圆锥曲线之点差法-讲义(教师版)

圆锥曲线之点差法
一、课堂目标
1、熟练掌握点差法的应用步骤；
2、理解点差法相对于联立法有哪些优势。

【备注】在联立法的基础上再学习点差法，是为了让学生在面对一些特殊题型时，能简化步骤和运算量，同时训练学生一题多解的能力。

二、方法说明
联立法作为圆锥曲线题型的通法，方法固定，思路简单是它最大的优点，但同时，运算量偏大也是联立法自始至终存在的问题，在应对跟弦的斜率和中点有关的题型时，我们找到了一种比联立法更为优化的特殊武器，尤其是减少了运算量，可以帮我们在考试中节省更多时间，这种方法就是点差法。

【备注】1、在方法类讲义用，用方法说明替代了高考链接，因为对于一个方法的使用是灵活的，方法类的讲义在各版本试卷中是通用的，指向某套考卷意义不大，在这里重点为学生讲解这
种方法用在什么类型题中，在后续的类型题讲义中，我们会重点解释该类型题的高考链
接。

2、点差法主要应用于中点弦问题。

三、知识讲解
1. 知识回顾
【备注】提问环节，对圆锥曲线基础知识点选择性提问，如果学生对于这部分基础掌握有问题，老师自行带学生回顾，本讲义难度有所提升，只做方法应用讲解，不单独做基础梳理。

2. 方法提升
方法引入
1.已知椭圆，过点作直线，设与椭圆交于、两点，若为线段
的中点，求直线的方程．
【答案】．
【解析】方法一：
方法二：
易知点在椭圆内，不妨设，，
设直线的斜率为，由，
作差得，
又∵，即，，
∴的斜率，的方程为，
即．
不妨设，，
易知直线的斜率存在，
设直线的方程为，代入中，
得，
【备注】以基础类型题引入方法，这是一个常规的中点弦问题，解析中分别给出了联立法和点差法两种方法，要结合对比着讲给学生听，重点让学生理解点差法在中点弦问题中的优势是简
化运算。

∴，
判别式，
则，
∵的中点为，
∴，则，
∴直线的方程为，
即．
【标注】
【知识点】直线和椭圆的位置关系；中点弦问题
步骤归纳
点差法常规步骤（以椭圆为例，双曲线和抛物线同理）：
1、设直线与圆锥曲线交点，,，A和B的中点坐标为.
2、将交点坐标带入椭圆方程
3、两式做差得(显然前提是,)
4、灵活运用等式
注意：根据步骤三可知，使用点差法的前提是直线斜率存在，且斜率不为零，对于斜率不存在或者为零的情况，我们需要分类讨论。

【备注】点差法的应用相对于联立法对灵活性要求更高，它的价值在于快速得到一个弦所在直线斜率与弦中点坐标的等量关系式，这个关系式具体怎么应用，需要结合题目进行讲解。

例题讲解
（1）
（2）
2.已知椭圆的一个焦点与抛物线的焦点重合，且椭圆的离心
率为．
求椭圆的标准方程．
直线交椭圆于、两点，线段的中点为，直线是线段的垂直平分线，求
证：直线过定点，并求出该定点的坐标．
【答案】（1）
（2）．
证明见解析．
．【解析】（1）方法一：方法二：（2）抛物线
的焦点为
，则，
椭圆的离心率
，解得
，
，
故椭圆的标准方程为
．
显然点
在椭圆内部，故
，且直线的斜率不为
，
当直线的斜率存在且不为时，易知，
设直线的方程为，
代入椭圆方程并化简得：，设，
，
则
，解得．
因为直线是线段
的垂直平分线，故直线
，即：
．
令
，此时
，
，于是直线过定点．
当直线的斜率不存在时，易知
，此时直线
，故直线过定点
．
综上所述，直线过定点．
显然点在椭圆内部，故，且直线的斜率不为
，
当直线的斜率存在且不为时，设
，
，
【备注】1、这道题最终要证明的是直线过定点问题，老师可以再次带学生去回顾直线过定点的判定
方式。

2、想判断m 过定点，只要m 的解析式能化简成点斜式，且只含斜率一个未知量。

3、m 的斜率可以有AB 斜率直接表示，而m 的方程，是由AB 斜率和AB 中点进行表示。

4、这就告诉我们，m 化简后，能不能只含斜率一个未知量，只看AB 斜率和AB 中点能不能用同一个未知量表示。

5、根据我们前面总结的点差法，AB 斜率，与AB 中点M 的横纵坐标有关，而在此题中，M 横坐标为常量，故而AB 斜率可以用只用t 表示。

6、通过这几个步骤的简略分析，我们可以得出，用点差法可以快速解决这个问题。

则有，，
两式相减得，
由线段的中点为，则，，
故直线的斜率．
因为直线是线段的垂直平分线，故直线，
即：．
令，此时，，
于是直线过定点．
当直线的斜率不存在时，易知，此时直线，故直线过定点
．
综上所述，直线过定点．
【标注】【知识点】定点问题
方法应用
（1）
（2）
3.设抛物线，直线与交于，两点．
若，求直线的方程．
点为的中点，过点作直线与轴垂直，垂足为．求证：以为直径的圆必经过一定点，并求出该定点坐标．
【答案】（1）
（2）
直线方程为或．
证明见解析．定点坐标为．
【解析】（1）
（2）
由，消去并整理可得，
显然，
设，，
∴，，
∴，
∴，即，
∴直线方程为或．
设的中点的坐标为，
则，
∴，
∴，
由题意可得，
设为直径的圆经过点，
∴，，
由题意可得，
即，
由题意可得，解得，，
∴定点即为所求．
【标注】【知识点】定点问题；中点弦问题；向量问题；弦长求解问题；直线和抛物线的位置关系
（1）
（2）
4.已知椭圆上的点到左右两焦点，的距离之和为，离心率为
．
求椭圆的方程．
过右焦点的直线交椭圆于，两点．若轴上一点满足，求直线
斜率的值．
【答案】（1）
（2）
．
或或．
【解析】（1）
（2）
，
∴．
又，，
∴，
∴椭圆的标准方程为．
①已知，
设直线的方程为，，
线段的中点，
联立直线与椭圆方程，
化简得：，
∴，
解得，
．
∴的中点坐标为，
时，满足条件，此时的中垂线为；
当时，
∵，
∴，
，
整理得，解得或或．
【标注】【知识点】椭圆的标准方程；中点弦问题
（1）
（2）
5.已知椭圆：（）的离心率为，直线交椭圆于、两点，椭圆
的右顶点为，且满足．
求椭圆的方程；
若直线（，）与椭圆交于不同两点、，且定点满足，求实数的取值范围．
【答案】（1）
（2）
椭圆的方程为．
实数的取值范围．
【解析】（1）
（2）
∵，
∴，
又，
∴，
∴，
∴椭圆的方程为．
由消去整理得：，
∵直线与椭圆交于不同的两点、，
∴，
整理得，
设，，
则，
又设中点的坐标为，
∴，，
∵，
∴，即，
∴，
∴，解得，
∴实数的取值范围．
【标注】【知识点】最值问题
（1）
（2）
6.在平面直角坐标系中，已知椭圆的左，右焦点分别为，，
．是椭圆上任意一点，满足．
求椭圆的标准方程．
设直线与椭圆相交于，两点，且，为线段的中点，求的最大值．
【答案】（1）
（2）
．
．
【解析】（1）
（2）
由椭圆的定义，得．
∴．
由，得．
∴．
∴椭圆的标准方程为．
设，，
由，得．
∴，，．
∴，．
由，
化简，得．
∴．
令，则
，当且仅当
时取等号．
∴．
∴，当且仅当时取等号．
【标注】【知识点】弦长求解问题；最值问题；中点弦问题；椭圆的标准方程；直线和椭圆的位置关系
四、方法回顾
方法你学会了吗？来总结一下吧！
【备注】方法回顾的重点是带学生梳理方法步骤，方法回顾尽量交给学生去梳理步骤，老师进行修正，如果学生基础较差，老师可在这个环节再帮学生做一次总结梳理。

五、出门测
（1）
（2）
7.已知椭圆的中心在原点，焦点为，，且离心率．
求椭圆的方程．
求以点为中点的弦所在的直线方程．
【答案】（1）
（2）
．
．
【解析】（1）设椭圆方程为，
方法一：方法二：（2）由已知，又，
解得
，所以
，
故所求方程为．
由题知直线的斜率存在且不为，
所以设直线方程，
代入椭圆方程得，
即，则
，解得．
故直线方程是，
即
．
由题知直线的斜率存在且不为，设直线与椭圆相交，
，
代入椭圆方程得：
，
两式作差得，
即
且
，
，∴
，
所以直线方程的斜率为，
直线方程为
．【标注】【知识点】直线和椭圆的位置关系；椭圆的标准方程；中点弦问题。