第3讲 图形计数.含答案.3年级数学.尖子班.秋季.教师版

1． 图形规律问题分三步考虑：1）图形的基本组成的确定；2）图形变化规律确定；3）缺失图形确定。

2． 图形基本组成的确定需注意的要点：图形的形状、颜色、位置、大小、数量等。

3． 图形计数的关键在于找出常见的计数依据，通常把复杂的计数问题转化成简单的线段计数最为常用。

4． 图形计数基本公式：
1） 一条线段上有n 个点（包含线段的两个端点），那么这条线段共包含的线段数为：
121(1)2n n n ++--÷…+（）=条。

2） 两条共端点的射线确定一个角（大于0︒小于180︒），假设由某点引出n 条射线（任意两条射线均
不在同一直线上），那么这n 条射线可以确定的角（大于0︒小于180︒）的个数为(1)2n n -÷条。

3） 网格状图形中，长方形（包含正方形）的个数，等于相邻两条边上线段数的乘积。

4） 一般的，一个长方形的长被分成n 等份，宽被分成m 等份（n m >，每小格均为相等的正方形），
那么这个长方形中正方形的总数为：(1)(1)(2)(2)(1)1mn n m n m n m +--+--++-+⨯
【例1】 请数出下图中线段的总条数。

【分析】法1：我们规定：把相邻两点间的线段叫做基本线段，我们可以这样分类数：
由1条基本线段构成的线段有：AB 、BC 、CD 、DE 、EF 5条 ．
由2条基本线段构成的线段有：AC 、BD 、CE 、DF 4条．
由3条基本线段构成的线段有：AD 、BE 、CF 3条．
由4条基本线段构成的线段有：AE 、BF 2条．
由5条基本线段构成的线段有：AF 1条．
总数5432115++++=条．
法2：按线段的起点分类（注意保持方向的一致），如右图
以A 点为共同左端点的线段有：AB 、AC 、AD 、AE 、AF 5条．
以B 点为共同左端点的线段有：BC 、BD 、BE 、BF 4条．
以C 点为共同左端点的线段有：CD 、CE 、CF 3条．
以D 点为共同左端点的线段有：DE 、DF 2条．
以E 点为共同左端点的线段有：EF 1条．
总数5432115++++=条．
法3：线段AF 上共有6个点，那么应该共有65215⨯÷=条线段。

第三讲
图形计数
【小结】两点确定一条线段，假设某条线段上有n个点（包含线段的两个端点），那么这条线段共包含的线段数为(1)2
n n-÷条。

【例2】数一数下图一共有多少条线段？
【分析】横向线段：1(21)(321)(4321)(54321)(654321)56
++++++++++++++++++++=（条）；
同样的，斜向左与斜向右的线段条数也均为56条，那么此图形线段总数为：563168
⨯=（条）。

【例3】数一数下图中共有多少条线段？
【分析】横线段：(654321)3(54321)1(4321)298
+++++⨯+++++⨯++++⨯=（条）；
竖线段：(54321)2(4321)3(321)1(21)272
++++⨯++++⨯+++⨯++⨯=（条）；
因此总线段条数为：9872170
+=（条）。

【例4】数一数下图中共有多少个三角形？
【分析】图中所有三角形必然都含有顶点A，且必有一条边在BC上，所以三角形的个数应该等于BC边上的线段数。

BC边上线段数为76221
⨯÷=（条），所以共有21个三角形。

【例5】下图中共有几个三角形？
图1-5-2 图1-5-3
【分析】首先为图形编号，如图153
--,定义编号的三角形为基本图形。

由一个基本图形构成的三角形有：(1)(2)(4)(5)(6)共5个；
由两个基本图形构成的三角形有：(12)(24)(23)(45)(35)(56)
++++++共6个；
由三个基本图形构成的三角形有：(124)(456)
++++共2个；
由四个基本图形构成的三角形有：(2345)
+++共1个。

所以共有三角形562114
+++=个。

【例6】数一数下面两个图形中各有多少个三角形？
a
【分析】每一个如图a 的图形中含有5个三角形，而题中的图形中有4个这样的图形，另外再加上其他单
独的三角形有10个，那么题中的图形的三角形个数为：541030⨯+=（个）。

【例7】 【超常】下图中有多少个长方形？
【分析】图中长方形个数为(322)(872)84⨯÷⨯⨯÷=（个）。

【小结】网格状图形中，长方形（包含正方形）的个数，等于相邻两条边上线段数的乘积。

【超2】下图中有多少个长方形？
【分析】把图中的长方形分为三部分来计算：
1)去掉长方形EFGH 后图中有长方形：(1234)(12)30+++⨯+=（个）；
2)去掉长方形ABCD 后图中长方形的个数也为30（个）；
3)两部分共同构成的长方形有12（个）；
因此，图中长方形的总数为：30301272++=（个）。

【超1】下图中有多少个长方形？
F J I H
G B
C D E
A
【分析】长方形ABCD 中包含的长方形个数为：652⨯÷⨯⨯÷（）（432）=90（个）；加上EF GH 、之后增加
的长方形个数为：⨯（2+1）（6+6+1）=39（个）；最后再加上IJ 之后又增加的长方形个数为：
4⨯⨯÷（542）=40（个）；综上可得，此图形中包含的长方形总数为：903940169++=（个）。

【例8】 【提高】数一数：下图中有几个正方形？
【分析】法1：设最小的基本正方形边长为1，那么边长为1的正方形有12个，边长为2的正方形有6个，边长为3的正方形有2个，共20个．即43322120
⨯+⨯+⨯=（个）。

法2：长方形的长被分成4等份，宽分成3等份，那么正方形总数为：43322120
⨯+⨯+⨯=（个）【小结】一般的，一个长方形的长被分成n等份，宽被分成m等份（n m
>），那么这个长方形中正方形的总数为：(1)(1)(2)(2)(1)1
+--+--++-+⨯（个）。

mn n m n m n m
【超2】下图中有多少个正方形？
【分析】定义其中最小的正方形边长为1，那么按照正方形的边长大小分类计数：边长为1的正方形个数为
⨯+=个；边长为3的正方形个数为224⨯+=个；边长为2的正方形个数为33211
44420
⨯=个；
边长为4的正方形个数为111
+++=个。

⨯=个；综上可得，图中正方形总数为20114136
【超1】如图182
--所示，平面上有16个点，每个点上都钉上钉子，形成44
⨯的正方形钉阵，现在有足够的橡皮筋，请问能在这个正方形钉阵上套出多少个正方形？
图1-8-2
【分析】由于正方形需要我们确定之后再数出来，那么首先我们要考虑的是如何确定正方形的边长和顶点。

如图a所示的正方形可以套出222
32114
++=（个），除此之外，我们还能套出如图b所示的正方形4个，以及如图c所示的正方形2个，那么可得此正方形钉阵共可套出正方形144220
++=（个）。

【练习1】数一数，下图中共有多少条线段？
【分析】水平方向，有(12)39
+⨯=
+⨯=（条），两条对角线上有(12)26
+⨯=（条），竖直方向有(12)39
（条）线段，所以共有99624
++=（条）线段。

【练习2】数一数下图中共有多少个三角形？
【分析】图中所有三角形必然都含有顶点A，且必有一条边在BC或者EF上，BC以及EF边上线段数均为76221
⨯÷=（条），因此图中三角形个数为21242
⨯=（条）。

【练习3】请问下图有多少条线段？
【分析】五角星每条边上都有6条线段，那么除去相接的那条线段，两个五角星各24条线
段，而两个五角星相接的那条线段上有76221
⨯÷=（条），由此可得此图共有线段
24242169
++=（条）。

【练习4】数一数下图一共有多少条线段？
【分析】五角星的每条边上有3216
⨯=条线段，加上外部的五边形，
++=条线段，那么整个五角星有6530
此图形共有线段30535
+=（条）。

【练习5】【超常】数一数：下图中有几个长方形（包括正方形）？
【分析】AD（或BC）边上的4326
⨯÷=条线段中每一条对应的长方形的个数均为CD（或AB）边上的线段个数54210
⨯=（个）。

⨯÷=个，也就是说整个图形中的长方形个数为10660
【超2】如下图所示，在边长为1的小正方形组成的44
⨯方格图中，共有25个格点.在以格点为顶点的直角三角形中，两条直角边长分别是1和3的直角三角形共有________个.
【分析】如图中所示横向边长为3纵向边长为1且短边在右侧的直角三角形个数为24216⨯⨯=，短边的方
向有上下左右四种，因此符合题意的直角三角形共有16464⨯=（个）。

【超1】下图中共有多少个正方形？
【分析】水平方向的正方形有：由一个小正方形组成的正方形有8个，由四个小正方形组成的正方形有2个； 倾斜的正方形有：由一个小正方形组成的正方形有9个，由四个小正方形组成的正方形有4个，由
九个小正方形组成的正方形有1个。

那么此图总共有正方形8294124++++=（个）。

【练习6】 【超常】图171--中有多少个长方形（包括正方形）？
【分析】 图中长方形个数为：542⨯÷⨯⨯÷（）（432）=60（个）
；
【超2】图中有多少个长方形（包括正方形）？
【分析】添加一条线段后（如图1-7-1）增加了5个长方形；共60+5=65
【超1】图中有多少个长方形（包括正方形）？
【分析】法1：按所含宽边的线段长度分类统计：
以AB 为宽边长度的长方形有：6(61)215⨯-÷=（个）；
以BC 为宽边长度的长方形有：5(51)210⨯-÷=（个）；
以CD 为宽边长度的长方形有：7(71)221⨯-÷=（个）；
以AC 为宽边长度的长方形有：5(51)210⨯-÷=（个）；
以BD 为宽边长度的长方形有：5(51)210⨯-÷=（个）；
以AD 为宽边长度的长方形有：5(51)210⨯-÷=（个）；
由此可得图中长方形总数为：15102110101076+++++=（个）。

法2：再增加两条线段后（如原图171--）增加了5611+=（个）长方形；
由此可得图中长方形总数为：6051176++=（个）。

图1-7-2
图1-7-3
图1-7-1
课后补充
【补充1】数一数，图154
--中共有多少个锐角?你能用两种方法解答这个问题么？
图1-5-4 图1-5-5
【分析】法1：我们规定：由相邻两条射线构成的角叫做基本角，我们可以这样分类数：
由1个基本角构成的角有：AOB
∠共5个．
∠、EOF
∠、COD
∠、DOE
∠、BOC
由2个基本角构成的角有：AOC
∠、DOF
∠共4个．
∠、COE
∠、BOD
由3个基本角构成的角有：AOD
∠共3个．
∠、COF
∠、BOE
由4个基本角构成的角有：AOE
∠共2个．
∠、BOF
由5个基本角构成的角有：AOF
∠共1个．
因此，角总数为：5432115
++++=(个)．
法2：以角的起始边分类（注意保持方向的一致）：
以OA边为公共边的角有：AOB
∠共5个．
∠、AOF
∠、AOC
∠、AOD
∠、AOE
以OB边为公共边的角有：BOC
∠共4个．
∠、BOE
∠、BOF
∠、BOD
以OC边为公共边的角有：COD
∠共3个．
∠、COE
∠、COF
以OD边为公共边的角有：DOE
∠共2个．
∠、DOF
以OE边为公共边的角有：EOF
∠只1个．
因此，角总数为：5432115
++++=(个)．
法3：在图中添加一条线，如图155
--所示，此时以O为顶点的三角形有多少个，就有多少个角，所以角的个数为1234515
++++=（个）。

【小结】两条共端点的射线确定一个角（大于0︒小于180︒），假设由某点引出n条射线，那么这n条射线可以确定的角（大于0︒小于180︒）的个数为(1)2
n n-÷条。

【补充2】下图中共有几个三角形？
【分析】如右上图所示为图形标号，定义标号的三角形为基本三角形。

可知：
由一个基本三角形构成的三角形有12个；
由两个基本三角形构成的三角形有12个；
由三个基本三角形构成的三角形有6个；
由四个基本三角形构成的三角形有9个；
由五个基本三角形构成的三角形有0个；
由六个基本三角形构成的三角形有7个；
由七到十一个基本三角形构成的三角形均为0个；
由十二个基本三角形构成的三角形有1个；
由此可知，此图形共有三角形1212697147
+++++=（个）。

【补充3】数一数下图中共有多少条线段？
【分析】横线段：(654321)3(54321)1(4321)298
+++++⨯+++++⨯++++⨯=（条）；
竖线段：(54321)2(4321)3(321)1(21)272
++++⨯++++⨯+++⨯++⨯=（条）；
因此总线段条数为：9872170
+=（条）。

【补充4】数一数下面两个图形中各有多少个三角形？
【分析】图(1)有2(432)12
⨯⨯÷=(个)三角形；
由于线段DE下移与三角形顶点相接，图(2)比图(1)多了3个三角形，那么图(2)有12315
+=（个）三角形。

【补充5】数一数下图共有多少个三角形？
【分析】上图可以分成两部分来看，以最上面一点作为公共顶点的三角形包含在图1和图2中，个数为⨯÷+⨯÷=（个），以右边一点作为公共顶点同时不含有最上面一点的三角形如图3所
54243216
示，个数为3（个），所以原图中共有三角形个数为16319
+=（个）。