8.3.2球的内接与外切类型总结课件(人教版)

和该长方体的5个面相切。
例如，装乒乓球的盒子
如果一个长方体有内切球，那么它一定是 正方体
类型二：长方体方体
长方体的外接球

=
+ +

长方体的（体）对角线等于球直径
设长方体的长、宽、高分别为a、b、c，
则a 2 b 2 c 2 (2 R) 2。
反馈练习
3、一个长方体的各顶点均在同一球面上，且
4 3
球的体积公式 ：V R
3
2
●
R
球的截面问题
例1、一个距离球心为1的平面截球所得的圆面面积为π，则球的表
8π
面积为_______。
解：作轴截面，如图所示，根据球的性质，可得OO′=1，设截
面圆的半径为r，球的半径为R，
因为截面圆的面积为π，所以可得πr2=π，解得r=1
又由R2=OO′2+r2=2，所以 R 2
同一个球面上，且CA CB CC1 a,
ACB 60，求该球的表面积。
O1
O
O2
结论2.直棱柱（圆柱）外接球半径
球心是上、下底面外接圆
圆心所连线段的中点；
o1 r
R
o
h 2
R r ( )
2
2
●
o2
2
（r为底面外接圆半径，h为体高）
1、已知一长方体的一个顶点处的三条棱长分别是 3， 3， 6
的直径与正方体的棱长是相等的，故可得球的直径为 2，所以球的半径为 1，
4
4π
其体积是 ×π×13＝ .
3
3
5.圆柱内接于球，圆柱的底面半径为3，高为8，则球的表面积为
100π
———— .
解析：如图所示，由条件知，O1A=3，OO1=4，所以OA=5，即
球的半径为5，所以球的表面积为100π.
正棱锥、圆锥？
面积是
4π×22 2＝16π.
一个半径为
的球面上，故这个球的表面积是 4π×22＝16π.
面积是 4π×2 ＝16π.
面积是 4π×22＝16π.
结论1：正方体或长方体的外接球的球心其体对角线的中点。
R
3a
2

=
+ +

圆柱、直棱柱？
探究 设三棱柱的侧棱垂直于底面，顶点都在
1. 正四棱锥的五个顶点在 同一个球面上，
若该正四棱锥的底面边 长为 4，侧棱长
为2 6，求这个球的体积。
1 3 1
= 3, ∴ = = ∙ 33 = 9
3
3
2.一块底面为直角三角形，直角边分别为6和8，高为12的直三棱柱的石
材．将该石材切削、打磨，加工成球，则能得到的最大球的半径等于(
类型一：正方体
1.正方体的内切球
o
正方体的棱长为a,内切球
的半径是多少？
a
R
2
切点：各个面的中心。
球心：正方体的中心。
直径：相对两个面中心连线。
球的直径等于正方体棱长。
类型一：正方体
2.正方体的外接球
2R
3a
球直径等于正方体的（体）对角线
类型一：正方体
3.球与正方体的各条棱都相切
球的直径等于正方体一个面上的对角线长
A．1
B．2
C．3
)
D．4
只需球与直三棱柱的三个侧面都相切，则其半径r等
于直角三角形ABC的内切圆半径，由8－r＋6－r＝10，
6＋8－10
得 r＝
＝2，
2
B
B1
B
C1
C
A
A1
3、已知一个高为16的圆锥内接于一个体积为972π的球，在圆锥内
又有一个内切球. 求:
R=
(1)圆锥的侧面积;
(2)圆锥内切球的体积. 9
均为
2，无论怎样折叠，其四个顶点都在 均为 2，无论怎样折叠，其四个顶点都在
其外接球球心到四个顶点的距离相等，
均为 2，无论怎样折叠，其四个顶点都在一个半径为 2 的球面上，故这个球的表
一个半径为
2 的球面上，故这个球的表
均为 2，无论怎样折叠，
其四个顶点都在一个半径为 2 的球面上，故这个球的表
一个半径为 22的球面上，故这个球的表面积是 4π×22＝16π.
o
球的直径等于正方体棱长。
a
R
2
2.直棱柱的内切球
若球与直三棱柱各个面相切，
则球的直径为棱柱高.
若球与直三棱柱三个侧面相切，如何求解？
可由平行于底面截面图求出球的半径.
2．一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面都相切，已知这个球
练习
32π
的体积为
，那么这个正三棱柱的体积是( D )
3
A．96 3
一个顶点上的三条棱长分别为1,2,3 ，则此球
的表面积为 .
4：已知各顶点都在一个球面上
的正四棱柱高为4，体积为16，
则这个球的表面积为（
）
A. 16 B. 20 C. 24 D. 32
专题一：外接球问题
几何体外接球问题是立体几何中的
和重要的考点，此类问题实质
是解决球的半径或确定球心O的位置问题，其中球心的确定是关键。
4
3
3
3 2
∴S球 4 R a .
2
2
O•
A
R
R O•
C
•
•
O′
D
O′
D
B
球的内接正四面体问题(正四面体的外接球)
例 6 若棱长为 a 的正四面体的各个顶点都在半径为 R 的球面上,求球的表面积．
解2：补形法.
把正四面体放在正方体中，设正方体棱长为 x，则
2a
6
a＝ 2x，由题意 2R＝ 3x＝ 3× ＝ a，
r4 2
所以圆锥的侧面积 S 4 2 12 2 96
若该正方体的表面积为24，则该球的体积
为 4 3 .
2. 甲球内切于正方体的各面，乙球内切于该正方体的各条棱，
丙球外接于该正方体，则三球表面面积之比为( A )
A. 1:2:3
B. 1: 2: 3
C. 1: 3 4: 3 9
D. 1: 8: 27
类型二：长方体方体
思考：一般的长方体有内切球吗？
没有。一个球在长方体内部，最多可以
切点：各棱的中点。
球心：正方体的中心。
直径： “对棱”中点连线
2R 2 a
类型一：正方体
结论：
正方体的棱长为a，球的半径为R，
①若球为正方体的内切球，则
②若球为正方体的外接球，则
a
2 R 2a
a
R
2
R
3a
2
R
2a
2
反馈练习
1.一个正方体的各顶点均在同一球的球面上，
VO3－×(9
ABC A 2 ＋6 3 )r＝ (3 2 ＋
D
E
B
VO－PCA＋＝
VO1－×(9
∵
＝
，
∴
PD
1
V
ABC
P
－ ABC ＝
2 ＋6 3 )r＝ (3 2 ＋2 3)r.
3
∵ PD ＝ 1 ， ∴ VP － ABC ＝ 1×6 3×1＝2 3.
2 3)r.
3
2 3
1
r＝
×6 3×1＝2 则由等体积可得
高为 4，底面边长为 2，则该球的表面积为(
81π
A．
4
B．16π
C．9π
27π
D．
4
(4-R)2+( 2 )2=R2
9
R=
4
A
P
)
R
O
RD
A
C
O1
B
球的内接正四面体问题(正四面体的外接球)
例 6 若棱长为 a 的正四面体的各个顶点都在半径为 R 的球面上,求球的表面积．
解1：
作出截面图如图示.
P
AA1 2 3，则球O的表面积为
A.12π
B.16π
C.18π
O1A=1,
R=2,
S表=4πR2=16π
B
D36π
教学过程
教学反思
教学分析
教学设计
教学过程
教学反思
1．将棱长为 2 的正方体木块削成一个体积最大的球，则该球的体积为(
4π
A．
3
解析
2π
B．
3
3π
C．
2
A
)
π
D．
6
由题意知，此球是正方体的内切球，根据其几何特征知，此球
3.
3 2＋2 3
3
4
2
＝
6－2，
∴S 球＝4π( 6－2) ＝(40－16 6)π，V 球＝ ( 6－2)3π.
3
结 论： 若多面体存在内切球，则利用等体积法知内切球半径r满足：
P

. 表面积 .r=V

O
B
D
A
思考：正四面体体高为h，内切球半径为r，
请写出r与h的等量关系
C
E

=

特别的：正四面体的棱长为a,体高为h，外接球半径为R，
B．16 3
C．24 3
D．48 3
设正三棱柱的底面边长为a，则球的半径
3
1 3
3
R＝ × a＝ a， 正三棱柱的高为 3 a.
3 2
6
4 3 32π
V 球＝ πR ＝ .∴a＝4 3.
3
3
3
3
2
∴V 柱＝ ×(4 3) × ×4 3＝48 3.
4
3
（2）利用等体积直接来求半径
(球内切于多面体，则球心到各个面的距离相等)
2
设正方形的边长为 a，则 a2 ＝8，a＝2 2，设正方形的边长为 a，则 a2＝8，
a＝2 2，
设正方形的边长为 a，则 a ＝8，
a＝2
2，
其外接球球心到四个顶点的距离相等，
2
其外接球球心到四个顶点的距离相等，
其外接球球心到四个顶点的距离相等，
设正方形的边长为 a，则 a ＝8，a＝2 2，
其外接球球心到四个顶点的距离相等，均为 2，无论怎样折叠，其四个顶点都在
所以球的表面积S球=4πR2=8π
球与多面体的内切、外接
若一个多面体的各面都与一个球的球面相切，
则称这个多面体是这个球的外切多面体，这个
球是这个多面体的内切球
若一个多面体的各顶点都在一个球的球面上，
则称这个多面体是这个球的内接多面体，这
个球是这个多面体的外接球
结论：外接球球心到多面体各顶点的距离为半径。
例5．正三棱锥的高为1，底面边长为 2 6，内有一个球与它的四个面
P
都相切，求内切球的表面积与体积．
设球的半径为r，以球心O为顶点，棱锥的
则 VP －ABC ＝VO －PAB ＋VO －PBC＋
四个面为底面把正三棱锥分割为四个小棱锥
O
1
C
则 VP －ABC ＝VO －PAB ＋VO －PBC＋VO－PCA＋＝
人教A版202X高中数学必修第二册
8.3 简单几何体的表面积与体积
8.3.2 圆柱、圆锥、圆台的表面积和体积
（球的内切、外接问题）
球的截面性质
●球心和截面圆心的连
线
α
o1 r
垂直 于截面
d
●球心到截面的距离与球
o
的半径R及截面的半径的
关系: R2 = r2 + d2
球的表面积公式：S 4 R
2
2
3 2
2
∴ S 球＝4πR ＝ πa .
2
C
P
O
•
A
B
构造正方体或长方体解决外接球问题
长方体或正方体的外接球的球心是其体对角线的中点
同一个顶点上的三条棱两两垂直的三棱锥构造长方体
A
P
B
C
例4、一个四面体的所有棱长都为 2 ，四个顶点在同一球面上，则
此球的表面积为 ( A )
A、3π
B、4π
C、5π
结论3：正棱锥和圆锥外接球半径
1、球心在棱锥的高所在的直线上
2、球心到底面外接圆圆心的距离
等于锥体的高减去球半径的绝对值
3、 R 2 r 2 (h R ) 2
即d h R
P
（r为底面外接圆半径，h为体高）
O
A
O1
C
B
正三棱锥
反馈练习
例6.2、正四棱锥的顶点都在同一球面上．若该棱锥的
D、6π
r＝
3
2
专题二：内切球的问题：
(1)定义法：多面体的各面都与一个内切球的球面相切
1.正方体的内切球
D
C
A
球心：正方体的中心
B
D1
A1
切点：各个面的中心
直径：相对两个面中心连线
O
C1
B1
O
球的外切正方体的棱长等于球直径。
专题二：内切球的问题：
定义法：多面体的各面都与一个内切球的球面相切
正方体的内切球
同一个球面上，且CA CB CC1 a,
ACB 60，求该球的表面积。
O1
O
O2
由图形的对称性确定球心
1、球心是上、下底面外接圆
圆心所连线段的中点；
2、球心到底面的距离是侧棱
长的一半
3、 R 2 r 2 ( h ) 2
2
（r为底面外接圆半径，h为体高）
例2 设三棱柱的侧棱垂直于底面，顶点都在
这个长方体的八个顶点都在同一个球面上，则这个球的表面积是
( A )
A.12π
B.18π
C.36π
D.6π
解析:由题意可知，该长方体的体对角线即为球的直径，其长度为
2 3 .从而球的半径为
3 ，球的表面积为12π.
教学分析
教学设计
2. 已知直三棱柱ABC A1 B1C1的六个顶点都在
球O的球面上,若AB BC 1, ABC 120,
3
2
3
由图可知，AD a, AO AD a.
2
3
3
6
2
2
∴PO PA AO
a.
3
6
∴OO PO PO
a R.
A
3
∴在Rt△AOO中，AO2 OO2 AO 2，
P
a
a
R
R
6
3 2
6
2
2
a，
即( a) (
a R) R ，解得R
6
6
6
r= 12 a
R=
a
内切球半径为r，则有： h= 3 a
4
P
C
A
B
反馈练习
8.已知某正四面体的内切球的体积是1，则该正四面体的外接
球的体积是( A )
A．27
B．16
C．9
D．3
P
因为R=3r
A
C
D
B
E
4 3
4 3
πr ＝1，则外接球的体积是 πR
3
3
4 3
＝27× πr ＝27
3
课后练习