析：因为α，β为非零向量，所以A=αβT≠O，则r(A)≥1，又因为r(A)=r(αβT)≤r(α)=1，所以r(A)=1．令AX=λE，由A2X=αβT.αβTX=O=λ2X得λ=0，因为r(OE-A)=r(A)=1，所以A的线性无关的特征向量个数为3，应选(C)．知识模块：矩阵的特征值和特征向量
20．设向量组α1，α2，α3为方程组AX＝0的一个基础解系，下列向量组中也是方程组AX＝0的基础解系的是( )．
A．α1＋α2，α2＋α3，α3＋α1
B．α1＋α2，α2＋α3，α1＋2α2＋α3
C．α1＋2α2，2α2＋3α3，3α3＋α1
D．α1＋α2＋α3，2α1－3α2＋22α3，3α1＋5α2－5α3
正确答案：C
解析：根据齐次线性方程组解的结构，四个向量组皆为方程组AX＝0的解向量组，容易验证四组中只有(C)组线性无关，所以选
C．知识模块：线性方程组
21．设三阶矩阵A=，若A的伴随矩阵的秩为1，则必有
A．a=b或a+2b=0．
B．a=b或a+2b≠0．
C．a≠b且a+2b=0．
D．a≠b且a+2b≠0．
正确答案：C
解析：由条件知0=|A*|=|A|2，0=|A|=(a+2b)(a一b)2，(a=一2b或a=b，若a=b，则A*=0，与r(A*)=1矛盾，故必有a≠b且a+2b=0．知识模块：线性代数
22．设函数f(x)满足关系式f”(x)+[f’(x)]2=x，且f’(x)=0，则( )
A．f(0)是f(x)的极大值．
B．f(0)是f(x)的极小值．
C．(0，f(0))是曲线y=f(x)的拐点．
D．f(0)不是f(x)的极值，点(0，f(0))也不是曲线y=f(x)的拐点．
正确答案：C
解析：将x=0代入已知方程，得f”(0)=0．故在x=0的充分小的邻域U(0，δ)内，有且一δ＜x＜0时f”(x)＜0，0＜x＜δ时f”(x)＞0，从而(0，f(0))是曲线y=f(x)的拐点，应选(C)．知识模块：一元函数微分学
23．设考虑以下命题：其中正确的是( )
A．①②．
B．②③．
C．③④．
D．①④．
正确答案：D
解析：知识模块：无穷级数
24．设函数，则下列结论中错误的是[ ]．
A．y是奇函数，且是有界函数
B．y有两个极值点
C．y只有一个拐点
D．y只有一条水平渐近线
正确答案：C
25．根据定积分的几何意义，下列各式中正确的是[ ]．
A．&nbsp
B．&nbsp
C．&nbsp
D．&nbsp
正确答案：D。