高考数学江苏专版三维二轮专题复习训练：3个附加题综合仿真练(六)Word版含解析

3 个附带题 综合仿真练 (六)
1．此题包含 A 、 B 、 C 、D 四个小题，请任选二个作答
A ． [选修 4－1：几何证明选讲
]
如图， AB 为半圆 O 的直径，直线 PC 切半圆 O 于点 C ， AP ⊥ PC ，P
为垂足．
求证： (1)∠ PAC ＝∠ CAB ；
(2)AC 2＝ AP ·AB.
证明： (1)由于 PC 切半圆 O 于点 C ，所以∠ PCA ＝∠ CBA.
由于 AB 为半圆 O 的直径，所以∠
ACB ＝ 90° .
由于 AP ⊥ PC ，所以∠ APC ＝ 90° .
所以∠ PAC ＝∠ CAB .
AP ＝ AC ，
(2) 由 (1)知，△ APC ∽△ ACB ，故 AC AB
即 AC 2＝ AP ·AB.
B ． [选修 4－ 2：矩阵与变换 ]
已知矩阵 A ＝
0 1 1 0 .
1 0 ， B ＝
2
0 (1)求 AB ；
(2) 若曲线 C 1：
x 2
＋ y 2
＝ 1 在矩阵 AB 对应的变换作用下获得另一曲线
C 2，求 C 2 的方程．
8
2
解： (1)由于 A ＝
0 1
， B ＝
1 0
1
0 0 ，
2
0 1 1 0
0 2 .
所以 AB ＝
0 0
2
＝
0 1
1
(2) 设 Q(x 0， y 0)为曲线 C 1 上的随意一点，
它在矩阵 AB 对应的变换作用下变成
P(x ， y)，
2 x 0 ＝ x
2y 0＝ x ， x 0＝ y ，
则 所以
，即
1 0 y 0 y
＝ y ， ＝ x
x 0
y 0
2
.
2
2
由于点 Q(x 0， y 0)在曲线 C 1 上，则
x 0
＋
y 0
＝ 1，
8
2
2
2
进而 y
＋x
＝1，即 x 2＋ y 2＝ 8.
8 8
所以曲线 C 1 在矩阵 AB 对应的变换作用下获得曲线 C 2： x 2＋ y 2＝ 8.
C ． [选修 4－4：坐标系与参数方程
]
x ＝cos α， 在平面直角坐标系
xOy 中，圆 C 的参数方程为 (α为参数 )．以 O 为极点，
y ＝ sin α－ 2
x 轴正半轴为极轴成立极坐标系，直线l 的极坐标方程为
线 l 的极坐标方程．
22
设直线 l 对应的直角坐标方程为y＝ kx，
由于圆 C 与直线 l 相切，
θ＝β，若圆 C 与直线l 相切，求直
|2|
所以d＝
1＋ k2
＝1，获得k＝±3，
π2π
故直线 l 的极坐标方程θ＝或θ＝.
33
D． [选修 4－5：不等式选讲 ]
已知 a， b， c，d 为实数，且a2＋ b2＝ 4， c2＋ d2＝ 16，证明： ac＋ bd≤ 8.
证明：由柯西不等式可得： (ac＋bd)2≤ (a2＋ b2)(c2＋
d2)．由于 a2＋ b2＝ 4， c2＋ d2＝ 16，所以 (ac＋ bd)2≤ 64，
所以 ac＋ bd≤ 8.
2.已知正六棱锥S-ABCDEF的底面边长为2，高为 1.现从该棱锥的7
个极点中随机选用 3 个点组成三角形，设随机变量X 表示所得三角形的
面积．
(1)求概率 P(X ＝ 3)的值；
(2) 求 X 的概率散布，并求其数学希望 E (X)．
解： (1) 从 7 个极点中随机选用 3 个点组成三角形，
共有 C 73＝ 35 种取法．此中 X ＝ 3的三角形如△ ABF ，
这种三角形共有 6 个．
所以 P(X ＝ 3)＝
6
35
.
(2) 由题意， X 的可能取值为3， 2，6，2 3，3 3.
此中 X＝3的三角形如△ ABF ，这种三角形共有 6 个；
此中 X ＝ 2 的三角形有两类，如△ SAD(3 个 )，△ SAB(6 个 )，共有 9 个；
此中 X＝6的三角形如△ SBD，这种三角形共有 6 个；
此中 X＝23的三角形如△ CDF ，这种三角形共有12 个；
此中 X＝33的三角形如△ BDF ，这种三角形共有 2 个．
所以 P(X ＝3)＝356， P(X ＝ 2)＝359，
P(X＝
6
，P(X＝23)＝
12
， P(X＝ 33)＝
2 6)＝353535
.
所以随机变量X 的概率散布为：
X
3 2
6 2 3 3 3
P
6 9 6 12 2
35
35
35
35
35
所求数学希望
E(X )＝ 6 ＋2× 9 ＋ 6× 6 ＋ 2 3×12＋ 3 3× 2 ＝36 3＋6 6＋18
3× 35
35
35
35
35
35
.
3．已知数列 {a n }知足： a 1＝ 1，对随意的 n ∈ N *
，都有 a n ＋ 1＝ 1＋ 1
a n ＋ 1
n .
2
n ＋ n 2 (1) 求证：当 n ≥ 2 时， a n ≥ 2；
(2) 利用“ ? x ＞ 0， ln(1＋ x)＜ x ”，证明： a n ＜ 2e 3
(此中 e 是自然对数的底数 )．
4
证明： (1)①由题意， a 2＝ 1＋ 1
× 1＋1
＝ 2，故当 n ＝ 2 时， a 2＝ 2，不等式成立．
2 2
②假定当 n ＝ k(k ≥ 2 ， k ∈ N * ) 时不等式成立，即 a k ≥ 2 ，则当 n ＝ k ＋ 1 时， a k ＋ 1 ＝
1
a k ＋
1
k ＞2.
1＋
k k ＋1
2
所以，当 n ＝ k ＋ 1 时，不等式也成立．
依据①②可知，对全部
n ≥ 2， a n ≥ 2 成立 .
＋
＝1＋2
1
＋ 1n 1＋
1
＋ 1
(2) 当 n ≥ 2 时，由递推公式及
(1)的结论有
＋n a n 2 n
＋
1
a n 1
n 2 ≤
n ＋n 2
a n (n ≥ 2)．
两边取对数，并利用已知不等式
ln(1＋ x)＜ x ，得
1
1
＜ ln a ＋
1
＋
1
＋
≤ ln 1＋ 2
＋ n ＋1
＋ ln a n n 2＋ n ＋
ln a n 1 n ＋ n
2
n
2n 1，
1
1
故
ln a
n ＋ 1
－
ln a n
＜
n 2＋ n ＋
2n ＋ 1(n ≥ 2)，
ln a n － ln a 2＜ 1 1
1 1 1 1 1 1 1 1 乞降可得
× ＋ × ＋ ＋ n － ＋ 23＋ 24＋ ＋ 2n ＝ 2－ 3 ＋ 3－
4
2 3 3 4 1 n
1
1
1
1
1－ n － 2
1
1
1 3
－
2
1
＋ ＋
n
＋ 3
·
＝－＋2
n
n － 1 1
2
2 n 2 － 2 <4.
1－ 2
由 (1)知， a 2＝ 2，故有 ln
a n ＜3
，即 a n ＜ 2e 3
(n ≥ 2)， 2 44
而 a 1＝1＜ 2e34，所以对随意正整数
3
n ，有 a n ＜ 2e4.。