山东省临沂市08—09学年度高三数学上学期期末考试模拟试题 (文科)

山东省临沂市08—09学年度高三上学期
期末考试数学模拟试题
（文科） 2009年1月
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符
合题目要求的．
1．已知集合M={x |01>+x }，N={x |011
>-x
}，则M ∩N=
（ ） A ．{|11}x x -≤< B ．{|1}x x > C ．{|11}x x -<< D ．{|1}x x ≥-
2．函数()f x =
（ ）
A ．［0，1］
B ．（1,1-）
C ．［1-，1］
D ．（,1-∞-）（1，+∞）
3．某林场有树苗30000棵，其中松树苗4000棵．为调查树苗的生长情况，采用分层抽样
的方法抽取一个容量为150的样本，则样本中松树苗的数量为 （ ） A ．30 B ．25 C ．20 D ．15 4．函数3()sin 1()f x x x x R =++∈，若()2f a -=，则()f a 的值为 （ ） A ．3 B ．0 C ．1- D ．2- 5．已知直线m 、n 和平面α、β满足m ⊥n ，α⊥β，α⊥m 则 （ ）
A ．β⊥n
B ．n //β或β⊂n
C ．α⊥n
D ．n ∥α或α⊂n
6．已知{}n a 是等比数列，22=a ,4
1
5=a ，则公比q = （ ）
A ．21
- B ．2- C ．2 D ．2
1
7．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若20,442==S S ，则数列{}n a 的公差=d （ ）
A ．2
B ．3
C ．6
D ．7
8．为得到函数cos()3
y x π
=+
的图象，只需将函数x y sin =的图像
（ ）
A ．向左平移
6π个长度单位 B ．向右平移6π
个长度单位 C ．向左平移65π个长度单位 D ．向右平移6
5π
个长度单位
9．若过点)0,4(A 的直线l 与曲线1)2(22=+-y x 有公共点，则直线l 的斜率的取值范围为 （ ）
A ．[
B ．()
3,3-
C ． [
D ．)33
,33(-
10．如图，模块①－⑤均由4个棱
长为1的小正方体构成，模块⑥由15个棱长为1的小正方体构成．现从模块①－⑤中选出三个放到模块⑥上，使得模块⑥成为一个棱长为3的大正方体．则下列选择方案中，能够完成任务的为（ ） A ．模块①，②，⑤ B ．模块①，③，⑤ C ．模块②，④，⑥ D ．模块③，④，⑤
15题
11．已知函数x x x f cos )(2-=，对于⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡-2,2ππ上的任意21,x x ，有如下条件： ①21x x >；
②22
21x x >； ③21x x >．
其中能使)()(21x f x f >恒成立的条件序号是
（ ） A ．①② B ．② C ．②③ D ．③ 12．关于x 的方程a a x +=22在]1,(-∞上有解，则实数a 的取值范围是
（ ）
A ．]2,1)
(0,1⎡--⎣ B ．]]2,1(0,1⎡--⎣C ．]2,1)(0,2⎡--⎣D ．[]2,1)
0,2⎡--⎣
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．
13．已知x 、y 满足条件：⎪⎩
⎪
⎨⎧-≥≤+≤11y y x x
y ，则2z x y =+的最大值为 .
14．已知21F F 、为椭圆
19
252
2=+y x 的两个焦点，过1F 的直线交椭圆于A 、B 两点若1222=+B F A F ，则AB =______________。

15．阅读如右图的程序框图，若输入4=m ，3=n ，则输出=a .
16．对于以下四个命题：
①若函数)1,0(log )(≠>=a a x x f a 在其定义域内是减函数，则02log <a ； ②设函数)0(121
2)(<-+=x x
x x f ，则函数)(x f 有最小值1；
③若向量(1,)a k =，(2,6)b =-，//a b ，则3k =-； ④函数2(sin cos )1y x x =+-的最小正周期是2π. 其中正确命题的序号是______________.
19题图
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分）
已知函数21
()sin
cos cos 2222
x x x f x =+-.
（Ⅰ）若()f α=
，(0,)απ
∈，求α的值； （Ⅱ）求函数()f x 在[,]4
π
π-上最大值和最小值.
18．（本小题满分12分）
如图，三棱柱111ABC A B C -的所有棱长都相等，且1A A ⊥底面ABC ，D 为1CC 的中
点，11AB A B 与相交于点,O 连结
OD （Ⅰ）求证：OD ∥ABC 平面
（Ⅱ）求证：1AB ⊥平面1A B D ．
19．（本小题满分12分）
某班50名学生在一次百米测试中，成绩全部介于13秒与18秒之间，将测试结果按如
下方式分成五组：每一组[)14,13；第二组[)15,14……第五组[]18,17．下图是按上述分组方法得到的频率分布直方图.
（I ）若成绩大于或等于14秒且小于16秒
认为良好，求该班在这次百米测试中 成绩良好的人数；
（II ）设m 、n 表示该班某两位同学的百米
测试成绩，且已知[],13,14)17,18m n ⎡∈⎣. 求事件“1m n ->”的概率.
20．（本小题满分12分）
设数列{}n a 满足当1n >且*
n N ∈时，1111
,145
n n n a a a a --==+且．
（Ⅰ）求证：数列1
{
}n
a 为等差数列； （Ⅱ）设12231
n n n T a a a a a a +=⋅+⋅+
+⋅，是否存在最小的正整数m 使得160
n m
T <对任意的*
n N ∈恒成立。

若存在，求出m 的最小值，若不存，说明理由。

21．（本小题满分12分） 函数2
1()ln 2
f x x a x =
-,已知函数()y f x =的图象在点(2,(2))P f 处的切线方程为:l y x b =+.
(Ⅰ) 求出函数()y f x =的表达式和切线l 方程;
(Ⅱ) 当1
[,]x e e
∈时(其中 2.71828e =),不等式()f x k <恒成立,求实数k 的取值范围.
22．（本小题满分14分）
设12F F 、分别是椭圆14
52
2=+y x 的左、右焦点. （Ⅰ）若P 是该椭圆上的一个动点，求12PF PF ⋅的最大值和最小值；
（Ⅱ）是否存在过点(5,0)A 的
直线l 与椭圆交于不同的两点C D 、，使得22F C F D =？若存在，求直线l 的方程；若不存在，请说明理由.
山东省临沂市08—09学年度高三上学期期末考试
数学模拟试题参考答案（文）
一、选择题：
G
F
E
C 1
B 1
A 1
O
D
C B
A
13．3 14.8 15.12 16.①③. 三 、解答题： 17．（本题12分）
解：（1）212cos 1sin 21)(-++=
x x x f )cos (sin 21x x +=)4
sin(22π
+=x 由题意知 4
2
)4sin(22)(=
+=
πααf 即 21)4sin(=+πα ∵),0(πα∈ 即 )4
5,4(4π
ππ
α∈+ ∴12
76
54
π
αππ
α=
⇒
=
+
-------------------7分 （2）∵ παπ
≤≤-
4
即 4
54
0ππ
α≤
+
≤ ∴2
2
)4()(max ==πf x f ， .21)()(m i n -==πf x f ---------------12分
18．（本题12分）
解：（1）证明1：设G 为AB 的中点，连结OG 、GC ∵ OG //
=
21BB 1 ，DC //
=2
1
BB 1 ∴ OD //= DC ∴OD ∥GC
又 GC ⊂平面ABC ∴OD ∥平面ABC.
证明2：设E 、F 分别为A 1A 、B 1B 的中点，连结 EF 、FD 、DE ，则 EF //
=AB ， DE //
=BC
∴EF ∥平面ABC ，DE ∥平面ABC
∴平面DEF ∥平面ABC 又OD ⊂平面DEF ，
∴OD ∥平面ABC. --------6分 （2）由题意四边形A 1B 1BA 是正方形，则AB 1⊥A 1B.连结AD 、B 1D 易证 Rt ΔADC ≌Rt ΔB 1C 1D ∴AD=B 1D 又O 为AB 1的中点
∴AB 1⊥OD 又OD ⊂平面A 1BD ∴⊥1AB 平面BD A 1.----------------12分
19．（本题12分）
解：（1）由直方图知，成绩在)[16,14内的人数为：2738.05016.050=⨯+⨯（人） 所以该班成绩良好的人数为27人.
（2）由直方图知，成绩在[)14,13的人数为306.050=⨯人，设为x 、y 、z ；
成绩在[)18,17 的人数为408.050=⨯人，设为A 、B 、C 、D . 若[)14,13,∈n m 时，有yz xz xy ,,3种情况；
若[)18,17,∈n m 时，有CD BD BC AD AC AB ,,,,,6种情况； 若n m ,分别在[)14,13和[)18,17内时，
共有12种情况.
所以基本事件总数为21种，事件“1>-n m ”所包含的基本事件个数有12种. ∴P （1>-n m ）=7
42112=
20．（本小题满分12分） 解：（1）根据题意51
1=
a 及递推关系有0≠n a ， 取倒数得：
4111+=-n n a a ，即)1(4111
>=--n a a n n 所以数列⎭
⎬⎫
⎩⎨
⎧n a 1是首项为5，公差为4的等差数列． （2）由（1）可得1
41
+=
n a n 111()4545n T n =
-+160m < 又1111
()454520
n T n =-<+
只需116020
m ≥ 则 8m ≥所以存在最小的正整数m 为8
21．解(Ⅰ)
'()a
f x x x
=-
………….1分 '(2)2122
a
f a ∴=-=⇒= 2
1()2ln 2
f x x x ∴=
-………….3分 (2,(2))P f 点满足21
()2ln 2
f x x x =-,
(2)22ln 2f ∴=-………….4分
因为(2,(2))P f 点在直线y x b =+上,2ln 2b ∴=- ………….6分 ∴直线:2ln 2l y x =- ………….7分
(Ⅱ) 由(Ⅰ) 知2
1()2ln 2f x x x =-
21()2ln 2f x x x ∴=-
,'
2(()x x f x x x x
-+=-=
当'()0f x x =⇒=8分
随x 的变化,'(),()f x f x 的变化如下表:
x
1e
1
(e
)
e
e
'()
f x
小于0 0
大于0
()
f x
2
122e
+
单调减
1ln 2
-
单调增
2
22
e -
………………12分
由表可知当1[,]x e e ∈时,函数()y f x =的最大值为21
22e
+
,………………13分 所以21
22k e
>+………………14分
22．解：（Ⅰ）易知)0,1(),0,1(,1,2,521F F c b a -=∴=== …………2分
设P （x ，y ），则1),1(),1(2
221-+=--⋅---=⋅y x y x y x PF
35
1
1544222+=--
+x x x ………………4分 ]5,5[-∈x ，
0=∴x 当，即点P 的椭圆短轴端点时，21PF ⋅有最小值3；
当5±=x ，即点P 为椭圆长轴端点时，21PF PF ⋅有最大值4 ……6分
（Ⅱ）假设存在满足条件的直线l 易知点A （5，0）在椭圆的外部，当直线的斜率不存
在时，直线l 椭圆无交点，所在直线l 斜率存在，设为k 直线l 的方程为)5(-=x k y ……………………7分
由方程组22
22221(54)5012520054
(5)x y k x k x k y k x ⎧+
=⎪+-+-=⎨⎪=-⎩
，得
依题意2
320(15)0k k ∆=-><<
，得 …………8分 当5
5
55<
<-
k 时，设交点C ),(),(2211y x D y x 、，CD 的中点为R ),(00y x ， 则4
5252,455022
2102221+=+=+=+k k x x x k k x x
.4
520)54525()5(22200+-=-+=-=∴k k
k k k x k y …………10分
又|F 2C|=|F 2D|122-=⋅⇔⊥⇔R F k k l R F
1204204
5251)4520(02
22
222-=-=+-+-
-⋅=⋅∴k k k k k k
k k k R
F …………12分 ∴20k 2=20k 2－4，而20k 2=20k 2－4不成立， 所以不存在直线l ，使得|F 2C|=|F 2D|
综上所述，不存在直线l ，使得|F 2C|=|F 2D| …………14分。