边缘概率密度的一种解释及应用研究

信息系统工程 │ 2019.12.20
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ACADEMIC RESEARCH 学术研究
摘要：论文仿照物理中的线体密度、线体质量的概念对二维连续型随机变量的边缘概率密度、边缘概率密度在一点处的函数值做出一种解释，给出求解二维均匀分布边缘概率密度的一种方法，应用实例表明论文中的方法形象直观且行之有效。

关键词：边缘概率密度；二维均匀分布；线体密度；线体质量；线体长度
一、前言
概率论与数理统计是研究随机现象统计规律性的数学学科，是高等学校本科各专业的一门重要的基础理论课。

对于初学者，经常会碰到一些难以理解的概念，概念是数学课程中最基本的内容，对概念的理解程度直接影响着学生对该课程的学习和掌握。

教学实践表明，在学习边缘概率密度时，学生普遍感觉难度较大。

即使给出求解二维连续型随机变量边缘概率密度的确定步骤，对哪个变量进行分情况讨论，对哪个变量进行积分，以及如何确定积分上下限，并给出详细且具体的操作步骤，学生也只是比葫芦画瓢，题目稍作变化，学生便不能灵活处理。

究其原因，还是概念混淆不清，知其然不知所以然，所以无法学以致用。

而条件概率密度的求解及随机变量独立性、相关性的判定等问题都需要先求出边缘概率密度，所以边缘概率密度的学习非常重要。

如果仿照物理中的线体密度、线体质量的概念对二维随机变量的边缘概率密度、边缘概率密度在一点处的函数值做出形象的解释会有事半功倍之效。

二、边缘概率密度的定义及物理解释
定义1[1]
：对于二维随机变量（,X Y （
））的分布函数，如
果存在非负可积函数
使对任意的有：
则称（
,X Y （）
）为二维连续型随机变量，函数称为
（
,X Y ））的联合概率密度函数。

定义2[1]
：对于连续型随机变量（
,X Y （）），已知其联合概率密度为，则X 为连续型随机变量，
称为（
,X Y （））关于x 的边缘概率密度，同
样Y 也是一个连续型随机变量，称为（
,X Y （））关于y 的边缘概率密度。

（
,X Y （））的联合概率密度的含义类似于物理中的面密度，可以解释为把单位质量按密度函数给定的值分布于xoy 平面。

（
,X Y （））关于X 的边缘概率密度的物理解释：假设平面薄片可以将其沿着平行x 轴的方向卷起，使其成为一根细棒，将其放置在x 轴上，且所占区间为[,]a b ，则当[,]x a b ∈时，
即为该细棒的线密度；当[,]x a b ∉时，，事实
上
在点x 处的函数值为xoy 平面上横坐标为x 的全体
点构成的线体的质量，记为。

同理，（,X Y （
））关于Y 的边缘概率密度的物理解释：假设平面薄片可以将其沿着平行
y 轴的方向卷起，使其成为一根细棒，将其放置在y 轴上，
且所占区间为[,]c d ，则当[,]y c d ∈时，即为该细棒的线密度；当[,]y c d ∉时，，事实上
在点y 处的函数
值为xoy 平面上横坐标为y 的全体点构成的线体的质量，记
为。

三、二维均匀分布边缘概率密度的一种求法及应用举例
定义3[1]：设G 是平面上的有界区域，其面积为S 。

若二维随机变量（,X Y （
）
）具有概率密度函数：则称（,X Y （
））在G 上服从均匀分布。

根据边缘密度的物理解释，求（
,X Y （））关于x 的边
缘概率密度，即求横坐标
x 为的点构成的线体的质
量。

（
,X Y （））在G 上服从均匀分布，在区域G 上每一点都是等密度的，故线体的质量
为线体的长度
乘以密度；区域G 上外的每一点密度为零，故。

即
，其中] ,[b a 为G 在x 轴上的投影区间，
同理：
，
] ,[d c 为G 在y 轴上的投影区间。

结合上述讨论，给出求解二维均匀分布（
,X Y （））关于x 的边缘概率密度
的一种有效的方法。

第一步，将区域G 向x 轴投影，得投影区间] ,[b a 。

第二步，在] ,[b a 上任选一点x ，过x 点作y 轴的平行线。

假设于区域G 交于两点，求出这两点的距离，记为横坐标为的点构成的线体的长度。

第三步，写出。

同理，求二维均匀分布（,X Y （））关于y 的边缘概率密度，做法如下：
第一步，将区域G 向y 轴投影，得投影区间] ,[d c 。

第二步，在] ,[d c 上任选一点y ，过x 点作x 轴的平行线。

假设于区域G 交于两点，求出这两点的距离，记为横坐标为
y 的点构成的线体的长度。

第三步，写出。

边缘概率密度的一种解释及应用研究
何 俊 时文俊
◆
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例1[2]设随机变量（
,X Y （））具有概率密度，
求X 和Y 的边缘概率密度。

解：由于
的面积1S =，在x 轴
上的投影区间为[0, 1]
，；在y 轴上的投
影区间为[1,1]−，
故：
注：其中随机变量（
,X Y （））的联合概率密度不为零的区域G 关于x 轴对称，求得的关于Y 的边缘概率密度
为
偶函数。

例2
设随机变量（
,X Y （））在曲线2y x =和y x =所围成的
区域G 上服从均匀分布，求X 和Y 的边缘概率密度。

（参考文献[1]）
解：由于G
的面积
，G 在x 轴、y 轴
上的投影区间都为[0,1]，且
，故：
四、 二维均匀分布的几个结论
将
在点
x 处的函数值解释为xoy 平面上横坐标
为x 的全体点构成的线体的质量；
在点y 处的函数值
解释为xoy 平面上横坐标为y 的全体点构成的线体的质量。

那么对于二维均匀分布，求关于X 和Y 的边缘概率密度的关键便是求出xoy 平面上横坐标为x 的全体点构成的线体的长
度
和横坐标为y
的点构成的线体的长度。

如果
=常数，则二维均匀分布（
,X Y （））关于X 的边缘分布
为一维均匀分布；如果=常数，则二维均匀分布（
,X Y （））关于X 的边缘分布为一维均匀分布。

如果为偶函数，
则二维均匀分布（,X Y （））关于X 的边缘概率密度为偶函数；
如果
为偶函数，则二维均匀分布（
,X Y （））关于Y 的边缘概率密度为偶函数[3]。

结论1 若随机变量（,X Y （
））在区域上服从均匀分布，则~[,]X U a b ，],[~d c U Y 。

证明：由于G 的面积()()S b a d c =
−−，在x 轴上的投影
区间为] ,[b a
，
；在y 轴上的投影区间为[,]c d
，故：
即~[,]X U a b ，],[~d c U Y 。

结论2 若随机变量（
,X Y （））在区域上服从均匀分布，则~[,]X U a b 。

证明：由于G
的面积，在x
轴上的投影区间为] ,[b a ，
，故。

结论3 若随机变量（,X Y （））在区域上服从均匀分布，则],[~d c U Y 。

结论4 若随机变量（,X Y （））在区域
上服从均匀分布，则关于X
的边缘概率密度
为偶函数。

注：其中
结论5 若随机变量（,X Y （））在上区域
服从均匀分布，则关于Y 的边缘概率密度
为偶函数。

五、结语
通过对二维连续型随机变量的边缘概率密度、边缘概率密度在一点处的函数值做出一种物理解释，使学生对边缘概率密度的概念有了更生动的认识。

教学实践表明，在对概念深入理解的基础上，不仅能够快速地掌握本文中给出的求解二维均匀分布的边缘概率密度的“三步法”，而且会根据二维均匀分布的区域特征判别出关于X 、Y 的边缘分布是否服从一维均匀分布。

只要是理解了本文中对边缘概率密度的物理解释，在求解一般二维分布的边缘概率密度时，对哪个变量进行分情况讨论，对哪个变量进行积分，以及如何确定积分上下限，每一步地操作就都很自然，而不再是比葫芦画瓢。

H
参考文献
[1]吴赣昌.概率论与数理统计(经管类·第四版)[M].北京:中国人民大学出版社,2011:61-77.
[2] 鞠桂玲, 单彩虹, 陈平,等. 求边缘概率密度函数的一个有效方法[J].信息系统工程,2018(5):135.
[3]李佳,邓有莲.巧用区域类型求边缘概率和条件概率[J].成都师范学院学报,2016,32(9):117-120.
（基金项目：河南省高等学校青年骨干教师项目
（2017GGJS193），混合式课程项目《线性代数》（SDHHSKC-2018-A08））
（作者单位：郑州升达经贸管理学院应用数学研究所）。