山东省滨州市2019中考数学 第三章 函数 第六节 二次函数的综合应用习题

第六节 二次函数的综合应用
姓名：________ 班级：________ 用时：______分钟
1．(2018·衡阳中考)如图，已知直线y ＝－2x ＋4分别交x 轴、y 轴于点A ，B ，抛物线过A ，B 两点，点P 是线段AB 上一动点，过点P 作PC⊥x 轴于点C ，交抛物线于点D.
(1)若抛物线的解析式为y ＝－2x 2
＋2x ＋4，设其顶点为M ，其对称轴交AB 于点N. ①求点M ，N 的坐标；
②是否存在点P ，使四边形MNPD 为菱形？并说明理由；
(2)当点P 的横坐标为1时，是否存在这样的抛物线，使得以B ，P ，D 为顶点的三角形与△AOB 相似？若存在，求出满足条件的抛物线的解析式；若不存在，请说明理由．
2．(2018·枣庄中考)如图1，已知二次函数y ＝ax 2
＋32x ＋c(a≠0)的图象与y 轴交于点A(0，4)，与x 轴
交于点B ，C ，点C 坐标为(8，0)，连接AB ，AC. (1)请直接写出二次函数y ＝ax 2
＋32x ＋c 的解析式；
(2)判断△ABC 的形状，并说明理由；
(3)若点N 在x 轴上运动，当以点A ，N ，C 为顶点的三角形是等腰三角形时，请写出此时点N 的坐标； (4)如图2，若点N 在线段BC 上运动(不与点B ，C 重合)，过点N 作NM∥AC，交AB 于点M ，当△AMN 面积最大时，求此时点N 的坐标．
图1
图2
3.(2018·随州中考)如图1，抛物线C1：y＝ax2－2ax＋c(a＜0)与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C.已知点A的坐标为(－1，0)，点O为坐标原点，OC＝3OA，抛物线C1的顶点为G.
(1)求出抛物线C1的解析式，并写出点G的坐标；
(2)如图2，将抛物线C1向下平移k(k＞0)个单位，得到抛物线C2，设C2与x轴的交点为A′，B′，顶点为G′，当△A′B′G′是等边三角形时，求k的值；
(3)在(2)的条件下，如图3，设点M为x轴正半轴上一动点，过点M作x轴的垂线分别交抛物线C1，C2于P，Q两点，试探究在直线y＝－1上是否存在点N，使得以P，Q，N为顶点的三角形与△AOQ全等，若存在，直接写出点M，N的坐标：若不存在，请说明理由．
4．(2018·江西中考)小贤与小杰在探究某类二次函数问题时，经历了如下过程：
求解体验：
(1)已知抛物线y＝－x2＋bx－3经过点(－1，0)，则b＝________，顶点坐标为________，该抛物线关于点(0，1)成中心对称的抛物线表达式是________．
抽象感悟：
我们定义：对于抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，以y轴上的点M(0，m)为中心，作该抛物线关于点M对称的抛物线y′，则我们又称抛物线y′为抛物线y的“衍生抛物线”，点M为“衍生中心．
(2)已知抛物线y＝－x2－2x＋5关于点(0，m)的衍生抛物线为y′，若这两条抛物线有交点，求m的取值
范围． 问题解决：
(3)已知抛物线y ＝ax 2
＋2ax －b(a≠0)．
①若抛物线y 的衍生抛物线为y′＝bx 2
－2bx ＋a 2
(b ≠0)，两抛物线有两个交点，且恰好是它们的顶点，求a ，b 的值及衍生中心的坐标；
②若抛物线y 关于点(0，k ＋12
)的衍生抛物线为y 1，其顶点为A 1；关于点(0，k ＋22
)的衍生抛物线为y 2，其顶点为A 2；…；关于点(0，k ＋n 2
)的衍生抛物线为y n ，其顶点为A n ；…(n 为正整数)．求A n A n ＋1的长(用含n 的式子表示)．
参考答案
1．解：(1)①如图，
∵y＝－2x 2
＋2x ＋4＝－2(x －12)2＋92，
∴顶点M 的坐标为(12，9
2)．
当x ＝12时，y ＝－2×1
2＋4＝3，
则点N 的坐标为(1
2，3)．
②不存在．理由如下：
MN ＝92－3＝32
.
设P 点坐标为(m ，－2m ＋4)，则D(m ，－2m 2
＋2m ＋4)， ∴PD＝－2m 2
＋2m ＋4－(－2m ＋4)＝－2m 2
＋4m. ∵PD∥MN，
当PD ＝MN 时，四边形MNPD 为平行四边形， 即－2m 2
＋4m ＝32，解得m 1＝12(舍去)，m 2＝32，
此时P 点坐标为(3
2，1)．
∵PN＝
（12－32
）2＋（3－1）2
＝5，∴PN≠MN， ∴平行四边形MNPD 不为菱形， ∴不存在点P ，使四边形MNPD 为菱形． (2)存在． 如图，
OB ＝4，OA ＝2，则AB ＝22
＋42
＝2 5. 当x ＝1时，y ＝－2x ＋4＝2，则P(1，2)， ∴PB＝12
＋（2－4）2
＝ 5. 设抛物线的解析式为y ＝ax 2
＋bx ＋4，
把A(2，0)代入得4a ＋2b ＋4＝0，解得b ＝－2a －2， ∴抛物线的解析式为y ＝ax 2－2(a ＋1)x ＋4.
当x ＝1时，y ＝ax 2
－2(a ＋1)x ＋4＝a －2a －2＋4＝2－a ，则D(1，2－a)， ∴PD＝2－a －2＝－a. ∵DC∥OB，∴∠DPB＝∠OBA，
∴当PD BO ＝PB BA 时，△PDB∽△BOA，即－a 4＝525，
解得a ＝－2，
此时抛物线的解析式为y ＝－2x 2
＋2x ＋4； 当
PD BA ＝PB BO 时，△PDB∽△BAO，即－a 25＝54
，
解得a ＝－5
2
，
此时抛物线的解析式为y ＝－52
x 2
＋3x ＋4.
综上所述，满足条件的抛物线的解析式为y ＝－2x 2
＋2x ＋4或y ＝－52x 2＋3x ＋4.
2．解：(1)y ＝－14x 2＋3
2
x ＋4.
提示：∵二次函数y ＝ax 2
＋32
x ＋c 的图象与y 轴交于点A(0，4)，与x 轴交于点B ，C ，点C 坐标为(8，0)，
∴⎩⎪⎨⎪⎧c ＝4，64a ＋12＋c ＝0，解得⎩⎪
⎨
⎪⎧a ＝－1
4，c ＝4，
∴抛物线的解析式为y ＝－14x 2＋3
2x ＋4.
(2)△ABC 是直角三角形．理由如下： 令y ＝0，则－14x 2＋3
2x ＋4＝0，
解得x 1＝8，x 2＝－2， ∴点B 的坐标为(－2，0)．
在Rt △ABO 中，AB 2
＝BO 2
＋AO 2
＝22
＋42
＝20， 在Rt △AOC 中，AC 2
＝AO 2
＋CO 2
＝42
＋82
＝80. 又∵BC＝OB ＋OC ＝2＋8＝10，
∴在△ABC 中，AB 2
＋AC 2
＝20＋80＝102
＝BC 2
， ∴△ABC 是直角三角形．
(3)∵A(0，4)，C(8，0)，∴AC＝42
＋82
＝4 5.
①以A 为圆心，以AC 长为半径作圆，交x 轴于点N ，此时N 的坐标为(－8，0)；
②以C 为圆心，以AC 长为半径作圆，交x 轴于点N ，此时N 的坐标为(8－45，0)或(8＋45，0)； ③作AC 的垂直平分线，交x 轴于点N ，此时N 的坐标为(3，0)．
综上所述，若点N 在x 轴上运动，当以点A ，N ，C 为顶点的三角形是等腰三角形时，点N 的坐标分别为(－8，0)，(8－45，0)，(8＋45，0)，(3，0)． (4)设点N 的坐标为(n ，0)，则BN ＝n ＋2. 如图，过点M 作MD⊥x 轴于点D ，
∴MD∥OA，∴△BMD∽△BAO，
∴
BM BA ＝MD OA
. ∵MN∥AC，∴BM BA ＝BN BC ，∴MD OA ＝BN
BC
.
∵OA＝4，BC ＝10，BN ＝n ＋2，∴MD＝2
5(n ＋2)．
∵S △AMN ＝S △ABN －S △BMN ＝12BN·OA－1
2BN·MD
＝12(n ＋2)×4－12×25(n ＋2)2
＝－15(n －3)2
＋5，
当n ＝3时，S △AMN 最大，
∴当△AMN 面积最大时，N 点坐标为(3，0)． 3．解：(1)∵点A 的坐标为(－1，0)，∴OA＝1. ∵OC＝3OA ，∴点C 的坐标为(0，3)． 将A ，C 点坐标代入y ＝ax 2
－2ax ＋c 得
⎩⎪⎨⎪⎧a ＋2a ＋c ＝0，c ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，c ＝3，
∴抛物线C 1的解析式为y ＝－x 2＋2x ＋3＝－(x －1)2
＋4， ∴点G 的坐标为(1，4)．
(2)设抛物线C 2的解析式为y ＝－x 2
＋2x ＋3－k ， 即y ＝－(x －1)2
＋4－k.
如图，过点G′作G′D⊥x 轴于点D ，设B′D＝m.
∵△A′B′G′为等边三角形， ∴G′D＝3B′D＝3m ，
则点B′的坐标为(m ＋1，0)，点G′的坐标为(1，3m)． 将点B′，G′的坐标代入y ＝－(x －1)2
＋4－k 得
⎩⎨
⎧－m 2
＋4－k ＝0，4－k ＝3m ，解得⎩⎪⎨⎪⎧m 1＝0，
k 1＝4(舍)或⎩⎨⎧m 2＝3，k 2＝1，
∴k＝1. (3)存在．
M 1(
1＋132，0)，N 1(13，－1)；M 2(1＋13
2
，0)，N 2(1，－1)；M 3(4，0)，N 3(10，－1)；M 4(4，0)，N 4(－2，－1)．
4．解：(1)－4 (－2，1) y ＝x 2
－4x ＋5 (2)∵抛物线y ＝－x 2
－2x ＋5＝－(x ＋1)2
＋6，① ∴抛物线的顶点坐标为(－1，6)． 抛物线上取点(0，5)，
∴点(－1，6)和(0，5)关于点(0，m)的对称点为(1，2m －6)和(0，2m －5)， 设衍生抛物线为y′＝a(x －1)2
＋2m －6， ∴2m－5＝a ＋2m －6， ∴a＝1，
∴衍生抛物线y′＝(x －1)2
＋2m －6＝x 2
－2x ＋2m －5.② 联立①②得x 2
－2x ＋2m －5＝－x 2
－2x ＋5， 整理得2x 2
＝10－2m. ∵这两条抛物线有交点， ∴10－2m≥0，∴m≤5.
(3)①抛物线y ＝ax 2
＋2ax －b ＝a(x ＋1)2
－a －b ， ∴此抛物线的顶点坐标为(－1，－a －b)．
∵抛物线y 的衍生抛物线为y′＝bx 2
－2bx ＋a 2
＝b(x －1)2
＋a 2
－b ， ∴此函数的顶点坐标为(1，a 2
－b)．
∵两个抛物线有两个交点，且恰好是它们的顶点，
∴⎩
⎪⎨⎪⎧b ＋2b ＋a 2
＝－a －b ，a ＋2a －b ＝a 2
－b ， ∴a＝0(舍)或a ＝3，∴b ＝－3，
∴抛物线y 的顶点坐标为(－1，0)，抛物线y 的衍生抛物线y′的顶点坐标为(1，12)， ∴衍生中心的坐标为(0，6)．
②抛物线y ＝ax 2
＋2ax －b 的顶点坐标为(－1，－a －b)．
∵点(－1，－a －b)关于点(0，k ＋n 2
)的对称点为(1，a ＋b ＋2k ＋2n 2
)， ∴抛物线y n 的顶点坐标A n 为(1，a ＋b ＋2k ＋2n 2
)． 同理A n ＋1(1，a ＋b ＋2k ＋2(n ＋1)2
)，
∴A n A n ＋1＝a ＋b ＋2k ＋2(n ＋1)2
－(a ＋b ＋2k ＋2n 2
)＝4n ＋2.。