2010年4月西城区抽样测试理科

高三数学试卷（理科）
本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至5页，共150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效。

考试结束后，将本试卷与答题纸一并交回。

第Ⅰ卷（选择题 共40分）
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，选出
符合题目要求的一项.
1. 设集合{1}P x x =>， 2
{0}Q x x x =->，则下列结论正确的是
A ．P Q =
B ．P Q =R
C ．P ⊂≠Q
D ．Q ⊂≠P
2. 函数sin cos y x x =+的最小值和最小正周期分别是
A
．2π B ．2,2π- C
．π
D ．2,π-
3. 设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，246a a +=，则5S 等于
A ．10
B ．12
C ．15
D ．30
4. 甲乙两名运动员在某项测试中的8次成绩如茎叶图所示，12,x x 分别表示甲乙两名运动员这项测试成绩的平均
数，12,s s 分别表示甲乙两名运动员这项测试成绩的标准差，则有
A ．12x x >，12s s <
B ．12x x =，12s s <
C ．12x x =，12s s =
D ．12x x <，12s s >
5. 阅读右面的程序框图，运行相应的程序， 输出的结果为 A ．1321 B ． 2113 C ． 813 D ． 13
8
7 8
3 5 5 7
2 3
8 9
4 5 5 6 1 2 2 0 1 乙
甲
6. 某会议室第一排共有8个座位，现有3人就座，若要求每人左右均有空位，那么不同的坐法种数为
A ．12
B ．16
C ．24
D ．32
7. 已知区域1,{(,)0,}1,y x x y y x ≤+⎧⎪
Ω=≥⎨⎪≤⎩
，1,{(,)
}0,y x M x y y ⎧≤-+⎪
=⎨
≥⎪⎩，向区域Ω内随机投一点P ，点P 落在区域M 内的概率为
A ．14
B ．
13
C ．12
D ．
23
8. 如图，平面α⊥平面β，αβ= 直线l ，,A C 是α内不同的两点,,B D 是β内不同的两点，且,,,A B C D ∉直线l , ,M N 分别是线段,AB CD 的中点. 下列判断正确的是
A ．当2CD A
B =时，,M N 两点不可能重合 B ．,M N 两点可能重合，但此时直线A
C 与直线l 不可能相交
C ．当AB 与C
D 相交，直线AC 平行于l 时，直线BD 可以与l 相交
D ．当,AB CD 是异面直线时，MN 可能与l 平行
β
α
l
B
A
C
D
M
N
· ·
第Ⅱ卷（非选择题 共110分）
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.
9. 若(2i)i i a b -=+，其中,a b ∈R ，i 为虚数单位，则a b +=___________. 10. 已知2=a ，3=b ，a 、b 的夹角为60
，则2-=a b ____________. 11. 极坐标方程2cos ρθ=化成直角坐标方程为___________. 12. 如图，PC 切O 于点C ，割线PAB 经过圆心O ，弦
C D A B ⊥于点E ，已知O 的半径为3，2PA =，则
PC =_________，OE =_________.
13. 已知双曲线2
2
13
y x -=的左顶点为1A ，右焦点为2F ，P 为双曲线右支上一点，则12PA PF ⋅
的最小值为___________.
14. 设函数()f x 的定义域为D ，若存在非零实数l 使得对于任意()x M M D ∈⊆，有
x l D +∈，且()()f x l f x +≥，则称()f x 为M 上的l 高调函数.
如果定义域是[1,)-+∞的函数2
()f x x =为[1,)-+∞上的m 高调函数，那么实数m 的取值范围是____________.
如果定义域为R 的函数()f x 是奇函数，当0x ≥时，22
()f x x a a =--，且()f x 为
R 上的4高调函数，那么实数a 的取值范围是____________.
三、解答题：本大题共6小题，共80分. 解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
15.（本小题满分12分）
已知α为锐角，且tan()24
π
α+=.
（Ⅰ）求tan α的值； （Ⅱ）求sin 2cos sin cos 2ααα
α
-的值.
在一个选拔项目中，每个选手都需要进行4轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答者进入下一轮考核，否则被淘汰. 已知某选手能正确回答第一、二、三、四轮问题的概率分别为
56、45、34、1
3
，且各轮问题能否正确回答互不影响. （Ⅰ）求该选手进入第三轮才被淘汰的概率； （Ⅱ）求该选手至多进入第三轮考核的概率；
（Ⅲ）该选手在选拔过程中回答过的问题的个数记为X ，求随机变量X 的分布列和期
望.
17.（本小题满分14分）
在四棱锥P ABCD -中，侧面PCD ⊥底面ABCD ，PD CD ⊥，E 为PC 中点，底
面ABCD 是直角梯形，//AB CD ，90ADC ∠=
，1AB AD PD ===，2CD =.
（Ⅰ）求证：//BE 平面PAD ； （Ⅱ）求证：BC ⊥平面PBD ；
（Ⅲ）设Q 为侧棱PC 上一点，PQ PC λ=
，
试确定λ的值，使得二面角Q BD P --为45
.
18.（本小题满分14分）
椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>
的离心率为2
（Ⅰ）求椭圆C 的方程；
（Ⅱ）过点(0,4)D 的直线l 与椭圆C 交于两点,E F ，O 为坐标原点，若OEF ∆为直角三角形，求直线l 的斜率.
A
B
C
D
E
P
已知函数()(1)x
a f x e x
=+，其中0a >．
（Ⅰ）求函数()f x 的零点；
（Ⅱ）讨论()y f x =在区间(,0)-∞上的单调性；
（Ⅲ）在区间(,]2
a
-∞-上，()f x 是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由．
20.（本小题满分13分）
对于各项均为整数的数列{}n a ，如果满足i a i +（1,2,3,i = ）为完全平方数，则称数列{}n a 具有“P 性质”；
不论数列{}n a 是否具有“P 性质”，如果存在与{}n a 不是同一数列的{}n b ，且{}n b 同时满足下面两个条件：①123,,,,n b b b b 是123,,,,n a a a a 的一个排列；②数列{}n b 具有“P 性质”，则称数列{}n a 具有“变换P 性质”.
（Ⅰ）设数列{}n a 的前n 项和2
(1)3
n n S n =
-，证明数列{}n a 具有“P 性质”； （Ⅱ）试判断数列1,2,3,4,5和数列1,2,3,,11 是否具有“变换P 性质”，具有此性质的数列请写出相应的数列{}n b ，不具此性质的说明理由；
（Ⅲ）对于有限项数列:1,2,3,,A n ，某人已经验证当2[12,]n m ∈（5m ≥）时，数列A 具有“变换P 性质”，试证明：当22[1,(1)]n m m ∈++时，数列A 也具有“变换P 性质”.
北京市西城区2010年抽样测试参考答案 高三数学试卷（理科） 2010.4
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.
9. 3 10.11. 2220x y x +-= 12. 9
4,
5
13. 2- 14. 2m ≥； 11a -≤≤
注：两空的题目，第一个空2分，第二个空3分.
三、解答题：（本大题共6小题，共80分.若考生的解法与本解答不同，正确者可参照评分标准给分.） 15、解：（Ⅰ）1tan tan(
)4
1tan π
α
αα
++=
-，…………………2分
所以
1tan 21tan α
α
+=-，1tan 22tan αα+=-，
所以1
tan 3
α=.…………………5分
（Ⅱ）2sin 2cos sin 2sin cos sin cos 2cos 2αααααα
αα
--=
2sin (2cos 1)sin cos 2sin cos 2cos 2ααααααα-===.…………………8分
因为1tan 3α=
，所以cos 3sin αα=，又22
sin cos 1αα+=， 所以2
1sin 10
α=，…………………10分
又α为锐角，所以sin 10
α=
，
所以sin 2cos sin cos 2αααα-=.…………………12分
16、解：设事件i A （1,2,3,4i =）表示“该选手能正确回答第i 轮问题”，
由已知15()6P A =
，24()5P A =，33()4P A =，41()3
P A =， （Ⅰ）设事件B 表示“该选手进入第三轮被淘汰”，
则123123()()()()()P B P A A A P A P A P A ==…………………2分 5431
(1)6546
=
⨯⨯-=.…………………3分 （Ⅱ）设事件C 表示“该选手至多进入第三轮考核”，
则112123()()P C P A A A A A A =++…………………5分
1121231515431
()()()(1)6656542
P A P A A P A A A =++=
+⨯+⨯⨯-=.………6分 （Ⅲ）X 的可能取值为1,2,3,4.…………………7分
11
(1)()6P X P A ===，…………………8分
12541
(2)()(1)656P X P A A ===⨯-=，…………………9分
1235431
(3)()(1)6546P X P A A A ===⨯⨯-=，…………………10分
1235431
(4)()6542
P X P A A A ===⨯⨯=，…………………11分
X
…………………12分
1111
()123436662
E X =⨯+⨯+⨯+⨯=.…………………13分
17、解：（Ⅰ）取PD 的中点F ，连结,EF AF ，
因为E 为PC 中点，所以//EF CD ，且1
12
EF CD ==， 在梯形ABCD 中，//AB CD ，1AB =，
所以//EF AB ，EF AB =，四边形ABEF 为平行四边形， 所以//BE AF ， …………………2分
BE ⊄平面PAD ，AF ⊂平面PAD ，
所以//BE 平面PAD . …………………4分
（Ⅱ）平面PCD ⊥底面ABCD ，PD CD ⊥，所以PD ⊥平面ABCD ，
所以PD AD ⊥.…………………5分
如图，以D 为原点建立空间直角坐标系D xyz -. 则(1,0,0),(1,1,0),(0,2,0),(0,0,1).A B C P
…………………6分
(1,1,0)DB = ，(1,1,0)BC =-
，
所以0BC DB ⋅=
，BC DB ⊥，……………8分
又由PD ⊥平面ABCD ，可得PD BC ⊥， 所以BC ⊥平面PBD .…………………9分
（Ⅲ）平面PBD 的法向量为(1,1,0)BC =-
，…………………10分
(0,2,1)PC =- ，PQ PC λ=
，(0,1)λ∈
所以(0,2,1)Q λλ-，…………………11分 设平面QBD 的法向量为(,,)a b c n =，
(1,1,0)DB = ，(0,2,1)DQ λλ=-
，
由0DB ⋅= n ，0DQ ⋅=
n ，得
所以，0
2(1)0a b b c λλ+=⎧⎨
+-=⎩
，
所以2(1,1,
)1λ
λ--n =，…………………12分
所以cos 452BC BC
⋅==
=
n n ，…………………13分 注意到(0,1)λ∈
，得1λ=
. …………………14分
18、解：
（Ⅰ）由已知
c a =
22
5a b +=，…………………3分 又2
2
2
a b c =+，解得2
4a =，2
1b =，
所以椭圆C 的方程为2
214
x y +=.…………………5分 （Ⅱ）根据题意，过点(0,4)D 满足题意的直线斜率存在，设:4l y kx =+，
联立，2
2144x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩
，消去y 得22
(14)32600k x kx +++=，…………………6分
222(32)240(14)64240k k k ∆=-+=-，
令0∆>，解得2
15
4
k >
. …………………7分 设,E F 两点的坐标分别为1122(,),(,)x y x y ， （ⅰ）当EOF ∠为直角时，
则1212
22
3260
,1414k x x x x k k +=-
=++，…………………8分 因为EOF ∠为直角，所以0OE OF ⋅=
，即12120x x y y +=，…………………9分
所以21212(1)4()160k x x k x x ++++=，
所以
22
22
15(1)32401414k k k k ⨯+-+=++
，解得k =…………………11分 （ⅱ）当OEF ∠或OFE ∠为直角时，不妨设OEF ∠为直角，
此时，1OE k k ⋅=-，所以
1111
41y y x x -⋅=-，即221114x y y =-………①，…………12分 又2
21114
x y +=………②， 将①代入②，消去1x 得2
113440y y +-=，
解得12
3y =或12y =-（舍去），………………13分 将123y =
代入①，得1x =
所以11
4
y k x -=
=14分 经检验，所求k 值均符合题意，综上，k
的值为
和
19、解：（Ⅰ）解()0f x =，得x a =-，
所以函数()f x 的零点为a -.…………………2分 （Ⅱ）函数()f x 在区域(,0)-∞上有意义，
22
()x
x ax a f x e x
+-'=，…………………5分
令()0f x '=
，得12a x -=
，22
a x -+=，
因为0a >，所以10x <，20x >.…………………7分 当x 在定义域上变化时，()f x '的变化情况如下：
所以在区间(,2a --∞上()f x 是增函数，………8分
在区间上()f x 是减函数. …………………9分
（Ⅲ）在区间(,]2a -∞-上()f x 存在最小值()2
a f -. …………………10分
证明：由（Ⅰ）知a -是函数()f x 的零点，
因为1022
a a a x a ----=-->，
所以10x a <-<，…………………11分
由()(1)x
a f x e x
=+
知，当x a <-时，()0f x >，…………………12分 又函数在1(,0)x 上是减函数，且102
a
x a <-<-<，
所以函数在区间1(,]2a x -上的最小值为()2a f -，且()02a
f -<，………………13分
所以函数在区间(,]2a -∞-上的最小值为()2
a
f -，
计算得2()2
a
a
f e --=-.…………………14分
20、解：（Ⅰ）当2n ≥时，1n n n a S S -=- …………………1分
2221
(1)[(1)1]33
n n n n n n -=
----=-，……………2分 又10a =，所以2n a n n =-()n ∈*
N . ……………3分
所以2i a i i +=（1,2,3,i = ）是完全平方数，数列{}n a 具有“P 性质”. ……4分 （Ⅱ）数列1,2,3,4,5具有“变换P 性质”， …………………5分
11 数列{}n b 为3,2,1,5,4. …………………6分
数列1,2,3,,11 不具有“变换P 性质”. …………………7分
因为11，4都只有与5的和才能构成完全平方数，
所以数列1,2,3,,11 不具有“变换P 性质”. …………………8分
（Ⅲ）设2n m j =+，121j m ≤≤+，
注意到22(2)()44m m j m j +-+=+-，
令441h m j =+--，
由于121j m ≤≤+，5m ≥，所以4412212h m j m =+--≥+≥，
又22244142m h m m j m m -=--++≥--，
2242(2)60m m m --=-->，
所以2h m <，
即2[12,]h m ∈. ………………10分
因为当2[12,]n m ∈（5m ≥）时，数列{}n a 具有“变换P 性质”，
所以1,2,,441m j +-- 可以排列成123,,,,h a a a a ，使得(1,2,,)i a i i h += 都是平方数； …………………11分
另外，44m j +-，441m j +-+，…，2m j +可以按相反顺序排列，即排列为2m j +，…，441m j +-+，44m j +-，
使得(44)m j +-22()(2)m j m ++=+，
22(441)(1)(2)m j m j m +-+++-=+，…， …………………12分 所以221,2,,441,44,,1,m j m j m j m j +--+--++ 可以排成123,,,,,h a a a a 2,,44m j m j ++- 满足2(1,2,,)i a i i m j +=+ 都是平方数. …………………13分。