二次函数专题(二次函数与方程、不等式的关系)
二次函数与一元二次方程、不等式知识点总结与例题讲解
二次函数与一元二次方程、不等式知识点总结与例题讲解一、本节知识点（1）一元二次不等式的概念. （2）三个二次的关系. （3）一元二次不等式的解法. 知识点拓展:（4）分式不等式的解法. （5）高次不等式的解法. 二、本节题型（1）解不含参数的一元二次不等式. （2）解含参数的一元二次不等式. （3）三个二次之间的关系.（4）简单高次不等式、分式不等式的解法. （5）不等式恒成立问题. （6）一元二次不等式的应用. 三、知识点讲解.知识点 一元二次不等式的概念我们把只含有1个未知数,并且未知数的最高次数是2的不等式,称为一元二次不等式.即形如02>++c bx ax （≥0）或02<++c bx ax （≤0）（其中0≠a ）的不等式叫做一元二次不等式.元二次不等式的解与解集使一元二次不等式成立的x 的值,叫做这个一元二次不等式的解,其解的集合,叫做这个一元二次不等式的解集.注意 一元二次不等式的解集要写成集合或区间的形式. 知识点 三个二次的关系一元二次不等式的解集、一元二次方程的解以及二次函数的图象之间有着紧密的联系.一元二次方程()002≠=++a c bx ax 与二次函数()002≠=++=a c bx ax y 的关系是:（1）当ac b 42-=∆≥0时,一元二次方程()002≠=++a c bx ax 有实数根,二次函数()002≠=++=a c bx ax y 的图象与x 轴有交点,且方程的解是交点的横坐标,交点的横坐标亦是方程的解;①当0>∆时,一元二次方程()002≠=++a c bx ax 有两个不相等的实数根,二次函数()002≠=++=a c bx ax y 的图象与x 轴有两个不同的交点;②当0=∆时,一元二次方程()002≠=++a c bx ax 有两个相等的实数根,二次函数()002≠=++=a c bx ax y 的图象与x 轴只有一个交点（即抛物线的顶点）.（2）当042<-=∆ac b 时,一元二次方程()002≠=++a c bx ax 无实数根,二次函数()002≠=++=a c bx ax y 的图象与x 轴没有交点.具体关系见下页表（1）所示.一元二次不等式与二次函数()002≠=++=a c bx ax y 的关系是:（1）一元二次不等式02>++c bx ax （≥0）的解集就是二次函数()002≠=++=a c bx ax y 的图象位于x 轴上方（包括x 轴）的部分所对应的自变量的取值范围;（2）一元二次不等式02<++c bx ax （≤0）的解集就是二次函数()002≠=++=a c bx ax y 的图象位于x 轴下方（包括x 轴）的部分所对应的自变量的取值范围.由表可知 一元二次不等式的解集的端点值就是对应的一元二次方程的解. 知识点 一元二次不等式的解法解一元二次不等式的一般步骤是:（1）利用不等式的性质,将二次项系数化为正数; （2）计算ac b 42-=∆的值,并判断∆的符号; （3）当∆≥0时,求出相应的一元二次方程的根; （4）画出对应的二次函数的简图;（5）根据一元二次不等式的形式,结合简图,写出其解集.注意 一元二次不等式的解集结构与二次项系数的符号有着直接的关系.其中,①当0>∆时,一元二次不等式()002>>++a c bx ax 的解集在“两根之外”,即“大于大根或小于小根”;一元二次不等式()002><++a c bx ax 的解集在“两根之内”,即“大于小根且小于大根”,简记为“大于0取两边,小于0取中间”;②当0=∆时,一元二次不等式()002>>++a c bx ax 的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≠a b x x 2;一元二次不等式()002><++a c bx ax 的解集为∅;③当0<∆时,一元二次不等式()002>>++a c bx ax 的解集为R ;一元二次不等式()002><++a c bx ax 的解集为∅.表（1）一元二次方程、二次函数以及一元二次不等式的关系:一元二次不等式在R 上恒成立的问题（1）02>++c bx ax 在R 上恒成立,则有:⎩⎨⎧<-=∆>0402ac b a 或⎩⎨⎧>==00c b a ; （2）02<++c bx ax 在R 上恒成立,则有:⎩⎨⎧<-=∆<0402ac b a 或⎩⎨⎧<==00c b a ;（3）一元二次不等式c bx ax ++2≥0在R 上恒成立,则有:⎩⎨⎧≤-=∆>0402ac b a ; （4）一元二次不等式c bx ax ++2≤0在R 上恒成立,则有:⎩⎨⎧≤-=∆<0402ac b a . 补充概念 二次函数的零点我们把使一元二次方程02=++c bx ax 的实数x 叫做二次函数c bx ax y ++=2的零点. 对零点的理解（1）二次函数的零点即相应一元二次方程02=++c bx ax 的实数根;（2）根据数形结合,二次函数的零点,即二次函数的图象与x 轴的交点的横坐标,且交点的个数等于零点的个数;（3）并非所有的二次函数都有零点.当ac b 42-=∆≥0时,一元二次方程有实数根,相应二次函数存在零点.知识点 分式不等式的解法 分式不等式的概念分母中含有未知数的不等式叫做分式不等式.利用不等式的性质,可将分式不等式化为以下标准形式: ①0)()(>x g x f ; ②)()(x g x f ≥0; ③0)()(<x g x f ; ④)()(x g x f ≤0. 分式不等式的解法解分式不等式的思路是把其转化为整式不等式求解.解分式不等式时,要先把分式不等式转化为标准形式. 各标准形式的分式不等式的解法为: （1）0)()(>x g x f 与不等式组⎩⎨⎧>>0)(0)(x g x f 或⎩⎨⎧<<0)(0)(x g x f 同解,与不等式0)()(>⋅x g x f 同解; （2）)()(x g x f ≥0与不等式组⎩⎨⎧≠≥⋅0)(0)()(x g x g x f 同解;（3）0)()(<x g x f 与不等式组⎩⎨⎧<>0)(0)(x g x f 或⎩⎨⎧><0)(0)(x g x f 同解,与不等式0)()(<⋅x g x f 同解;（4）)()(x g x f ≤0与不等式组⎩⎨⎧≠≤⋅0)(0)()(x g x g x f .由以上解法可以看出:将分式不等式转化为标准形式后,再将其转化为不等式组或同解整式不等式进行求解.知识点 高次不等式的解法解高次不等式,一般用“数轴标根法”,也叫“穿根引线法”,其步骤如下:（1）把高次不等式化为左边是几个因式的乘积,右边是0的形式,注意每个因式最高次项的系数必须为正;（2）把不等号换成等号,求出所得方程的所有实数根; （3）标根: 把各个实数根在数轴上标出;（4）画穿根线: 从“最右根”的右上方穿过根,往左下画线,然后又穿过“次右根”上去,如此一上一下依次穿过各根.但要注意偶次根不穿过,即奇过偶不过;（5）写出解集: 若不等号为“ > ”,则取数轴上方穿根线以内的范围;若不等号为“ < ”,则取数轴下方穿根线以内的范围.四、例题讲解例1. 解不等式0452>-+-x x .分析 先把不等式的二次项系数化为正数,再进行求解.注意不等式的解集要写成区间或集合的形式.解: 原不等式可化为:0452<+-x x .对于方程0452=+-x x ,∵()0941452>=⨯⨯--=∆∴该方程有两个不相等的实数根,解之得:4,121==x x . ∴不等式0452>-+-x x 的解集为{}41<<x x .点评 在求解一元二次不等式时,先观察二次项系数是否为正,若为负,则先把不等式的二次项系数化为正数（利用不等式的基本性质）.例2. 已知关于x 的不等式022>++c x ax 的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<-2131x x ,求不等式022>-+-a x cx 的解集.分析 先根据一元二次不等式与相应一元二次方程之间的关系,利用根与系数的关系定理,求出c a ,的值.注意 一元二次不等式的解集的端点值是对应一元二次方程的根. 解: 由题意可知:0<a .∵关于x 的不等式022>++c x ax 的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<-2131x x ∴21,3121=-=x x 是方程022=++c x ax 的两个实数根由根与系数的关系定理可得:⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⨯-=+-=-213121312a c a ,解之得:⎩⎨⎧=-=212c a . ∴022>-+-a x cx 即012222>++-x x ∴062<--x x ,解之得:32<<-x .∴不等式022>-+-a x cx 的解集为{}32<<-x x .例3. 一元二次不等式()()052>-+x x 的解集为 【 】 （A ）{}52>-<x x x 或 （B ）{}25>-<x x x 或 （C ）{}52<<-x x （D ）{}25<<-x x分析 本题可用数轴标根法求解.使用该方法时,要把乘积中所有因式的最高次项的系数化为正数.解: 原不等式可化为:()()052<-+x x .∵方程()()052=-+x x 的根为5,221=-=x x .∴不等式()()052<-+x x 的解集为{}52<<-x x ,即原不等式的解集. ∴选择答案【 C 】.例4. 已知不等式042<++ax x 的解集为空集,则实数a 的取值范围是 【 】 （A ）{}44≤≤-a a （B ）{}44<<-a a （C ）{}44≥-≤a a a 或 （D ）{}44>-<a a a 或分析 本题考查一元二次不等式与相应的二次函数之间的关系,同时问题还可以转化为一元二次不等式恒成立的问题.不等式042<++ax x 的解集为空集,即相应的二次函数42++=ax x y 的图象位于x 轴上及其上方,或者不等式42++ax x ≥0在R 上恒成立.解: ∵不等式042<++ax x 的解集为空集∴162-=∆a ≤0,解之得:4-≤a ≤4. ∴实数a 的取值范围是{}44≤≤-a a . ∴选择答案【 A 】.例5. 若关于x 的不等式()()021>--x mx 的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<21x m x ,则实数m 的取值范围是 【 】 （A ）{}0>m m （B ）{}20<<m m（C ）⎭⎬⎫⎩⎨⎧>21m m （D ）{}0<m m分析 本题由题意可知:0<m . 解: ∵()()021>--x mx∴()02122>++-x m mx .∵其解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<21x m x ∴0<m .∴实数m 的取值范围是{}0>m m . ∴选择答案【 D 】.例6. 已知函数182++=bx ax y 的定义域为[]6,3-,则实数a 的值为_________,实数b 的值为_________.解: ∵函数182++=bx ax y 的定义域为[]6,3-∴一元二次不等式182++bx ax ≥0的解集为[]6,3-. 由根与系数的关系定理可得:⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⨯-=+-=-631863aab ,解之得:⎩⎨⎧=-=31b a . ∴实数a 的值为1-,实数b 的值为3. 例7. 已知函数m x x y +-=2.（1）当2-=m 时,求不等式0>y 的解集; （2）若0,0<>y m 的解集为{}b x a x <<,,求ba 41+的最小值. 解:（1）2-=m 时,22--=x x y .∵0>y ,∴()()02122>-+=--x x x x 解之得:1-<x 或2>x .∴不等式0>y 的解集为{}21>-<x x x 或;（2）∵02<+-=m x x y 的解集为{}21>-<x x x 或 ∴m ab b a ==+,1,且041>-=∆m ,解之得:41<m . ∵0>m ,∴0,0>>b a ,410<<m . ∴()a b b a b a b a b a ++=⎪⎭⎫ ⎝⎛++=+454141≥9425=⋅+a b b a . 当且仅当a b b a =4,即32,31==b a 时,等号成立.此时41923231<=⨯=m ,符合题意. ∴ba 41+的最小值为9. 例8. 解关于x 的不等式02>-x ax （0≠a ）.分析 本题考查含有参数的一元二次不等式的解法.当二次项系数含有参数时,要对二次项系数的正负进行讨论（一元二次不等式解集的结构与二次项系数的符号有关）.解: ∵02>-x ax ,∴()01>-ax x∴01>⎪⎭⎫ ⎝⎛-a x ax .∵0≠a ,∴分为两种情况:①当0>a 时,原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<>01x a x x 或;②当0<a 时,原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<01x a x . 综上所述,当当0>a 时,原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<>01x a x x 或,当0<a 时,原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<01x a x .另解: 解方程02=-x ax （0≠a ）得:ax x 1,121==. 分为两种情况:①当0>a 时,原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<>01x a x x 或; ②当0<a 时,原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<01x a x . 综上所述,当当0>a 时,原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<>01x a x x 或,当0<a 时,原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<01x a x . 点评 不等式02>-x ax （0≠a ）可化为01>⎪⎭⎫⎝⎛-a x ax .当0>a 时,根据不等式的性质可知,原不等式同解于不等式01>⎪⎭⎫⎝⎛-a x x ;当0<a 时,原不等式同解于不等式01<⎪⎭⎫⎝⎛-a x x .例9. 若对于0>∀x ,132++x x x≤a 恒成立,则实数a 的取值范围是 【 】 （A ）⎭⎬⎫⎩⎨⎧≥31a a （B ）⎭⎬⎫⎩⎨⎧>31a a （C ）⎭⎬⎫⎩⎨⎧>51a a （D ）⎭⎬⎫⎩⎨⎧≥51a a . 解: ∵132++x x x≤a 恒成立 ∴只需a ≥max213⎪⎭⎫ ⎝⎛++x x x 即可. ∵0>∀x ∴311132++=++x x x x x≤513121=+⋅xx . 当且仅当xx 1=,即1=x 时,等号成立. ∴5113max 2=⎪⎭⎫ ⎝⎛++x x x . ∴a ≥51,即实数a 的取值范围是⎭⎬⎫⎩⎨⎧≥51a a .∴选择答案【 D 】.例10.（1）若关于x 的不等式0232>+-x ax （∈a R ）的解集为{}b x x x ><或1（∈b R ）,求b a ,的值;（2）解关于x 的不等式ax x ax ->+-5232（∈a R ）.解:（1）由题意可知:0>a .一元二次方程0232=+-x ax 的根为b x x ==21,1.由根与系数的关系定理可得:⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⨯=+=baba1213,解之得:⎩⎨⎧==21b a .∴a 的值为1,b 的值为2;（2）∵ax x ax ->+-5232（∈a R ） ∴()0332>--+x a ax .当0=a 时,原不等式为523>+-x ,解之得:1-<x . ∴原不等式的解集为{}1-<x x ;当0≠a 时,原不等式可化为()031>⎪⎭⎫ ⎝⎛-+a x x a . ①若0>a ,则原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧-<>13x a x x 或; ②若03<<-a 时,原不等式同解于()031<⎪⎭⎫ ⎝⎛-+a x x ,且13-<a ∴原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧-<<13x a x ; ③若3-=a ,原不等式为()0132<+x ,其解集为∅;④若3-<a ,则13->a ,则原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<-a x x 31. 综上所述,当0=a 时, 原不等式的解集为{}1-<x x ;当0>a 时,原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧-<>13x a x x 或;当03<<-a 时,原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧-<<13x a x ; 当3-=a 时,原不等式的解集为∅; 当3-<a 时,原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<-a x x 31. 例11.已知关于x 的不等式08322<-+kx kx . （1）若不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<-123x x ,求实数k 的值;（2）若不等式08322<-+kx kx 恒成立,求实数k 的取值范围. 解:（1）由题意可知:0>k .一元二次方程08322=-+kx kx 的根是1,2321=-=x x . 由根与系数的关系定理:123283⨯-=-k ,解之得:81=k .∴实数k 的值为81;（2）当0=k 时,083<-恒成立,符合题意;当0≠k 时,由题意可知:⎪⎩⎪⎨⎧<⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯⨯-=∆<08324022k k k ,解之得:03<<-k . 综上所述,实数k 的取值范围为{}03≤<-k k .例12. 若∀1≤x ≤4,不等式()422++-x a x ≥1--a 恒成立,求实数a 的取值范围.分析 本题考查一元二次不等式在给定闭区间上的恒成立问题,要把问题转化为相应二次函数在闭区间上的最值问题.解: ∵()422++-x a x ≥1--a∴()1-x a ≤522+-x x . ∵1≤x ≤4∴当1=x 时,显然0⨯a ≤4521=+-成立,∴∈a R ; 当x <1≤4时,01>-x∴a ≤1522-+-x x x 恒成立,只需a ≤min2152⎪⎭⎫⎝⎛-+-x x x 即可.∵()14114115222-+-=-+-=-+-x x x x x x x ≥()41412=-⋅-x x . 当且仅当141-=-x x ,即3=x 时,等号成立.此时3=x []4,1∈,符合题意.∴a ≤4.综上所述,实数a 的取值范围是(]4,∞-. 例13. 已知不等式012<--mx mx .（1）当∈x R 时不等式恒成立,求实数m 的取值范围; （2）当∈x {}31≤≤x x 时不等式恒成立,求实数m 的取值范围.解:（1）当0=m 时,01<-恒成立,符合题意;当0≠m 时,则有⎩⎨⎧<+=∆<0402m m m ,解之得:04<<-m . 综上,实数m 的取值范围是(]0,4-;（2）当0=m 时,显然∈x {}31≤≤x x 时,01<-恒成立,符合题意; 当0≠m 时,()11<-x mx .若1=x ,显然10<恒成立,此时∈m R ; 若x <1≤3,则()01>-x x ∴()11-<x x m 恒成立,只需()min11⎥⎦⎤⎢⎣⎡-<x x m 即可. ∵()4121111122-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=-x x x x x ≥614121312=-⎪⎭⎫ ⎝⎛- ∴()6111min=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-<x x m . 综上所述,实数m 的取值范围为⎪⎭⎫⎝⎛∞-61,.例14. 解关于x 的不等式()m x m mx --+122≥0.解: 当0=m 时,x -≥0,解之得:x ≤0.∴原不等式的解集为{}0≤x x ;当0≠m 时,原不等式可化为()()m x mx +-1≥0∴()[]m x m x m --⎪⎭⎫⎝⎛-1≥0.方程()m x m mx --+122的两个实数根分别为m x mx -==21,1. 当0>m 时,原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≤≥m x m x x 或1; 当0<m 时,原不等式同解于()[]m x m x --⎪⎭⎫ ⎝⎛-1≤0,且m m -<1. ∴原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≤≤m m m x 1. 综上所述,当0=m 时,原不等式的解集为{}0≤x x ;当0>m 时,原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≤≥m x m x x 或1;当0<m 时,原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≤≤m m m x 1. 例15. 已知关于x 的不等式222->-x kx kx . （1）当2=k 时,解不等式; （2）当∈k R 时,解不等式.解:（1）当2=k 时,2422->-x x x∴02522>+-x x ∴()()0212>--x x . 解之得:2>x 或21<x . ∴原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<>212x x x 或;（2）原不等式可化为()02122>++-x k kx . 当0=k 时,02>+-x ,解之得:2<x . ∴原不等式的解集为{}2<x x ;当0≠k 时,原不等式可化为()()012>--kx x∴()012>⎪⎭⎫⎝⎛--k x x k .方程222->-x kx kx 的根为kx x 1,221==. 当0<k 时,原不等式同解于()012<⎪⎭⎫ ⎝⎛--k x x ,且21<k .∴原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<21x k x ; 当0>k 时,原不等式同解于()012>⎪⎭⎫⎝⎛--k x x .①若21>k ,则21<k ,∴原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<>k x x x 12或; ②若21=k ,则21=k,∴原不等式的解集为{}2≠x x ; ③若210<<k ,则21>k ,∴原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<>21x k x x 或.综上所述,当0=k 时,原不等式的解集为{}2<x x ;当0<k 时,原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<21x k x ; 当210<<k 时,原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<>21x k x x 或;当21=k 时,原不等式的解集为{}2≠x x ; 当21>k 时,原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<>k x x x 12或.例16. 已知关于x 的不等式0622<+-k x kx .（1）若不等式的解集为{}23->-<x x x 或,求实数k 的取值; （2）若不等式的解集为R ,求实数k 的取值范围.解:（1）由题意可知:0<k .一元二次方程0622=+-k x kx 的两个实数根分别为2,321-=-=x x .由根与系数的关系定理可得:232--=--k ,解之得:52-=k . ∴实数k 的值为52-;（2）当0=k 时,原不等式的解集为{}0>x x ,不符合题意;当0≠k 时,则有:⎩⎨⎧<-=∆<024402k k ,解之得:66-<k . 综上所述,实数k 的取值范围是⎭⎬⎫⎩⎨⎧-<66k k .例17. 已知122++ax ax ≥0恒成立,解关于x 的不等式022<+--a a x x .解:∵122++ax ax ≥0恒成立∴当0=a 时,1≥0恒成立,符合题意;当0≠a 时,则有:⎩⎨⎧≤-=∆>04402a a a ,解之得:a <0≤1. 综上,实数a 的取值范围是[]1,0. 对于不等式022<+--a a x x当0≤a ≤1时,原不等式可化为()()01<-+-a x a x∴()()[]01<---a x a x ,方程022=+--a a x x 的根为a x a x -==1,21.①若a <21≤1,则a a ->1,∴原不等式的解集为{}a x a x <<-1; ②若21=a ,则a a -=1,∴原不等式的解集为∅;③若210<<a ,则a a -<1,∴原不等式的解集为{}a x a x -<<1.综上所述,对于不等式022<+--a a x x :当a <21≤1时,不等式的解集为{}a x a x <<-1; 当21=a 时,不等式的解集为∅;当0≤21<a 时,不等式的解集为{}a x a x -<<1.例18. 不等式()()xa c xb x -++≤0的解集为{}321≥<≤-x x x 或,则=+c b 【 】（A ）5- （B ）2- （C ）1 （D ）3解: 原不等式可化为()()ax c x b x -++≥0,同解于()()()⎩⎨⎧≠-≥++-00a x c xb x a x .方程()()0=-++ax c x b x 的解为c x b x -=-=21,.∵该不等式的解集为{}321≥<≤-x x x 或∴2=a ,⎩⎨⎧=--=-31c b 或⎩⎨⎧-=-=-13c b ,∴⎩⎨⎧-==31c b 或⎩⎨⎧=-=13c b .∴2-=+c b . ∴选择答案【 B 】.例19. 已知函数b ax x y +=2（b a ,为常数）,且方程012=+-x y 的两个根为31=x ,42=x .（1）求b a ,的值;（2）设1>k ,解关于x 的不等式()xkx k y --+<21.解:（1）由题意可得:⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-+=+-+0124416012339b a b a ,整理得:⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+-=+142131ba ba ,解之得:⎩⎨⎧=-=21b a . ∴a 的值为1-,b 的值为2;（2）由（1）可知:xx y -=22.∵()x kx k y --+<21,∴()xkx k x x --+<-2122. ∴()()()021212<---=-++-xk x x x k x k x . 原不等式同解于()()()021>---k x x x .∵1>k∴当21<<k 时,原不等式的解集为{}21><<x k x x 或; 当2=k 时,()()0212>--x x ,原不等式的解集为{}21≠>x x x 且;当2>k 时,原不等式的解集为{}k x x x ><<或21.综上所述,当21<<k 时,原不等式的解集为{}21><<x k x x 或;当2=k 时,原不等式的解集为{}21≠>x x x 且;当2>k 时,原不等式的解集为{}k x x x ><<或21.例20. 已知集合()()[]{}0132<+--=a x x x A ,()⎭⎬⎫⎩⎨⎧<+--=012a x a x x B . （1）当2=a 时,求B A ;（2）若A B ⊆,求实数a 的取值范围.解:（1）当2=a 时∵()(){}{}72072<<=<--=x x x x x A ,{}52052<<=⎭⎬⎫⎩⎨⎧<--=x x x x x B∴{}52<<=x x B A ;（2）∵∈∀a R ,恒有a a >+12,()()()[]{}010122<+--=⎭⎬⎫⎩⎨⎧<+--=a x a x x a x a x x B ∴{}12+<<=a x a x B . 当213>+a ,即31>a 时,{}132+<<=a x x A . ∵A B ⊆,∴⎩⎨⎧+≤+≥13122a a a ,解之得: 2≤a ≤3.∴实数a 的取值范围是[]3,2;当213=+a ,即31=a 时,(){}∅=<-=022x x A ,显然不符合题意; 当213<+a ,即31<a 时,{}213<<+=x a x A .∵A B ⊆,∴⎩⎨⎧≤+≤+21132a aa ,解之得: 1-≤a ≤21-.∴实数a 的取值范围是⎥⎦⎤⎢⎣⎡--21,1. 综上所述,实数a 的取值范围是[]3,221,1 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--. 例21. 已知不等式442-+>+m x mx x .（1）若对任意实数x 不等式恒成立,求实数m 的取值范围; （2）若对于0≤m ≤4不等式恒成立,求实数x 的取值范围.解:（1）∵442-+>+m x mx x∴()0442>-+-+m x m x . ∵对任意实数x 不等式恒成立∴()()04442<---=∆m m ,解之得: 40<<m .∴实数m 的取值范围是()4,0; （2）∵442-+>+m x mx x ∴()04412>+-+-x x m x . ∵对[]4,0∈∀m ,不等式恒成立∴()()⎩⎨⎧>+-+⨯->+-+⨯-044410440122x x x x x x ,解之得:0≠x 且2≠x . ∴实数x 的取值范围是{}2200><<<x x x x 或或.点评 解决恒成立问题时一定要清楚谁是主元,谁是参数.一般情况下,知道谁的范围,就选谁当主元,求谁的范围,谁就是参数,构造以主元为变量的函数,根据主元的取值范围求解.例22. 设()12--=mx mx x f ,求使()0<x f ,且m ≤1恒成立的x 的取值范围.解: ∵()0<x f ,m ≤1,∴012<--mx mx ,[]1,1-∈m .∴()012<--m x x 对[]1,1-∈m 恒成立. 设()()12--=m x x m g ,则有:()()()()()⎩⎨⎧<-⨯-=<--⨯-=-0111011122x x g x x g ,解之得:251251+<<-x .∴实数x 的取值范围是⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-251,251.重要结论 一次函数()b kx x f +=()0≠k 在区间[]n m ,上的恒成立问题:（1）若()0>x f 恒成立,则()()⎩⎨⎧>>00n f m f ;（2）若()0<x f 恒成立,则()()⎩⎨⎧<<0n f m f .例23. 设函数()12--=mx mx x f ()0≠m ,若对于[]3,1∈x ,()5+-<m x f 恒成立,求m 的取值范围.解: ∵()5+-<m x f 在[]3,1∈x 上恒成立∴062<-+-m mx mx 在[]3,1∈x 上恒成立. 令()62-+-=m mx mx x g ,只需()0max <x g 即可. 函数()x g 图象的对称轴为直线212=--=m m x . 当0>m 时,()x g 在[]3,1上单调递增 ∴()()0673max <-==m g x g ,解之得:76<m . ∴760<<m ; 当0<m 时,()x g 在[]3,1上单调递减 ∴()()061max <-==m g x g ,解之得:0<m .综上所述,m 的取值范围是⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<<7600m m m 或.另解: ∵062<-+-m mx mx 在[]3,1∈x 上恒成立∴()612<+-x x m 在[]3,1∈x 上恒成立.∵04321122>+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+-x x x ∴162+-<x x m 在[]3,1∈x 上恒成立.只需761336162min 2=+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-<x x m 即可. ∵0≠m∴m 的取值范围是⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<<7600m m m 或. 例24. 已知集合{}042≤-=t t A ,对于任意的A t ∈,使不等式122->-+x t tx x 恒成立的x 的取值范围是_____________.解: {}{}22042≤≤-=≤-=t t t t A .∵当A t ∈时,不等式122->-+x t tx x 恒成立 ∴()01212>+-+-x x t x 恒成立. 设()()1212+-+-=x x t x t f ,则有:()()⎩⎨⎧>-=>+-=-012034222x f x x f ,解之得:1-<x 或3>x . ∴x 的取值范围是{}31>-<x x x 或.例25. 对一切实数x ,不等式12++x a x ≥0恒成立,则实数a 的取值范围是_____________.解: 当0=x 时,显然对∈∀a R 成立;当0≠x 时,a ≥⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=--=--x x x x x x 1112,只需a ≥max 1⎪⎭⎫ ⎝⎛+-x x 即可.∵⎪⎭⎫ ⎝⎛+-x x 1≤212-=⋅-x x∴21max -=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-x x ,∴a ≥2-.∴实数a 的取值范围是[)+∞-,2.例26. 已知0,0>>y x ,且()()()144152++--+y x m y x ≥0恒成立,则实数m 的取值范围是_____________.解: ∵0,0>>y x ,∴0>+y x .∵()()()144152++--+y x m y x ≥0恒成立∴15-m ≤()y x y x yx y x +++=+++1441442恒成立,只需15-m ≤min144⎪⎭⎫ ⎝⎛+++y x y x 即可. ∵y x y x +++144≥()241442=+⋅+yx y x （当且仅当12=+y x 时,等号成立） ∴24144min =⎪⎭⎫ ⎝⎛+++y x y x ,∴15-m ≤24,解之得:m ≤5.∴实数m 的取值范围是(]5,∞-. 例27. 已知61>k ,对任意正实数y x ,,不等式ky x k +⎪⎭⎫ ⎝⎛-213≥xy 2恒成立,求实数k 的取值范围.解: ∵61>k ,∴0213>-k . ∴ky x k +⎪⎭⎫ ⎝⎛-213≥xy k k ky x k ⎪⎭⎫⎝⎛-=⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛-213221322.当且仅当ky x k =⎪⎭⎫⎝⎛-213,即x kk y 213-=时,等号成立.∴ky x k +⎪⎭⎫ ⎝⎛-213的最小值为xy k k ⎪⎭⎫⎝⎛-21322∵不等式ky x k +⎪⎭⎫⎝⎛-213≥xy 2恒成立∴xy k k ⎪⎭⎫ ⎝⎛-21322≥xy 2∴xy k k ⎪⎭⎫ ⎝⎛-21342≥xy 2,解之得:k ≥21.∴实数k 的取值范围是⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞,21.例28. 若关于x 的不等式()()0121122>+++-+-x x x k x k 的解集为R ,则实数k 的取值范围是_____________.解: ∵04321122>+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++x x x 在R 上恒成立 ∴原不等式同解于不等式()()02112>+-+-x k x k ,其解集为R 当1=k 时,02> 在R 上恒成立,符合题意;当1≠k 时,则有:()()⎩⎨⎧<---=∆>-0181012k k k ,解之得:91<<k . 综上所述,实数k 的取值范围是[)9,1.例29.（1）解关于x 的不等式()422++-x a x ≤a 24-（∈a R ）;（2）若x <1≤4时,不等式()422++-x a x ≥1--a 恒成立,求实数a 的取值范围.解:（1）∵()422++-x a x ≤a 24-∴()()a x x --2≤0.当2>a 时,原不等式的解集为{}a x x ≤≤2; 当2=a 时,()22-x ≤0,原不等式的解集为{}2=x x ;当2<a 时,原不等式的解集为{}2≤≤x a x .综上所述,当当2>a 时,原不等式的解集为{}a x x ≤≤2;当2=a 时,()22-x ≤0,原不等式的解集为{}2=x x ;当2<a 时,原不等式的解集为{}2≤≤x a x . （2）由题意可知,当(]4,1∈x 时,不等式()5212+---x x a x ≥0恒成立.∴当(]4,1∈x 时,a ≤1522-+-x x x 恒成立,只需a ≤min2152⎪⎭⎫⎝⎛-+-x x x 即可.∵(]4,1∈x ,∴()14114115222-+-=-+-=-+-x x x x x x x ≥()41412=-⋅-x x . 当且仅当141-=-x x ,即3=x 时,等号成立.∴4152min 2=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-x x x .∴a ≤4,即实数a 的取值范围为(]4,∞-.例30.（1）已知命题∈∀x p :R ,a x x +-22≥0,命题∈∃x q :R ,0122=-++a x x ,若p 为真命题,q 为假命题,求实数a 的取值范围;（2）已知a ≥21,二次函数c ax x a y ++-=22,其中c a ,均为实数,证明对任意x （0≤x ≤1）,均有y ≤1成立的充要条件是c ≤43.解:（1）∵命题∈∀x p :R ,a x x +-22≥0为真命题∴()a a 44422-=--=∆≤0,解之得: a ≥1.∵命题∈∃x q :R ,0122=-++a x x 为假命题 ∴⌝q :∈∀x R ,0122≠-++a x x 为真命题. ∴()01241<--=∆a ,解之得:85>a . ∴实数a 的取值范围是[)+∞,1;（2）证明: 二次函数c ax x a y ++-=22图象的对称轴为直线aa a x 2122=--=. ∵a ≥21,∴a210<≤1. ∵[]1,0∈∀x ,02<-a∴函数c ax x a y ++-=22的最大值在顶点处取得,即4144222max +=---=c a a c a y . 充分性: ∵c ≤43,∴41+c ≤14143=+,即max y ≤1. ∴y ≤1;必要性: ∵[]1,0∈∀x ,均有y ≤1成立. ∴max y ≤1,即41+c ≤1,解之得: c ≤43. 综上所述, 对任意x （0≤x ≤1）,均有y ≤1成立的充要条件是c ≤43.例31.已知关于x 的不等式222++-m mx x ≤0（∈m R ）的解集为M . （1）当M 为空集时,求m 的取值范围;（2）在（1）的条件下,求1522+++m m m 的最小值;（3）当M 不为空集,且{}41≤≤⊆x x M 时,求实数m 的取值范围.解:（1）∵不等式222++-m mx x ≤0（∈m R ）的解集为M 为空集∴()()084424222<--=+--=∆m m m m ,解之得:21<<-m .∴m 的取值范围是{}21<<-m m ;（2）由（1）可知: 21<<-m ,∴310<+<m .∴()14114115222+++=+++=+++m m m m m m m ≥()41412=+⋅+m m . 当且仅当141+=+m m ,即1=m 时,等号成立. ∴1522+++m m m 的最小值为4;（3）由题意可知,方程0222=++-m mx x 的两个实数根均在[]4,1内 设()222++-=m mx x x f ,则有:()()()()⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≤--≤≥++-=≥++-=≥+--=∆42210281640221102422m m m f m m f m m ,解之得: 2≤m ≤718. ∴实数m 的取值范围是⎥⎦⎤⎢⎣⎡718,2. 例32. 当10<<x 时,若关于x 的二次方程m mx x 2122-=++有两个不相等的实数根,求实数m 的取值范围.分析 本题考查的是一元二次方程的K 分布:两根均在()21,k k 内. 解: ∵m mx x 2122-=++∴01222=+++m mx x . 设()1222+++=m mx x x f .∵该方程在()1,0内有两个不相等的实数根∴()()()()⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>+++=>+=<-<>+-=∆01221101201220012422m m f m f m m m ,解之得:2121-<<-m . ∴实数m 的取值范围是⎪⎭⎫ ⎝⎛--21,21.重要结论 一元二次方程的实数根的K 分布:一元二次方程02=++c bx ax （0>a ）的两个实数根分别为21,x x ,且21x x <.（1）若k x x <<21,则有:()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧><->∆020k f k a b; （2）若21x x k <<,则有:()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>>->∆020k f k a b; （3）若21x k x <<,则有:()0<k f ;（4）若2211k x x k <<<,即两根21,x x 在()21,k k 内,则有:()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>><-<>∆00202121k f k f k a b k（5）若11k x <,且22k x >（21k k <）,则有:()()⎩⎨⎧<<021k f k f ; （6）()()212211,,,k k x k k x ∈∈中只有一个成立,即方程只有一个实数根在()21,k k 内,则有:()()021<k f k f或⎪⎩⎪⎨⎧<-<=∆2120k ab k . 例33. 已知二次函数1222-+-=t tx x y （∈t R ）.（1）若该二次函数有两个互为相反数的零点,解不等式1222-+-t tx x ≥0; （2）若关于x 的方程01222=-+-t tx x 的两个实数根均大于2-且小于4,求实数t 的取值范围.解:（1）∵二次函数1222-+-=t tx x y 有两个互为相反数的零点∴方程01222=-+-t tx x 有两个互为相反数的实数根,设为21,x x ,∴021=+x x . 由根与系数的关系定理可得:0221==+t x x ,解之得:0=t .∵1222-+-t tx x ≥0∴12-x ≥0,解之得:x ≥1或x ≤1-. ∴该不等式的解集为{}11-≤≥x x x 或;（2）∵()()044441422222>=+-=---=∆t t t t∴∈∀t R ,该方程总有两个不相等的实数根. ∵方程的两个实数根均大于2-且小于4∴()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>+-=>++=-<--<-015840342422222t t f t t f t ,解之得:31<<-t .∴实数t 的取值范围是()3,1-. 例34. 已知二次函数12+-=bx ax y .（1）是否存在实数b a ,,使不等式012>+-bx ax 的解集是{}21<<x x ?若存在,求实数b a ,的值,若不存在,请说明理由;（2）若a 为整数,2+=a b ,且方程012=+-bx ax 在{}12-<<-∈x x x 上恰有一个实数根,求a 的值.解:（1）假设存在这样的实数b a ,.∵不等式012>+-bx ax 的解集是{}21<<x x ∴0<a ,方程012=+-bx ax 的两个实数根分别为2,1. 由根与系数的关系定理可得:⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⨯=+=--21121aa b ,解之得:⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==2321b a . ∵021>=a ,与0<a 矛盾 ∴不存在这样的实数b a ,,使不等式012>+-bx ax 的解集是{}21<<x x ; （2）∵2+=a b ∴()0122=++-x a ax .∵()[]()0314242222>+-=+-=-+-=∆a a a a a∴方程()0122=++-x a ax 总有两个不相等的实数根.∵方程()0122=++-x a ax 在{}12-<<-∈x x x 上恰有一个实数根 ∴()()[]()[]0121122222<+++-⨯⨯+++-⨯a a a a整理得:()()03256<++a a ,解之得:6523-<<-a . ∵a 为整数 ∴a 的值为1-.例35. 已知不等式052>+-b ax x 的解集为{}14<>x x x 或. （1）求实数b a ,的值; （2）若10<<x ,()xbx a x f -+=1,求函数()x f 的最小值. 分析 （1）一元二次不等式的解的结构与二次项系数的符号有关,且一元二次不等式解集的端点值就是其对应的一元二次方程的两个实数根;（2）注意到()11=-+x x ,且01,10>-<<x x ,考虑利用基本不等式求函数()x f 的最小值.解:（1）∵不等式052>+-b ax x 的解集为{}14<>x x x 或∴方程052=+-b ax x 的两个实数根分别4和1. 由根与系数的关系定理可得:⎩⎨⎧⨯=+=14145b a ,解之得:⎩⎨⎧==41b a . ∴a 的值为1,b 的值为4; （2）由（1）可知:4,1==b a . ∴()xx x f -+=141. ∵10<<x ,∴01>-x . ∴()()[]x x x x x x x x x x x f -+-+=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-+=-+=11451411141 ≥911425=-⋅-+xxx x . 当且仅当x x x x -=-114,即31=x 时,等号成立. ∴函数()x f 的最小值为9.。
二次函数与方程、不等式
综上所述，抛物线的解析式为y＝
3 4
x2－3x＋4或y＝－
3 4
x2
＋3x＋1.
第13课时┃ 二次函数与方程、不等式
热考3 用二次函数的性质解决实际问题 例 3 某工厂设计了一款产品，成本为每件 20 元．投放市场 进行试销，经调查发现，该种产品每天的销售量 y(件)与销售单 价 x(元/件)之间满足 y＝－2x＋80(20≤x≤40)，设销售这种产品 每天的利润为 W(元)． (1)求销售这种产品每天的利润 W(元)与销售单价 x(元/件)之间 的函数解析式； (2)当销售单价定为多少时，每天的利润最大？最大利润是多少 元？
ax2＋bx c(a≠0)的图象在x轴__下______
＋c<0 方的点的横坐标所组成的集合
备注
不等式中如果带有等号，其解 集也相应带有等号
第13课时┃ 二次函数与方程、不等式
考点●4 二次函数的应用 解决二次函数的应用问题的关键在于建立二次函数模 型．在具体解题时，应认真审题，理解题意，再利用二次函 数的性质解决问题．应用最多的是根据二次函数的最值确定 最大利润．
抛物线与x轴的
交点个数
Δ＝b2－4ac的符号
方程有实数根的个数
两个交点
Δ>0
两个不相等的实根
一个交点
Δ＝0
两个相等的实根
没有交点
Δ<0
没有实根
(2)已知函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的函数值为k，求自变量x
的值，就是解方程ax2＋bx＋c＝k；反过来，解方程ax2＋bx＋c
＝k，就是令二次函数y＝ax2＋bx＋c－k的函数值为0，求自变
二次函数与方程不等式的关系ppt课件
x2-2x+2=0
△＜0 无实数根
y=x2-2x+1 y=x2-2x+2
1个
（1，0） 0个
与x轴交点 个数 交点坐标
2个
（0，0） （-2，0）
无
归 纳 总 结
1、函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴的交点个数 与方程ax2+bx+c=0(a≠0)解的个数一致。 △＞0 △＝0 △＜0 有两个交点 有一个交点 没有交点
-1 0
3
x
归 纳 总 结
不等式ax2+bx+c＞0 的解集就是函数 y=ax2+bx+c的图象在x轴上方的部分 所对应的x的取值范围； 不等式ax2+bx+c＜0 的解集就是函数 y=ax2+bx+c的图象在x轴下方的部分 所对应的x的取值范围；
拓 展 延 伸
如图: 二次函数y1=ax2+bx+c 与一次函数y2=kx+b的图象相 交于点A (-1,3) 和 B (5,2),
不等式ax2+bx+c＜0 的解集就是函数y=ax2+bx+c的图 象在x轴下方的部分所对应的x的取值范围； 4. 数学方法：类比、转化；数学思想：数形结 合的思想.
作
业
活页练习18.19.20.21.
谢谢合作
2、你能做出它的大致图象吗？
Байду номын сангаас
问 题 探 究 一
议一议
y
你能说出方程x2-2x-3=0 的根吗？ 你能猜出函数y=x2-2x-3 的图像与x轴的交点个数 及交点的坐标吗？你是怎 样思考的？
二次函数与一元二次方程、不等式知识点总结与例题讲解
二次函数与一元二次方程、不等式知识点总结与例题讲解一、本节知识点（1）一元二次不等式的概念. （2）三个二次的关系. （3）一元二次不等式的解法. 知识点拓展:（4）分式不等式的解法. （5）高次不等式的解法. 二、本节题型（1）解不含参数的一元二次不等式. （2）解含参数的一元二次不等式. （3）三个二次之间的关系.（4）简单高次不等式、分式不等式的解法. （5）不等式恒成立问题. （6）一元二次不等式的应用. 三、知识点讲解.知识点 一元二次不等式的概念我们把只含有1个未知数,并且未知数的最高次数是2的不等式,称为一元二次不等式.即形如02>++c bx ax （≥0）或02<++c bx ax （≤0）（其中0≠a ）的不等式叫做一元二次不等式.元二次不等式的解与解集使一元二次不等式成立的x 的值,叫做这个一元二次不等式的解,其解的集合,叫做这个一元二次不等式的解集.注意 一元二次不等式的解集要写成集合或区间的形式. 知识点 三个二次的关系一元二次不等式的解集、一元二次方程的解以及二次函数的图象之间有着紧密的联系.一元二次方程()002≠=++a c bx ax 与二次函数()002≠=++=a c bx ax y 的关系是:（1）当ac b 42-=∆≥0时,一元二次方程()002≠=++a c bx ax 有实数根,二次函数()002≠=++=a c bx ax y 的图象与x 轴有交点,且方程的解是交点的横坐标,交点的横坐标亦是方程的解;①当0>∆时,一元二次方程()002≠=++a c bx ax 有两个不相等的实数根,二次函数()002≠=++=a c bx ax y 的图象与x 轴有两个不同的交点;②当0=∆时,一元二次方程()002≠=++a c bx ax 有两个相等的实数根,二次函数()002≠=++=a c bx ax y 的图象与x 轴只有一个交点（即抛物线的顶点）.（2）当042<-=∆ac b 时,一元二次方程()002≠=++a c bx ax 无实数根,二次函数()002≠=++=a c bx ax y 的图象与x 轴没有交点.具体关系见下页表（1）所示.一元二次不等式与二次函数()002≠=++=a c bx ax y 的关系是:（1）一元二次不等式02>++c bx ax （≥0）的解集就是二次函数()002≠=++=a c bx ax y 的图象位于x 轴上方（包括x 轴）的部分所对应的自变量的取值范围;（2）一元二次不等式02<++c bx ax （≤0）的解集就是二次函数()002≠=++=a c bx ax y 的图象位于x 轴下方（包括x 轴）的部分所对应的自变量的取值范围.由表可知 一元二次不等式的解集的端点值就是对应的一元二次方程的解. 知识点 一元二次不等式的解法解一元二次不等式的一般步骤是:（1）利用不等式的性质,将二次项系数化为正数; （2）计算ac b 42-=∆的值,并判断∆的符号; （3）当∆≥0时,求出相应的一元二次方程的根; （4）画出对应的二次函数的简图;（5）根据一元二次不等式的形式,结合简图,写出其解集.注意 一元二次不等式的解集结构与二次项系数的符号有着直接的关系.其中,①当0>∆时,一元二次不等式()002>>++a c bx ax 的解集在“两根之外”,即“大于大根或小于小根”;一元二次不等式()002><++a c bx ax 的解集在“两根之内”,即“大于小根且小于大根”,简记为“大于0取两边,小于0取中间”;②当0=∆时,一元二次不等式()002>>++a c bx ax 的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≠a b x x 2;一元二次不等式()002><++a c bx ax 的解集为∅;③当0<∆时,一元二次不等式()002>>++a c bx ax 的解集为R ;一元二次不等式()002><++a c bx ax 的解集为∅.表（1）一元二次方程、二次函数以及一元二次不等式的关系:一元二次不等式在R 上恒成立的问题（1）02>++c bx ax 在R 上恒成立,则有:⎩⎨⎧<-=∆>0402ac b a 或⎩⎨⎧>==00c b a ; （2）02<++c bx ax 在R 上恒成立,则有:⎩⎨⎧<-=∆<0402ac b a 或⎩⎨⎧<==00c b a ;（3）一元二次不等式c bx ax ++2≥0在R 上恒成立,则有:⎩⎨⎧≤-=∆>0402ac b a ; （4）一元二次不等式c bx ax ++2≤0在R 上恒成立,则有:⎩⎨⎧≤-=∆<0402ac b a . 补充概念 二次函数的零点我们把使一元二次方程02=++c bx ax 的实数x 叫做二次函数c bx ax y ++=2的零点. 对零点的理解（1）二次函数的零点即相应一元二次方程02=++c bx ax 的实数根;（2）根据数形结合,二次函数的零点,即二次函数的图象与x 轴的交点的横坐标,且交点的个数等于零点的个数;（3）并非所有的二次函数都有零点.当ac b 42-=∆≥0时,一元二次方程有实数根,相应二次函数存在零点.知识点 分式不等式的解法 分式不等式的概念分母中含有未知数的不等式叫做分式不等式.利用不等式的性质,可将分式不等式化为以下标准形式: ①0)()(>x g x f ; ②)()(x g x f ≥0; ③0)()(<x g x f ; ④)()(x g x f ≤0. 分式不等式的解法解分式不等式的思路是把其转化为整式不等式求解.解分式不等式时,要先把分式不等式转化为标准形式. 各标准形式的分式不等式的解法为: （1）0)()(>x g x f 与不等式组⎩⎨⎧>>0)(0)(x g x f 或⎩⎨⎧<<0)(0)(x g x f 同解,与不等式0)()(>⋅x g x f 同解; （2）)()(x g x f ≥0与不等式组⎩⎨⎧≠≥⋅0)(0)()(x g x g x f 同解;（3）0)()(<x g x f 与不等式组⎩⎨⎧<>0)(0)(x g x f 或⎩⎨⎧><0)(0)(x g x f 同解,与不等式0)()(<⋅x g x f 同解;（4）)()(x g x f ≤0与不等式组⎩⎨⎧≠≤⋅0)(0)()(x g x g x f .由以上解法可以看出:将分式不等式转化为标准形式后,再将其转化为不等式组或同解整式不等式进行求解.知识点 高次不等式的解法解高次不等式,一般用“数轴标根法”,也叫“穿根引线法”,其步骤如下:（1）把高次不等式化为左边是几个因式的乘积,右边是0的形式,注意每个因式最高次项的系数必须为正;（2）把不等号换成等号,求出所得方程的所有实数根; （3）标根: 把各个实数根在数轴上标出;（4）画穿根线: 从“最右根”的右上方穿过根,往左下画线,然后又穿过“次右根”上去,如此一上一下依次穿过各根.但要注意偶次根不穿过,即奇过偶不过;（5）写出解集: 若不等号为“ > ”,则取数轴上方穿根线以内的范围;若不等号为“ < ”,则取数轴下方穿根线以内的范围.四、例题讲解例1. 解不等式0452>-+-x x .分析 先把不等式的二次项系数化为正数,再进行求解.注意不等式的解集要写成区间或集合的形式.解: 原不等式可化为:0452<+-x x .对于方程0452=+-x x ,∵()0941452>=⨯⨯--=∆∴该方程有两个不相等的实数根,解之得:4,121==x x . ∴不等式0452>-+-x x 的解集为{}41<<x x .点评 在求解一元二次不等式时,先观察二次项系数是否为正,若为负,则先把不等式的二次项系数化为正数（利用不等式的基本性质）.例2. 已知关于x 的不等式022>++c x ax 的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<-2131x x ,求不等式022>-+-a x cx 的解集.分析 先根据一元二次不等式与相应一元二次方程之间的关系,利用根与系数的关系定理,求出c a ,的值.注意 一元二次不等式的解集的端点值是对应一元二次方程的根. 解: 由题意可知:0<a .∵关于x 的不等式022>++c x ax 的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<-2131x x ∴21,3121=-=x x 是方程022=++c x ax 的两个实数根由根与系数的关系定理可得:⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⨯-=+-=-213121312a c a ,解之得:⎩⎨⎧=-=212c a . ∴022>-+-a x cx 即012222>++-x x ∴062<--x x ,解之得:32<<-x .∴不等式022>-+-a x cx 的解集为{}32<<-x x .例3. 一元二次不等式()()052>-+x x 的解集为 【 】 （A ）{}52>-<x x x 或 （B ）{}25>-<x x x 或 （C ）{}52<<-x x （D ）{}25<<-x x分析 本题可用数轴标根法求解.使用该方法时,要把乘积中所有因式的最高次项的系数化为正数.解: 原不等式可化为:()()052<-+x x .∵方程()()052=-+x x 的根为5,221=-=x x .∴不等式()()052<-+x x 的解集为{}52<<-x x ,即原不等式的解集. ∴选择答案【 C 】.例4. 已知不等式042<++ax x 的解集为空集,则实数a 的取值范围是 【 】 （A ）{}44≤≤-a a （B ）{}44<<-a a （C ）{}44≥-≤a a a 或 （D ）{}44>-<a a a 或分析 本题考查一元二次不等式与相应的二次函数之间的关系,同时问题还可以转化为一元二次不等式恒成立的问题.不等式042<++ax x 的解集为空集,即相应的二次函数42++=ax x y 的图象位于x 轴上及其上方,或者不等式42++ax x ≥0在R 上恒成立.解: ∵不等式042<++ax x 的解集为空集∴162-=∆a ≤0,解之得:4-≤a ≤4. ∴实数a 的取值范围是{}44≤≤-a a . ∴选择答案【 A 】.例5. 若关于x 的不等式()()021>--x mx 的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<21x m x ,则实数m 的取值范围是 【 】 （A ）{}0>m m （B ）{}20<<m m（C ）⎭⎬⎫⎩⎨⎧>21m m （D ）{}0<m m分析 本题由题意可知:0<m . 解: ∵()()021>--x mx∴()02122>++-x m mx .∵其解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<21x m x ∴0<m .∴实数m 的取值范围是{}0>m m . ∴选择答案【 D 】.例6. 已知函数182++=bx ax y 的定义域为[]6,3-,则实数a 的值为_________,实数b 的值为_________.解: ∵函数182++=bx ax y 的定义域为[]6,3-∴一元二次不等式182++bx ax ≥0的解集为[]6,3-. 由根与系数的关系定理可得:⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⨯-=+-=-631863aab ,解之得:⎩⎨⎧=-=31b a . ∴实数a 的值为1-,实数b 的值为3. 例7. 已知函数m x x y +-=2.（1）当2-=m 时,求不等式0>y 的解集; （2）若0,0<>y m 的解集为{}b x a x <<,,求ba 41+的最小值. 解:（1）2-=m 时,22--=x x y .∵0>y ,∴()()02122>-+=--x x x x 解之得:1-<x 或2>x .∴不等式0>y 的解集为{}21>-<x x x 或;（2）∵02<+-=m x x y 的解集为{}21>-<x x x 或 ∴m ab b a ==+,1,且041>-=∆m ,解之得:41<m . ∵0>m ,∴0,0>>b a ,410<<m . ∴()a b b a b a b a b a ++=⎪⎭⎫ ⎝⎛++=+454141≥9425=⋅+a b b a . 当且仅当a b b a =4,即32,31==b a 时,等号成立.此时41923231<=⨯=m ,符合题意. ∴ba 41+的最小值为9. 例8. 解关于x 的不等式02>-x ax （0≠a ）.分析 本题考查含有参数的一元二次不等式的解法.当二次项系数含有参数时,要对二次项系数的正负进行讨论（一元二次不等式解集的结构与二次项系数的符号有关）.解: ∵02>-x ax ,∴()01>-ax x∴01>⎪⎭⎫ ⎝⎛-a x ax .∵0≠a ,∴分为两种情况:①当0>a 时,原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<>01x a x x 或;②当0<a 时,原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<01x a x . 综上所述,当当0>a 时,原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<>01x a x x 或,当0<a 时,原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<01x a x .另解: 解方程02=-x ax （0≠a ）得:ax x 1,121==. 分为两种情况:①当0>a 时,原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<>01x a x x 或; ②当0<a 时,原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<01x a x . 综上所述,当当0>a 时,原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<>01x a x x 或,当0<a 时,原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<01x a x . 点评 不等式02>-x ax （0≠a ）可化为01>⎪⎭⎫⎝⎛-a x ax .当0>a 时,根据不等式的性质可知,原不等式同解于不等式01>⎪⎭⎫⎝⎛-a x x ;当0<a 时,原不等式同解于不等式01<⎪⎭⎫⎝⎛-a x x .例9. 若对于0>∀x ,132++x x x≤a 恒成立,则实数a 的取值范围是 【 】 （A ）⎭⎬⎫⎩⎨⎧≥31a a （B ）⎭⎬⎫⎩⎨⎧>31a a （C ）⎭⎬⎫⎩⎨⎧>51a a （D ）⎭⎬⎫⎩⎨⎧≥51a a . 解: ∵132++x x x≤a 恒成立 ∴只需a ≥max213⎪⎭⎫ ⎝⎛++x x x 即可. ∵0>∀x ∴311132++=++x x x x x≤513121=+⋅xx . 当且仅当xx 1=,即1=x 时,等号成立. ∴5113max 2=⎪⎭⎫ ⎝⎛++x x x . ∴a ≥51,即实数a 的取值范围是⎭⎬⎫⎩⎨⎧≥51a a .∴选择答案【 D 】.例10.（1）若关于x 的不等式0232>+-x ax （∈a R ）的解集为{}b x x x ><或1（∈b R ）,求b a ,的值;（2）解关于x 的不等式ax x ax ->+-5232（∈a R ）.解:（1）由题意可知:0>a .一元二次方程0232=+-x ax 的根为b x x ==21,1.由根与系数的关系定理可得:⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⨯=+=baba1213,解之得:⎩⎨⎧==21b a .∴a 的值为1,b 的值为2;（2）∵ax x ax ->+-5232（∈a R ） ∴()0332>--+x a ax .当0=a 时,原不等式为523>+-x ,解之得:1-<x . ∴原不等式的解集为{}1-<x x ;当0≠a 时,原不等式可化为()031>⎪⎭⎫ ⎝⎛-+a x x a . ①若0>a ,则原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧-<>13x a x x 或; ②若03<<-a 时,原不等式同解于()031<⎪⎭⎫ ⎝⎛-+a x x ,且13-<a ∴原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧-<<13x a x ; ③若3-=a ,原不等式为()0132<+x ,其解集为∅;④若3-<a ,则13->a ,则原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<-a x x 31. 综上所述,当0=a 时, 原不等式的解集为{}1-<x x ;当0>a 时,原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧-<>13x a x x 或;当03<<-a 时,原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧-<<13x a x ; 当3-=a 时,原不等式的解集为∅; 当3-<a 时,原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<-a x x 31. 例11.已知关于x 的不等式08322<-+kx kx . （1）若不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<-123x x ,求实数k 的值;（2）若不等式08322<-+kx kx 恒成立,求实数k 的取值范围. 解:（1）由题意可知:0>k .一元二次方程08322=-+kx kx 的根是1,2321=-=x x . 由根与系数的关系定理:123283⨯-=-k ,解之得:81=k .∴实数k 的值为81;（2）当0=k 时,083<-恒成立,符合题意;当0≠k 时,由题意可知:⎪⎩⎪⎨⎧<⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯⨯-=∆<08324022k k k ,解之得:03<<-k . 综上所述,实数k 的取值范围为{}03≤<-k k .例12. 若∀1≤x ≤4,不等式()422++-x a x ≥1--a 恒成立,求实数a 的取值范围.分析 本题考查一元二次不等式在给定闭区间上的恒成立问题,要把问题转化为相应二次函数在闭区间上的最值问题.解: ∵()422++-x a x ≥1--a∴()1-x a ≤522+-x x . ∵1≤x ≤4∴当1=x 时,显然0⨯a ≤4521=+-成立,∴∈a R ; 当x <1≤4时,01>-x∴a ≤1522-+-x x x 恒成立,只需a ≤min2152⎪⎭⎫⎝⎛-+-x x x 即可.∵()14114115222-+-=-+-=-+-x x x x x x x ≥()41412=-⋅-x x . 当且仅当141-=-x x ,即3=x 时,等号成立.此时3=x []4,1∈,符合题意.∴a ≤4.综上所述,实数a 的取值范围是(]4,∞-. 例13. 已知不等式012<--mx mx .（1）当∈x R 时不等式恒成立,求实数m 的取值范围; （2）当∈x {}31≤≤x x 时不等式恒成立,求实数m 的取值范围.解:（1）当0=m 时,01<-恒成立,符合题意;当0≠m 时,则有⎩⎨⎧<+=∆<0402m m m ,解之得:04<<-m . 综上,实数m 的取值范围是(]0,4-;（2）当0=m 时,显然∈x {}31≤≤x x 时,01<-恒成立,符合题意; 当0≠m 时,()11<-x mx .若1=x ,显然10<恒成立,此时∈m R ; 若x <1≤3,则()01>-x x ∴()11-<x x m 恒成立,只需()min11⎥⎦⎤⎢⎣⎡-<x x m 即可. ∵()4121111122-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=-x x x x x ≥614121312=-⎪⎭⎫ ⎝⎛- ∴()6111min=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-<x x m . 综上所述,实数m 的取值范围为⎪⎭⎫⎝⎛∞-61,.例14. 解关于x 的不等式()m x m mx --+122≥0.解: 当0=m 时,x -≥0,解之得:x ≤0.∴原不等式的解集为{}0≤x x ;当0≠m 时,原不等式可化为()()m x mx +-1≥0∴()[]m x m x m --⎪⎭⎫⎝⎛-1≥0.方程()m x m mx --+122的两个实数根分别为m x mx -==21,1. 当0>m 时,原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≤≥m x m x x 或1; 当0<m 时,原不等式同解于()[]m x m x --⎪⎭⎫ ⎝⎛-1≤0,且m m -<1. ∴原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≤≤m m m x 1. 综上所述,当0=m 时,原不等式的解集为{}0≤x x ;当0>m 时,原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≤≥m x m x x 或1;当0<m 时,原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≤≤m m m x 1. 例15. 已知关于x 的不等式222->-x kx kx . （1）当2=k 时,解不等式; （2）当∈k R 时,解不等式.解:（1）当2=k 时,2422->-x x x∴02522>+-x x ∴()()0212>--x x . 解之得:2>x 或21<x . ∴原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<>212x x x 或;（2）原不等式可化为()02122>++-x k kx . 当0=k 时,02>+-x ,解之得:2<x . ∴原不等式的解集为{}2<x x ;当0≠k 时,原不等式可化为()()012>--kx x∴()012>⎪⎭⎫⎝⎛--k x x k .方程222->-x kx kx 的根为kx x 1,221==. 当0<k 时,原不等式同解于()012<⎪⎭⎫ ⎝⎛--k x x ,且21<k .∴原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<21x k x ; 当0>k 时,原不等式同解于()012>⎪⎭⎫⎝⎛--k x x .①若21>k ,则21<k ,∴原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<>k x x x 12或; ②若21=k ,则21=k,∴原不等式的解集为{}2≠x x ; ③若210<<k ,则21>k ,∴原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<>21x k x x 或.综上所述,当0=k 时,原不等式的解集为{}2<x x ;当0<k 时,原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<21x k x ; 当210<<k 时,原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<>21x k x x 或;当21=k 时,原不等式的解集为{}2≠x x ; 当21>k 时,原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<>k x x x 12或.例16. 已知关于x 的不等式0622<+-k x kx .（1）若不等式的解集为{}23->-<x x x 或,求实数k 的取值; （2）若不等式的解集为R ,求实数k 的取值范围.解:（1）由题意可知:0<k .一元二次方程0622=+-k x kx 的两个实数根分别为2,321-=-=x x .由根与系数的关系定理可得:232--=--k ,解之得:52-=k . ∴实数k 的值为52-;（2）当0=k 时,原不等式的解集为{}0>x x ,不符合题意;当0≠k 时,则有:⎩⎨⎧<-=∆<024402k k ,解之得:66-<k . 综上所述,实数k 的取值范围是⎭⎬⎫⎩⎨⎧-<66k k .例17. 已知122++ax ax ≥0恒成立,解关于x 的不等式022<+--a a x x .解:∵122++ax ax ≥0恒成立∴当0=a 时,1≥0恒成立,符合题意;当0≠a 时,则有:⎩⎨⎧≤-=∆>04402a a a ,解之得:a <0≤1. 综上,实数a 的取值范围是[]1,0. 对于不等式022<+--a a x x当0≤a ≤1时,原不等式可化为()()01<-+-a x a x∴()()[]01<---a x a x ,方程022=+--a a x x 的根为a x a x -==1,21.①若a <21≤1,则a a ->1,∴原不等式的解集为{}a x a x <<-1; ②若21=a ,则a a -=1,∴原不等式的解集为∅;③若210<<a ,则a a -<1,∴原不等式的解集为{}a x a x -<<1.综上所述,对于不等式022<+--a a x x :当a <21≤1时,不等式的解集为{}a x a x <<-1; 当21=a 时,不等式的解集为∅;当0≤21<a 时,不等式的解集为{}a x a x -<<1.例18. 不等式()()xa c xb x -++≤0的解集为{}321≥<≤-x x x 或,则=+c b 【 】（A ）5- （B ）2- （C ）1 （D ）3解: 原不等式可化为()()ax c x b x -++≥0,同解于()()()⎩⎨⎧≠-≥++-00a x c xb x a x .方程()()0=-++ax c x b x 的解为c x b x -=-=21,.∵该不等式的解集为{}321≥<≤-x x x 或∴2=a ,⎩⎨⎧=--=-31c b 或⎩⎨⎧-=-=-13c b ,∴⎩⎨⎧-==31c b 或⎩⎨⎧=-=13c b .∴2-=+c b . ∴选择答案【 B 】.例19. 已知函数b ax x y +=2（b a ,为常数）,且方程012=+-x y 的两个根为31=x ,42=x .（1）求b a ,的值;（2）设1>k ,解关于x 的不等式()xkx k y --+<21.解:（1）由题意可得:⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-+=+-+0124416012339b a b a ,整理得:⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+-=+142131ba ba ,解之得:⎩⎨⎧=-=21b a . ∴a 的值为1-,b 的值为2;（2）由（1）可知:xx y -=22.∵()x kx k y --+<21,∴()xkx k x x --+<-2122. ∴()()()021212<---=-++-xk x x x k x k x . 原不等式同解于()()()021>---k x x x .∵1>k∴当21<<k 时,原不等式的解集为{}21><<x k x x 或; 当2=k 时,()()0212>--x x ,原不等式的解集为{}21≠>x x x 且;当2>k 时,原不等式的解集为{}k x x x ><<或21.综上所述,当21<<k 时,原不等式的解集为{}21><<x k x x 或;当2=k 时,原不等式的解集为{}21≠>x x x 且;当2>k 时,原不等式的解集为{}k x x x ><<或21.例20. 已知集合()()[]{}0132<+--=a x x x A ,()⎭⎬⎫⎩⎨⎧<+--=012a x a x x B . （1）当2=a 时,求B A ;（2）若A B ⊆,求实数a 的取值范围.解:（1）当2=a 时∵()(){}{}72072<<=<--=x x x x x A ,{}52052<<=⎭⎬⎫⎩⎨⎧<--=x x x x x B∴{}52<<=x x B A ;（2）∵∈∀a R ,恒有a a >+12,()()()[]{}010122<+--=⎭⎬⎫⎩⎨⎧<+--=a x a x x a x a x x B ∴{}12+<<=a x a x B . 当213>+a ,即31>a 时,{}132+<<=a x x A . ∵A B ⊆,∴⎩⎨⎧+≤+≥13122a a a ,解之得: 2≤a ≤3.∴实数a 的取值范围是[]3,2;当213=+a ,即31=a 时,(){}∅=<-=022x x A ,显然不符合题意; 当213<+a ,即31<a 时,{}213<<+=x a x A .∵A B ⊆,∴⎩⎨⎧≤+≤+21132a aa ,解之得: 1-≤a ≤21-.∴实数a 的取值范围是⎥⎦⎤⎢⎣⎡--21,1. 综上所述,实数a 的取值范围是[]3,221,1 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--. 例21. 已知不等式442-+>+m x mx x .（1）若对任意实数x 不等式恒成立,求实数m 的取值范围; （2）若对于0≤m ≤4不等式恒成立,求实数x 的取值范围.解:（1）∵442-+>+m x mx x∴()0442>-+-+m x m x . ∵对任意实数x 不等式恒成立∴()()04442<---=∆m m ,解之得: 40<<m .∴实数m 的取值范围是()4,0; （2）∵442-+>+m x mx x ∴()04412>+-+-x x m x . ∵对[]4,0∈∀m ,不等式恒成立∴()()⎩⎨⎧>+-+⨯->+-+⨯-044410440122x x x x x x ,解之得:0≠x 且2≠x . ∴实数x 的取值范围是{}2200><<<x x x x 或或.点评 解决恒成立问题时一定要清楚谁是主元,谁是参数.一般情况下,知道谁的范围,就选谁当主元,求谁的范围,谁就是参数,构造以主元为变量的函数,根据主元的取值范围求解.例22. 设()12--=mx mx x f ,求使()0<x f ,且m ≤1恒成立的x 的取值范围.解: ∵()0<x f ,m ≤1,∴012<--mx mx ,[]1,1-∈m .∴()012<--m x x 对[]1,1-∈m 恒成立. 设()()12--=m x x m g ,则有:()()()()()⎩⎨⎧<-⨯-=<--⨯-=-0111011122x x g x x g ,解之得:251251+<<-x .∴实数x 的取值范围是⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-251,251.重要结论 一次函数()b kx x f +=()0≠k 在区间[]n m ,上的恒成立问题:（1）若()0>x f 恒成立,则()()⎩⎨⎧>>00n f m f ;（2）若()0<x f 恒成立,则()()⎩⎨⎧<<0n f m f .例23. 设函数()12--=mx mx x f ()0≠m ,若对于[]3,1∈x ,()5+-<m x f 恒成立,求m 的取值范围.解: ∵()5+-<m x f 在[]3,1∈x 上恒成立∴062<-+-m mx mx 在[]3,1∈x 上恒成立. 令()62-+-=m mx mx x g ,只需()0max <x g 即可. 函数()x g 图象的对称轴为直线212=--=m m x . 当0>m 时,()x g 在[]3,1上单调递增 ∴()()0673max <-==m g x g ,解之得:76<m . ∴760<<m ; 当0<m 时,()x g 在[]3,1上单调递减 ∴()()061max <-==m g x g ,解之得:0<m .综上所述,m 的取值范围是⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<<7600m m m 或.另解: ∵062<-+-m mx mx 在[]3,1∈x 上恒成立∴()612<+-x x m 在[]3,1∈x 上恒成立.∵04321122>+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+-x x x ∴162+-<x x m 在[]3,1∈x 上恒成立.只需761336162min 2=+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-<x x m 即可. ∵0≠m∴m 的取值范围是⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<<7600m m m 或. 例24. 已知集合{}042≤-=t t A ,对于任意的A t ∈,使不等式122->-+x t tx x 恒成立的x 的取值范围是_____________.解: {}{}22042≤≤-=≤-=t t t t A .∵当A t ∈时,不等式122->-+x t tx x 恒成立 ∴()01212>+-+-x x t x 恒成立. 设()()1212+-+-=x x t x t f ,则有:()()⎩⎨⎧>-=>+-=-012034222x f x x f ,解之得:1-<x 或3>x . ∴x 的取值范围是{}31>-<x x x 或.例25. 对一切实数x ,不等式12++x a x ≥0恒成立,则实数a 的取值范围是_____________.解: 当0=x 时,显然对∈∀a R 成立;当0≠x 时,a ≥⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=--=--x x x x x x 1112,只需a ≥max 1⎪⎭⎫ ⎝⎛+-x x 即可.∵⎪⎭⎫ ⎝⎛+-x x 1≤212-=⋅-x x∴21max -=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-x x ,∴a ≥2-.∴实数a 的取值范围是[)+∞-,2.例26. 已知0,0>>y x ,且()()()144152++--+y x m y x ≥0恒成立,则实数m 的取值范围是_____________.解: ∵0,0>>y x ,∴0>+y x .∵()()()144152++--+y x m y x ≥0恒成立∴15-m ≤()y x y x yx y x +++=+++1441442恒成立,只需15-m ≤min144⎪⎭⎫ ⎝⎛+++y x y x 即可. ∵y x y x +++144≥()241442=+⋅+yx y x （当且仅当12=+y x 时,等号成立） ∴24144min =⎪⎭⎫ ⎝⎛+++y x y x ,∴15-m ≤24,解之得:m ≤5.∴实数m 的取值范围是(]5,∞-. 例27. 已知61>k ,对任意正实数y x ,,不等式ky x k +⎪⎭⎫ ⎝⎛-213≥xy 2恒成立,求实数k 的取值范围.解: ∵61>k ,∴0213>-k . ∴ky x k +⎪⎭⎫ ⎝⎛-213≥xy k k ky x k ⎪⎭⎫⎝⎛-=⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛-213221322.当且仅当ky x k =⎪⎭⎫⎝⎛-213,即x kk y 213-=时,等号成立.∴ky x k +⎪⎭⎫ ⎝⎛-213的最小值为xy k k ⎪⎭⎫⎝⎛-21322∵不等式ky x k +⎪⎭⎫⎝⎛-213≥xy 2恒成立∴xy k k ⎪⎭⎫ ⎝⎛-21322≥xy 2∴xy k k ⎪⎭⎫ ⎝⎛-21342≥xy 2,解之得:k ≥21.∴实数k 的取值范围是⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞,21.例28. 若关于x 的不等式()()0121122>+++-+-x x x k x k 的解集为R ,则实数k 的取值范围是_____________.解: ∵04321122>+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++x x x 在R 上恒成立 ∴原不等式同解于不等式()()02112>+-+-x k x k ,其解集为R 当1=k 时,02> 在R 上恒成立,符合题意;当1≠k 时,则有:()()⎩⎨⎧<---=∆>-0181012k k k ,解之得:91<<k . 综上所述,实数k 的取值范围是[)9,1.例29.（1）解关于x 的不等式()422++-x a x ≤a 24-（∈a R ）;（2）若x <1≤4时,不等式()422++-x a x ≥1--a 恒成立,求实数a 的取值范围.解:（1）∵()422++-x a x ≤a 24-∴()()a x x --2≤0.当2>a 时,原不等式的解集为{}a x x ≤≤2; 当2=a 时,()22-x ≤0,原不等式的解集为{}2=x x ;当2<a 时,原不等式的解集为{}2≤≤x a x .综上所述,当当2>a 时,原不等式的解集为{}a x x ≤≤2;当2=a 时,()22-x ≤0,原不等式的解集为{}2=x x ;当2<a 时,原不等式的解集为{}2≤≤x a x . （2）由题意可知,当(]4,1∈x 时,不等式()5212+---x x a x ≥0恒成立.∴当(]4,1∈x 时,a ≤1522-+-x x x 恒成立,只需a ≤min2152⎪⎭⎫⎝⎛-+-x x x 即可.∵(]4,1∈x ,∴()14114115222-+-=-+-=-+-x x x x x x x ≥()41412=-⋅-x x . 当且仅当141-=-x x ,即3=x 时,等号成立.∴4152min 2=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-x x x .∴a ≤4,即实数a 的取值范围为(]4,∞-.例30.（1）已知命题∈∀x p :R ,a x x +-22≥0,命题∈∃x q :R ,0122=-++a x x ,若p 为真命题,q 为假命题,求实数a 的取值范围;（2）已知a ≥21,二次函数c ax x a y ++-=22,其中c a ,均为实数,证明对任意x （0≤x ≤1）,均有y ≤1成立的充要条件是c ≤43.解:（1）∵命题∈∀x p :R ,a x x +-22≥0为真命题∴()a a 44422-=--=∆≤0,解之得: a ≥1.∵命题∈∃x q :R ,0122=-++a x x 为假命题 ∴⌝q :∈∀x R ,0122≠-++a x x 为真命题. ∴()01241<--=∆a ,解之得:85>a . ∴实数a 的取值范围是[)+∞,1;（2）证明: 二次函数c ax x a y ++-=22图象的对称轴为直线aa a x 2122=--=. ∵a ≥21,∴a210<≤1. ∵[]1,0∈∀x ,02<-a∴函数c ax x a y ++-=22的最大值在顶点处取得,即4144222max +=---=c a a c a y . 充分性: ∵c ≤43,∴41+c ≤14143=+,即max y ≤1. ∴y ≤1;必要性: ∵[]1,0∈∀x ,均有y ≤1成立. ∴max y ≤1,即41+c ≤1,解之得: c ≤43. 综上所述, 对任意x （0≤x ≤1）,均有y ≤1成立的充要条件是c ≤43.例31.已知关于x 的不等式222++-m mx x ≤0（∈m R ）的解集为M . （1）当M 为空集时,求m 的取值范围;（2）在（1）的条件下,求1522+++m m m 的最小值;（3）当M 不为空集,且{}41≤≤⊆x x M 时,求实数m 的取值范围.解:（1）∵不等式222++-m mx x ≤0（∈m R ）的解集为M 为空集∴()()084424222<--=+--=∆m m m m ,解之得:21<<-m .∴m 的取值范围是{}21<<-m m ;（2）由（1）可知: 21<<-m ,∴310<+<m .∴()14114115222+++=+++=+++m m m m m m m ≥()41412=+⋅+m m . 当且仅当141+=+m m ,即1=m 时,等号成立. ∴1522+++m m m 的最小值为4;（3）由题意可知,方程0222=++-m mx x 的两个实数根均在[]4,1内 设()222++-=m mx x x f ,则有:()()()()⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≤--≤≥++-=≥++-=≥+--=∆42210281640221102422m m m f m m f m m ,解之得: 2≤m ≤718. ∴实数m 的取值范围是⎥⎦⎤⎢⎣⎡718,2. 例32. 当10<<x 时,若关于x 的二次方程m mx x 2122-=++有两个不相等的实数根,求实数m 的取值范围.分析 本题考查的是一元二次方程的K 分布:两根均在()21,k k 内. 解: ∵m mx x 2122-=++∴01222=+++m mx x . 设()1222+++=m mx x x f .∵该方程在()1,0内有两个不相等的实数根∴()()()()⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>+++=>+=<-<>+-=∆01221101201220012422m m f m f m m m ,解之得:2121-<<-m . ∴实数m 的取值范围是⎪⎭⎫ ⎝⎛--21,21.重要结论 一元二次方程的实数根的K 分布:一元二次方程02=++c bx ax （0>a ）的两个实数根分别为21,x x ,且21x x <.（1）若k x x <<21,则有:()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧><->∆020k f k a b; （2）若21x x k <<,则有:()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>>->∆020k f k a b; （3）若21x k x <<,则有:()0<k f ;（4）若2211k x x k <<<,即两根21,x x 在()21,k k 内,则有:()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>><-<>∆00202121k f k f k a b k（5）若11k x <,且22k x >（21k k <）,则有:()()⎩⎨⎧<<021k f k f ; （6）()()212211,,,k k x k k x ∈∈中只有一个成立,即方程只有一个实数根在()21,k k 内,则有:()()021<k f k f或⎪⎩⎪⎨⎧<-<=∆2120k ab k . 例33. 已知二次函数1222-+-=t tx x y （∈t R ）.（1）若该二次函数有两个互为相反数的零点,解不等式1222-+-t tx x ≥0; （2）若关于x 的方程01222=-+-t tx x 的两个实数根均大于2-且小于4,求实数t 的取值范围.解:（1）∵二次函数1222-+-=t tx x y 有两个互为相反数的零点∴方程01222=-+-t tx x 有两个互为相反数的实数根,设为21,x x ,∴021=+x x . 由根与系数的关系定理可得:0221==+t x x ,解之得:0=t .∵1222-+-t tx x ≥0∴12-x ≥0,解之得:x ≥1或x ≤1-. ∴该不等式的解集为{}11-≤≥x x x 或;（2）∵()()044441422222>=+-=---=∆t t t t∴∈∀t R ,该方程总有两个不相等的实数根. ∵方程的两个实数根均大于2-且小于4∴()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>+-=>++=-<--<-015840342422222t t f t t f t ,解之得:31<<-t .∴实数t 的取值范围是()3,1-. 例34. 已知二次函数12+-=bx ax y .（1）是否存在实数b a ,,使不等式012>+-bx ax 的解集是{}21<<x x ?若存在,求实数b a ,的值,若不存在,请说明理由;（2）若a 为整数,2+=a b ,且方程012=+-bx ax 在{}12-<<-∈x x x 上恰有一个实数根,求a 的值.解:（1）假设存在这样的实数b a ,.∵不等式012>+-bx ax 的解集是{}21<<x x ∴0<a ,方程012=+-bx ax 的两个实数根分别为2,1. 由根与系数的关系定理可得:⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⨯=+=--21121aa b ,解之得:⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==2321b a . ∵021>=a ,与0<a 矛盾 ∴不存在这样的实数b a ,,使不等式012>+-bx ax 的解集是{}21<<x x ; （2）∵2+=a b ∴()0122=++-x a ax .∵()[]()0314242222>+-=+-=-+-=∆a a a a a∴方程()0122=++-x a ax 总有两个不相等的实数根.∵方程()0122=++-x a ax 在{}12-<<-∈x x x 上恰有一个实数根 ∴()()[]()[]0121122222<+++-⨯⨯+++-⨯a a a a整理得:()()03256<++a a ,解之得:6523-<<-a . ∵a 为整数 ∴a 的值为1-.例35. 已知不等式052>+-b ax x 的解集为{}14<>x x x 或. （1）求实数b a ,的值; （2）若10<<x ,()xbx a x f -+=1,求函数()x f 的最小值. 分析 （1）一元二次不等式的解的结构与二次项系数的符号有关,且一元二次不等式解集的端点值就是其对应的一元二次方程的两个实数根;（2）注意到()11=-+x x ,且01,10>-<<x x ,考虑利用基本不等式求函数()x f 的最小值.解:（1）∵不等式052>+-b ax x 的解集为{}14<>x x x 或∴方程052=+-b ax x 的两个实数根分别4和1. 由根与系数的关系定理可得:⎩⎨⎧⨯=+=14145b a ,解之得:⎩⎨⎧==41b a . ∴a 的值为1,b 的值为4; （2）由（1）可知:4,1==b a . ∴()xx x f -+=141. ∵10<<x ,∴01>-x . ∴()()[]x x x x x x x x x x x f -+-+=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-+=-+=11451411141 ≥911425=-⋅-+xxx x . 当且仅当x x x x -=-114,即31=x 时,等号成立. ∴函数()x f 的最小值为9.。
二次函数与方程不等式的关系
二次函数与方程不等式的关系一、知识点梳理1、二次函数表达式的几种常见方法（1）三点式（或一般式）：)0,,(2≠++=a c b a c bx ax y 为常数且，表达式的右边是二次三项式的一般形式，当已知抛物线上不共线的三点坐标时，通常把三点坐标代入表达式，然后列出关于c b a ,,的三元一次方程组求解.（2）顶点式：k h x a y +-=2)()0,,(≠a k h a 为常数且由抛物线的表达式右边可知，抛物线的顶点坐标为),(k h ，当已知抛物线的顶点和抛物线上另一点时，通常设函数表达式为顶点式，然后代入另一个点的坐标，解关于a 的一次方程来求。
当已知两点的坐标和对称轴时，亦可将其代入k h x a y +-=2)(中求解.2、二次函数 c bx ax y ++=2与一元二次方程02=++c bx ax 的关系抛物线：c bx ax y ++=2与x 轴交点的横坐标，恰为一元二次方程02=++c bx ax 的实根. 因为x 轴上的点的纵坐标都为0,所以求抛物线c bx ax y ++=2与x 轴交点的横坐标，可利用函数表达式c bx ax y ++=2来求，只需令0=y ,得一元二次方程02=++c bx ax ,方程的解即为交点的横坐标.抛物线c bx ax y ++=2与x 轴的交点有三种情况：（1）当042＞ac b -时，方程02=++c bx ax 有两个不相等的实数根21,x x ，拋物线c bx ax y ++=2与x 轴有两个交点)0,(),0,(21x x ；（2）当042=-ac b 时，方程02=++c bx ax 有两个相等的实数根2a -21b x x ==， 抛物线c bx ax y ++=2与x 轴有一个交点，恰好就是抛物线的顶点)0,2(ab -; （3）当042＜ac b -时，方程02=++c bx ax 没有实数根，抛物线与x 轴没有交点.3、二次函数的图像与一次函数图像的交点一次函数()0≠+=k n kx y 的图像L 与二次函数()02≠++=a c bx ax y 的图像G 的交点，由方程组⎩⎨⎧++=+=cbx ax y ,n kx y 2的解的个数来确定： （1）方程组有两组不同的解-----L 与G 有两个交点；（2）方程组只有一组解-----L 与G 只有一个交点；（3）方程组无解-----L 与G 没有交点。
九年级上册 专题03 二次函数与方程、不等式(知识点串讲)(教师版含解析)
专题03 二次函数与方程、不等式知识网络重难突破知识点一二次函数与一元二次方程二次函数y＝ax2+bx+c(a，b，c是常数，a≠0)1.抛物线与x轴的交点的横坐标是一元二次方程ax2+bx+c=0的解.2.若已知二次函数y＝ax2+bx+c的函数值为s，求自变量x的值，就是解一元二次方程ax2+bx+c=s.【典例1】(2019•镇海区一模)若二次函数y＝ax2﹣2ax+c(a≠0)的图象经过点(﹣1，0)，则方程ax2﹣2ax+c ＝0的解为()A．x1＝﹣3，x2＝﹣1 B．x1＝﹣1，x2＝3C．x1＝1，x2＝3 D．x1＝﹣3，x2＝1【点拨】先确定抛物线的对称轴为直线x＝1，再根据抛物线的对称性得到抛物线与x轴的另一个交点坐标为(3，0)，从而根据抛物线与x轴的交点问题得到方程ax2﹣2ax+c＝0的解．【解析】解：抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝1，而抛物线与x轴的一个交点坐标为(﹣1，0)，所以抛物线与x轴的另一个交点坐标为(3，0)，所以方程ax2﹣2ax+c＝0的解为x1＝﹣1，x2＝3．故选：B．【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y＝ax2+bx+c(a，b，c是常数，a≠0)与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．【变式训练】1．(2018秋•江汉区期中)如表中列出了二次函数y＝ax2+bx+c(a≠0)的一些对应值，则一元二次方程ax2+bx+c＝0(a≠0)的一个近似解x1的范围是()x…﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 …y…﹣11 ﹣5 ﹣1 1 1 …A．﹣3＜x1＜﹣2 B．﹣2＜x1＜﹣1 C．﹣1＜x1＜0 D．0＜x1＜1【点拨】根据函数的增减性：函数在[﹣1，0]上y随x的增大而增大，可得答案．【解析】解：当x＝﹣1时，y＝﹣1，x＝1时，y＝1，函数在[﹣1，0]上y随x的增大而增大，得一元二次方程ax2+bx+c＝0(a≠0)的一个近似解在﹣1＜x1＜0，故选：C．【点睛】本题考查了图象求一元二次方程的近似根，两个函数值的积小于零时，方程的解在这两个函数值对应的自变量的中间．2．(2019•德城区一模)关于x的方程(x﹣3)(x﹣5)＝m(m＞0)有两个实数根α，β(α＜β)，则下列选项正确的是()A．3＜α＜β＜5 B．3＜α＜5＜βC．α＜2＜β＜5 D．α＜3且β＞5【点拨】根据平移可知：将抛物线y＝(x﹣3)(x﹣5)往下平移m个单位可得出抛物线y＝(x﹣3)(x﹣5)﹣m，依此画出函数图象，观察图形即可得出结论．【解析】解：将抛物线y＝(x﹣3)(x﹣5)往下平移m个单位可得出抛物线y＝(x﹣3)(x﹣5)﹣m，画出函数图象，如图所示．∵抛物线y＝(x﹣3)(x﹣5)与x轴的交点坐标为(3，0)、(5，0)，抛物线y＝(x﹣3)(x﹣5)﹣m与x轴的交点坐标为(α，0)、(β，0)，∴α＜3＜5＜β．故选：D．【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点、二次函数的图象以及平移的性质，依照题意画出函数图象，利用数形结合解决问题是解题的关键．3．(2019秋•镇海区校级期中)如图，抛物线y＝ax2与直线y＝bx+c的两个交点坐标分别为A(﹣3，4)，B(1，1)，则关于x的方程ax2﹣bx﹣c＝0的解为﹣3，1．【点拨】根据抛物线与直线的交点坐标的横坐标即可求解．【解析】解：因为抛物线y＝ax2与直线y＝bx+c的两个交点坐标分别为A(﹣3，4)，B(1，1)，所以关于x的方程ax2＝bx+c的解为x1＝﹣3，x2＝1，即关于x的方程ax2﹣bx﹣c＝0的解为x1＝﹣3，x2＝1．故答案为﹣3、1．【点睛】本题考查了抛物线与直线交点坐标，解决本题的关键是两交点的横坐标就是方程的解．知识点二二次函数与x轴交点情况对于二次函数y＝ax2+bx+c(a，b，c是常数，a≠0)△＝b2﹣4ac决定抛物线与x轴的交点个数：①△＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；②△＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；③△＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点.【典例2】下列二次函数的图象与x轴没有交点的是()A．y＝﹣3x2﹣4x B．y＝x2﹣3x﹣4 C．y＝x2﹣6x+9 D．y＝2x2+4x+5【点拨】分别计算四个选项中的判别式的值，然后根据判别式的意义确定抛物线与x轴的交点个数，从而可对各选项进行判断．【解析】解：A、△＝(﹣4)2﹣4×(﹣3)×0＞0，此抛物线与x轴有两个交点，所以A选项错误；B、△＝(﹣3)2﹣4×(﹣4)＞0，此抛物线与x轴有两个交点，所以B选项错误；C、△＝(﹣6)2﹣4×9＝0，此抛物线与x轴有1个交点，所以C选项错误；D、△＝42﹣4×2×5＜0，此抛物线与x轴没有交点，所以D选项正确．故选：D．【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y＝ax2+bx+c(a，b，c是常数，a≠0)与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．△＝b2﹣4ac决定抛物线与x轴的交点个数(△＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；△＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点)．【变式训练】1．(2019秋•新昌县校级月考)二次函数y＝2x2﹣5x+3的图象与x轴的交点有()A．1个B．2个C．3个D．4个【点拨】△＝b2﹣4ac＝25﹣4×2×3＝1＞0，即可求解．【解析】解：△＝b2﹣4ac＝25﹣4×2×3＝1＞0，故二次函数y＝2x2﹣5x+3的图象与x轴有两个交点，故选：B．【点睛】本题考查的是抛物线与x轴的交点，主要考查根的判别式，要求学生非常熟悉函数与坐标轴的交点代表的意义．2．(2018秋•西湖区期末)一元二次方程x2+bx+c＝0有一个根为x＝﹣3，则二次函数y＝2x2﹣bx﹣c的图象必过点()A．(﹣3，0) B．(3，0) C．(﹣3，27) D．(3，27)【点拨】先把x＝﹣3代入方程x2+bx+c＝0得3b﹣c＝9，利用整体代入的方法计算出自变量为﹣3对应的函数值为27，从而可判断抛物线经过点(﹣3，27)．【解析】解：把x＝﹣3代入方程x2+bx+c＝0得9﹣3b+c＝0，则3b﹣c＝9，当x＝﹣3时，y＝2x2﹣bx﹣c＝18+3b﹣c＝18+9＝27，所以二次函数y＝2x2﹣bx﹣c的图象必过点(﹣3，27)．故选：C．【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y＝ax2+bx+c(a，b，c是常数，a≠0)与x轴的交点坐标问题转化解关于x的一元二次方程即可求得交点横坐标．也考查了二次函数的图象上点的坐标特征．3．(2018秋•瑞安市期末)已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于A，B两点，对称轴是直线x＝﹣1，若点A的坐标为(1，0)，则点B的坐标是()A．(﹣2，0) B．(0，﹣2) C．(0，﹣3) D．(﹣3，0)【点拨】利用点B与点A关于直线x＝﹣1对称确定B点坐标．【解析】解：∵二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于A，B两点，∴点A与点B关于直线x＝﹣1对称，而对称轴是直线x＝﹣1，点A的坐标为(1，0)，∴点B的坐标是(﹣3，0)．故选：D．【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y＝ax2+bx+c(a，b，c是常数，a≠0)与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．知识点三二次函数与不等式(组)1.涉及一元二次不等式的，可以利用二次函数图像图象求解2.两个函数的值的大小比较，上方图象的函数值大于下方图象的函数值.【典例4】(2019秋•新昌县校级月考)已知函数y1＝x2与函数y2＝x+3的图象大致如图所示，若y1＜y2，则自变量x的取值范围是()A．＜x＜2 B．x＞2或x＜C．x＜﹣2或x＞D．﹣2＜x＜【点拨】联立y1＝x2、y2＝x+3并解得：x＝﹣2或，y1＜y2，此时直线在抛物线上方，即可求解．【解析】解：联立y1＝x2、y2＝x+3并解得：x＝﹣2或，∵y1＜y2，即直线在抛物线上方时，确定x的取值范围，此时，﹣2＜x，故选：D．【点睛】本题考查的是二次函数与不等式(组)，要求学生通过函数图象交点，比较函数值的大小，从而确定不等式的解值，而不是采取直接解不等式的方法求解．【变式训练】1．(2018秋•苍南县期中)如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象与y轴交于A(0，2)，且经过B(4，2)，则不等式ax2+bx+c＞2的解集为0＜x＜4．【点拨】直接利用二次函数图象利用A，B点坐标得出不等式ax2+bx+c＞2的解集．【解析】解：如图所示：∵二次函数y＝ax2+bx+c的图象与y轴交于A(0，2)，且经过B(4，2)，∴不等式ax2+bx+c＞2的解集为：0＜x＜4．故答案为：0＜x＜4．【点睛】此题主要考查了二次函数与不等式，正确利用数形结合分析是解题关键．2．(2018秋•下城区期末)已知函数y1＝﹣(m+1)x2+nx+2与y2＝mx+2的图象都经过A(4，﹣4)．若y2≤y1，则x的取值范围为x≤0或x≥4．【点拨】先A点坐标代入y2＝mx+2得4m+2＝﹣4，再求出m，则可判断二次函数图象的开口向上，易得函数y1＝﹣(m+1)x2+nx+2与y2＝mx+2的图象都经过点(0，2)，然后根据函数图象，写出直线不在抛物线上方所对应的自变量的范围即可．【解析】解：把A(4，﹣4)代入y2＝mx+2得4m+2＝﹣4，解得m＝﹣，∵﹣(m+1)＞0，∴二次函数图象的开口向上，∵函数y1＝﹣(m+1)x2+nx+2与y2＝mx+2的图象都经过点(0，2)，∴y2≤y1，则x的取值范围为x≤0或x≥4．故答案为x≤0或x≥4．【点睛】本题考查了二次函数与不等式(组)：对于二次函数y＝ax2+bx+c(a、b、c是常数，a≠0)与不等式的关系，利用两个函数图象在直角坐标系中的上下位置关系求自变量的取值范围，可作图利用交点直观求解，也可把两个函数解析式列成不等式求解．3．(2019秋•秀洲区期中)如图，直线y＝x+m和抛物线y＝x2+bx+3都经过点A、点B，且A(1，0)，(1)求m的值及点B的坐标；(2)求不等式x2+bx+3≥x+m的解集．(直接写出答案)【点拨】(1)将点A的坐标代入一次函数表达式得：0＝1+m，解得：m＝﹣1，同理解得：b＝﹣4，联立方程组即可求解；(2)从图象可以看出：不等式x2+bx+3≥x+m的解集为：x≤1或x≥4．【解析】解：(1)将点A的坐标代入一次函数表达式得：0＝1+m，解得：m＝﹣1，故直线的表达式为：y＝x﹣1…①；将点A的坐标代入抛物线表达式得：0＝1+b+3，解得：b＝﹣4，故抛物线的表达式为：y＝x2﹣4x+3…②，联立①②并解得：x＝1或4，故点B(4，3)；(2)从图象可以看出：不等式x2+bx+3≥x+m的解集为：x≤1或x≥4．【点睛】本题考查的是抛物线与x轴的交点，主要考查函数图象上点的坐标特征，要求学生非常熟悉函数与坐标轴的交点、顶点等点坐标的求法，及这些点代表的意义及函数特征．巩固训练1．(2019春•西湖区校级月考)函数y＝ax2+bx+c如图所示，若方程ax2+bx+c＝k有两个不相等的实数根，则()A．k＞0 B．k＞﹣3 C．k＜﹣3 D．k＝0【点拨】结合函数图象，利用当k＞﹣3时，直线y＝k与抛物线y＝ax2+bx+c＝0有两个交点，从而可对各选项进行判断．【解析】解：抛物线y＝ax2+bx+c的顶点的纵坐标为﹣3，直线y＝﹣3与抛物线y＝ax2+bx+c＝0只有一个交点，当k＞﹣3时，直线y＝k与抛物线y＝ax2+bx+c＝0有两个交点，所以当k＞﹣3时，方程ax2+bx+c＝k有两个不相等的实数根．故选：B．【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y＝ax2+bx+c(a，b，c是常数，a≠0)与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．2．(2019春•安吉县期中)如图，抛物线y＝﹣x2+mx的对称轴为直线x＝2，若关于x的一元二次方程﹣x2+mx ﹣t＝0(t为实数)在1＜x＜3的范围内有解，则t的取值范围是()A．﹣5＜t≤4 B．3＜t≤4 C．﹣5＜t＜3 D．t＞﹣5【点拨】先利用抛物线的对称轴方程求出m得到抛物线解析式为y＝﹣x2+4x，配方得到抛物线的顶点坐标为(2，4)，再计算出当x＝1或3时，y＝3，结合函数图象，利用抛物线y＝﹣x2+4x与直线y＝t在1＜x＜3的范围内有公共点可确定t的范围．【解析】解：∵抛物线y＝﹣x2+mx的对称轴为直线x＝2，∴﹣＝2，解得m＝4，∴抛物线解析式为y＝﹣x2+4x，抛物线的顶点坐标为(2，4)，当x＝1时，y＝﹣x2+4x＝3；当x＝3时，y＝﹣x2+4x＝3，∵关于x的一元二次方程x2+mx﹣t＝0(t为实数)在1＜x＜3的范围内有解，∴抛物线y＝﹣x2+4x与直线y＝t在1＜x＜3的范围内有公共点，∴3＜t≤4．【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y＝ax2+bx+c(a，b，c是常数，a≠0)与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．3．(2019•慈溪市模拟)已知抛物线y＝x2+mx+n与x轴只有一个公共点，且过点A(a，b)，B(a﹣4，b)，则b 的值为()A．4 B．2 C．6 D．9【点拨】根据抛物线y＝x2+mx+n与x轴只有一个公共点，可知△＝0，从而可以得到m与n的关系，再根据抛物线y＝x2+mx+n过点A(a，b)，B(a﹣4，b)，可以得到a和m的关系，从而可以求得b的值．【解析】解：∵抛物线y＝x2+mx+n与x轴只有一个公共点，∴△＝m2﹣4×1×n＝m2﹣4n＝0，∴n＝m2，∵抛物线y＝x2+mx+n过点A(a，b)，B(a﹣4，b)，∴b＝a2+ma+n，b＝(a﹣4)2+m(a﹣4)+n，∴a2+ma+n＝(a﹣4)2+m(a﹣4)+n，化简，得a＝，∴b＝a2+ma+n＝()2+m×+m2＝4，故选：A．【点睛】本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，求出b的值．4．(2019•杭州)在平面直角坐标系中，已知a≠b，设函数y＝(x+a)(x+b)的图象与x轴有M个交点，函数y ＝(ax+1)(bx+1)的图象与x轴有N个交点，则()A．M＝N﹣1或M＝N+1 B．M＝N﹣1或M＝N+2C．M＝N或M＝N+1 D．M＝N或M＝N﹣1【点拨】先把两个函数化成一般形式，若为二次函数，再计算根的判别式，从而确定图象与x轴的交点个数，若一次函数，则与x轴只有一个交点，据此解答．【解析】解：∵y＝(x+a)(x+b)，a≠b，∴函数y＝(x+a)(x+b)的图象与x轴有2个交点，∵函数y＝(ax+1)(bx+1)＝abx2+(a+b)x+1，∴当ab≠0时，△＝(a+b)2﹣4ab＝(a﹣b)2＞0，函数y＝(ax+1)(bx+1)的图象与x轴有2个交点，即N＝2，此时M＝N；当ab＝0时，不妨令a＝0，∵a≠b，∴b≠0，函数y＝(ax+1)(bx+1)＝bx+1为一次函数，与x轴有一个交点，即N＝1，此时M＝N+1；综上可知，M＝N或M＝N+1．故选：C．【点睛】本题主要考查一次函数与二次函数与x轴的交点问题，关键是根据根的判别式的取值确定抛物线与x轴的交点个数，二次项系数为字母的代数式时，要根据系数是否为0，确定它是什么函数，进而确定与x轴的交点个数．5．(2019春•西湖区校级月考)函数y＝x2+bx+c与y＝x的图象如图所示，则不等式x2+(b﹣1)x+c＜0的解集为1＜x＜3．【点拨】根据当1＜x＜3时，二次函数值小于一次函数值，可得x2+bx+c＜x，继而可求得答案．【解析】解：∵当1＜x＜3时，二次函数值小于一次函数值，∴x2+bx+c＜x，∴x2+(b﹣1)x+c＜0．∴不等式x2+(b﹣1)x+c＜0的解集为1＜x＜3，故答案为1＜x＜3．【点睛】主要考查二次函数与不等式(组)，此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．6．(2019•拱墅区校级模拟)已知如图二次函数y1＝ax2+bx+c(a≠0)与一次函数y2＝kx+m(k≠0)的图象相交于点A(﹣2，4)，B(8，2)(如图所示)则能使y1＜y2成立的x的取值范围是﹣2＜x＜8．【点拨】根据函数图象，写出抛物线在直线下方部分的x的取值范围即可．【解析】解：由图可知，﹣2＜x＜8时，y1＜y2．故答案为：﹣2＜x＜8．【点睛】本题考查了二次函数与不等式组，数形结合是数学中的重要思想之一，解决函数问题更是如此，同学们要引起重视．7．(2019•柯城区校级一模)如图，已知直线y1＝﹣x+2与x轴交于点A，与y轴交于点B．过A，B两点的抛物线y2＝ax2+bx+c交x轴于点C(﹣1，0)．(1)求A，B的坐标；(2)求抛物线的解析式；(3)求出当y1＞y2时，自变量x的取值范围．【点拨】(1)利用一次函数的解析式确定A、B的坐标；(2)利用待定系数法求抛物线解析式；(3)写出抛物线在直线下方所对应的自变量的范围．【解析】解：(1)当x＝0时，y＝﹣x+2＝2，则B(0，2)；当y＝0时，﹣x+2＝0，解得x＝4，则A(4，0)；(2)设抛物线解析式为y＝a(x+1)(x﹣4)，把B(0，2)代入得a(0+1)(0﹣4)＝2，解得：a＝﹣，所以抛物线解析式为y＝﹣(x+1)(x﹣4)，即y＝﹣x2+x+2；(3)当y1＞y2时，x的取值范围为x＜0或x＞4．【点睛】本题考查了二次函数与不等式(组)：对于二次函数y＝ax2+bx+c(a、b、c是常数，a≠0)与不等式的关系，利用两个函数图象在直角坐标系中的上下位置关系求自变量的取值范围，可作图利用交点直观求解，也可把两个函数解析式列成不等式求解．也考查了抛物线与x轴的交点问题和二次函数的性质．8．(2019春•西湖区校级月考)若二次函数y＝kx2+(3k+2)x+2k+2．(1)若抛物线的对称轴是直线x＝﹣1，求k的值；(2)求证：抛物线与x轴有交点．(3)经研究发现，无论k为何值，抛物线经过某些特定的点，请求出这些定点．(4)若y1＝2x+2，在﹣2＜x＜﹣1范围内请比较y1，y的大小．【点拨】(1)抛物线的对称轴是直线x＝﹣1＝﹣，即可求解；(2)△＝b2﹣4ac＝(3k+2)2﹣4k(2k+2)＝(k+2)2≥0，即可求解；(3)y＝kx2+(3k+2)x+2k+2＝k(x2+3x+2)+2x+2，当x2+3x+2＝0时，函数过定点，则x＝﹣1或﹣2，即可求解；(4)如图所示，抛物线过定点：(﹣1，0)、(﹣2，﹣2)，由图象可见：当k＞0时，y1＞y；当k＜0时，y1＜y．【解析】解：(1)抛物线的对称轴是直线x＝﹣1＝﹣，解得：k＝﹣2；(2)△＝b2﹣4ac＝(3k+2)2﹣4k(2k+2)＝(k+2)2≥0，故：抛物线与x轴有交点；(3)y＝kx2+(3k+2)x+2k+2＝k(x2+3x+2)+2x+2，当x2+3x+2＝0时，函数过定点，则x＝﹣1或﹣2，则定点为：(﹣1，0)、(﹣2，﹣2)；(4)如图所示，抛物线过定点：(﹣1，0)、(﹣2，﹣2)，由图象可见：当k＞0时，y1＞y；当k＜0时，y1＜y．【点睛】本题考查的是抛物线与x轴的交点，主要考查函数图象上点的坐标特征，要求学生非常熟悉函数与坐标轴的交点、顶点等点坐标的求法，及这些点代表的意义及函数特征．。
二次函数与二元一次方程、不等式的解的对应关系
二次函数与二元一次方程、不等式的解的对应关系二次函数与二元一次方程、不等式的解的对应关系在数学领域中，二次函数与二元一次方程、不等式的解之间存在着密切的对应关系。
本文将从简单到复杂的角度，全面评估这一主题，并据此撰写一篇有价值的文章，以便读者更深入地理解这一关系。
一、二次函数的基本形式我们首先来了解二次函数的基本形式。
二次函数通常具有以下标准形式：f(x) = ax^2 + bx + c。
其中，a、b、c分别代表二次项系数、一次项系数和常数项。
1. 二次函数图像的特点二次函数的图像是一个抛物线，其开口方向由二次项系数a的正负决定。
当a > 0时，图像开口向上；当a < 0时，图像开口向下。
二次函数的顶点坐标为：(-b/2a, f(-b/2a))。
2. 二次函数的零点二次函数的零点即为方程f(x) = 0的解，也就是函数图像与x轴的交点。
要求出二次函数的零点，可以使用求根公式或配方法，进而得到对应的解。
二、二元一次方程、不等式的基本形式接下来，我们将了解二元一次方程和不等式的基本形式，以及它们与二次函数解之间的联系。
1. 二元一次方程的一般形式二元一次方程一般可表示为：ax + by = c。
在解二元一次方程时，通常采用代入、相消、加减消元法等方法，最终得到方程的解。
2. 二元一次不等式的一般形式二元一次不等式的一般形式为：ax + by > c或ax + by < c。
解二元一次不等式时，同样可以通过代入法等方式，最终得到不等式的解集合。
三、二次函数与二元一次方程、不等式解的对应关系了解了二次函数和二元一次方程、不等式的基本形式后，接下来我们来探讨它们之间的对应关系。
1. 二次函数的解与二元一次方程的关系对于二次函数f(x) = ax^2 + bx + c，其解即为方程f(x) = 0的解。
而方程f(x) = 0可以化为ax^2 + bx + c = 0的形式，与一元二次方程的形式一致。
二次函数与二元方程、二次不等式的关系
二次方程的求解方法
1
配方法
通过配方法将二次方程转化为完全平方。
2
公式法
学习使用二次方程根的求解公式，解决各类二次方程。
3
图像法
借助二次函数的图像直观地解决二次方程。
二次方程的常见形式
一元二次方程
了解一元二次方程常见的形式和求解策略。
二元二次方程
探讨二定量二次方程的特点和解的个数。
二次不等式的概念
对称性
探讨二次函数的对称轴和对称中心，了解图像的对称性质。
判别式
了解二次函数判别式对二次方程解的影响。
二次函数的最值
1 最高点/最低点
2 顶点坐标与判别式
3 实际问题中的最值
探索二次函数图像的最值， 理解关键点对应的意义。
掌握二次函数中顶点的坐 标与判别式的关系。
通过实际问题，将二次函 数的最值应用到实际情境 中。
二次函数与二元方程、二 次不等式的关系
本次演讲将深入探讨二次函数、二次方程和二次不等式之间的紧密联系。通 过图像、形式和应用等多个角度，带您领略二次函数的魅力。
什么是二次函数
了解二次函数的定义和特点，掌握它的基本形式及其图像，为后续的讲解打 下坚实基础。
二次函数的性质
单调性
研究二次函数的增减规律，理解单调性在图像上的表现。
介绍二次不等式的定义和求解思路，了解判别式在二次不等式中的应用。
二次不等式的解法
符号法
借助符号法解决一元二次不等式，掌握不等号的方向性。
图像法
通过观察二次函数图像，解决二次不等式。
判别式与解的类型
了解判别式与二次不等式解的类型之间的关系。
二次函数与二元二次方程的关系
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分析图像
二次函数与二次方程二次不等式的关系
二次函数与二次方程、二次不等式的关系一、知识要点知识点1、二次函数与一元二次方程、二次不等式有着十分紧密的联系；当二次函数y=ax2+bx+c(a丰0)的函数值y=0时，就是一元二次方程，当沪0时，就是二次不等式。
知识点2、二次函数的图象与 x轴交点的横坐标就是一元二次方程的根，图像的交点个数与一元二次方程的根的个数是完全相同的，这是数和形有机结合的重要体现。
研究二次函2 . . 2数y=ax + bx + c图象与x轴交点问题从而就转化为研究一元二次方程ax + bx + c=0的根的变式训练：1、函数y=ax2— bx + c的图象过(一1, 0)，贝U b c c a a b的值是___________________ 2、已知二次函数 y=x2 + mx + m— 2 •求证：无论 m取何实数，抛物线总与 x轴有两个交点.3 .已知二次函数 y=x2— 2kx + k2 + k— 2 •(1)当实数k为何值时，图象经过原点？(2)当实数k在何范围取值时，函数图象的顶点在第四象限内？5 .已知抛物线 y=mx2 +( 3 — 2m) x + m — 2 ( m^O)与x轴有两个不同的交点.(1 )求m的取值范围；(2)判断点P (1，1)是否在抛物线上；(3)当m=1时，求抛物线的顶点 Q及P点关于抛物线的对称轴对称的点P'的坐标，并过P'、Q、P三点，画岀抛物线草图.2例2、(本题满分12分)二次函数y ax bx 6(a 0)的图像交y轴于C点，交x轴于A，B△ =b2— 4ac △ > 0 △ =0△ < 0二次函数y=ax2+bx+c(a > 0)的图像一元二次方程ax2+bx+c=0(a > 0)的根无实数根一元二次不等式ax2+bx+c> 0(a > 0)的解集x < x1或x > x2(% < x2)x为全体实数一元二次不等ax2+bx+c< 0(a > 0)的解集x1<x < x2(x1< x2)无解无解问题，这样图像问题就可以转化成方程问题，应用根的判别式、韦达定理、求根公式等解题。
考点08 二次函数与方程不等式之间的关系(解析版)
考点八二次函数与方程不等式之间的关系知识点拓展一、二次函数与一元二次方程的关系1．二次函数y =ax 2+bx +c （a ≠0），当y =0时，就变成了一元二次方程ax 2+bx +c =0（a ≠0）．2．ax 2+bx +c =0（a ≠0）的解是抛物线y =ax 2+bx +c （a ≠0）的图象与x 轴交点的横坐标．3．（1）b 2–4ac >0⇔方程有两个不相等的实数根，抛物线与x 轴有两个交点；（2）b 2–4ac =0⇔方程有两个相等的实数根，抛物线与x 轴有且只有一个交点；（3）b 2–4ac <0⇔方程没有实数根，抛物线与x 轴没有交点．考向一二次函数与一元二次方程、不等式的综合抛物线y =ax 2+bx +c （a ≠0）与x 轴的交点个数及相应的一元二次方程根的情况都由Δ=b 2–4ac 决定.1．当Δ>0，即抛物线与x 轴有两个交点时，方程ax 2+bx +c =0有两个不相等的实数根，这两个交点的横坐标即为一元二次方程的两个根．2．当Δ=0，即抛物线与x 轴有一个交点（即顶点）时，方程ax 2+bx +c =0有两个相等的实数根，此时一元二次方程的根即为抛物线顶点的横坐标．3．当Δ<0，即抛物线与x 轴无交点时，方程ax 2+bx +c =0无实数根，此时抛物线在x 轴的上方（a >0时）或在x 轴的下方（a <0时）．典例引领1．如图，在平面直角坐标系中，抛物线()22y x k =--+（k 是常数）与x 轴交于A 、B 两，其中点A 的坐标为()1,0，点P 在此抛物线上，其横坐标为()1m m >，过点P 作x 轴的垂线，垂足为Q ，(1)求此抛物线的解析式；(2)直接写出点B 的坐标；(3)当点P 在x 轴上方，且PQ AQ +的值随m 的增大而增大时，求m 的取值范围；(4)当抛物线上点A 与点P 之间的部分（包括点P ）的最高点到y 轴的距离等于3PQ 时，直(1)若6AB =，5AC =，求(2)若2b a =-，3c =，（ⅰ）当0a >，请判断此时抛物线点的情况；（ⅱ）已知点(),P a y 和点(1)已知一次函数的图象过点(2)当03x ≤≤时，对于x 的每一个值，函数2y x b =-+（b 为常数）的值大于函数256y x x =-+的值，直接写出b 的取值范围．【答案】(1)26y x =-+(2)6b >【分析】（1）令0y =，则2560x x -+=，可求()30B ，，当0x =，则2566y x x =-+=，可求()06C ，，待定系数法求一次函数解析式即可；（2）由题意知，2y x b =-+的图象与直线BC 平行，如图，结合图象求解作答即可．【详解】（1）解：令0y =，则2560x x -+=，解得，2x =或3x =，∴()30B ，，当0x =，则2566y x x =-+=，即()06C ，，设一次函数解析式为y kx b =+，将()30B ，，()06C ，代入得，306k b b +=⎧⎨=⎩，解得，26k b =-⎧⎨=⎩，∴一次函数的解析式为26y x =-+；（2）解：由题意知，2y x b =-+的图象与直线BC 平行，如图，∵当03x ≤≤时，对于x 的每一个值，2625x x b x +>-+-，∴由图可知：6b >．【点睛】本题考查了二次函数与x 轴的交点坐标，一次函数解析式，一次函数图象的平移，二次函数与不等式．熟练掌握二次函数与x 轴的交点坐标，一次函数解析式，一次函数图象的平移，二次函数与不等式是解题的关键．变式拓展5．如图所示，二次函数2y ax bx c =++的图象经过()1,0-、()3,0、()03-，三点．(1)求二次函数的解析式；(2)方程2ax bx c m ++=有两个实数根，m 的取值范围为__________．(3)不等式23ax bx c x ++>-的解集为__________；【答案】(1)2=23y x x --(2)4m ≥-(3)0x <或3x >【分析】本题考查二次函数的图象与性质、待定系数法求函数解析式、二次函数图象与一次函数的交点问题，利用数形结合思想求解是解答的关键．（1）利用待定系数法，设二次函数的解析式为()()13y a x x =+-，进而代值求解a 值即可；（2）先求得二次函数的最小值，再结合图象，求得使直线y m =与二次函数图象有两个交点时的m 值的取值范围即可；（3）先判断出二次函数2y ax bx c =++的图象与直线3y x =-的交点坐标为()0.3-，()3,0，（1）求该抛物线的解析式；（2）若直线y＝kx 23+（k≠0＝10时，求k的值；（3）当﹣4＜x≤m时，y有最大值1(1)求直线AB 的函数表达式及点(2)点P 是第四象限内二次函数图象上的一个动点，过点AB 交于点D ，设点【答案】(1)4y x =-(2)m 的值为2，3或∵2PD =，∴2542m m -+=解得∵01m <<∴5172m -=如图，当点P 在直线∵2PD =，∴2542m m -+=解得∴二次函数表达式为：232y x x =-+，令0y =，得：2320x x -+=，解得：1x =或2x =，∴二次函数图像与x 轴有两个公共点的坐标是：()1,0，()2,0，又 点A 坐标为()1,0，∴点B 坐标为()2,0．。
专题15二次函数及其应用(知识点总结例题讲解)-2021届中考数学一轮复习
1 2 中考数学 专题 15 二次函数及其应用（知识点总结+例题讲解）一、二次函数的概念：1.二次函数的概念：（1）一般地，如果 y=ax 2+bx+c(a ，b ，c 是常数，a≠0)，那么 y 叫做 x 的二次函数； （2）抛物线 y=ax 2+bx+c(a ，b ，c 是常数，a≠0)叫做二次函数的一般式。
2.二次函数的解析式（ 二次函数的解析式有三种形式）： （1）一般式：y=ax 2+bx+c(a ，b ，c 是常数，a≠0) （2）顶点式：y=a(x-h)2+k(a ，h ，k 是常数，a≠0) （3）两根式(交点式)：y=a(x-x 1)(x-x 2)；①已知图像与 x 轴的交点坐标 x 1、x 2，通常选用交点式； 即对应二次方程 ax 2+bx+c=0 有实根 x 和 x 存在； ②如果没有交点，则不能这样表示。
3.用待定系数法求二次函数的解析式：（1）若已知抛物线上三点坐标，可设二次函数表达式为 y ＝ax 2＋bx ＋c ； （2）若已知抛物线上顶点坐标或对称轴方程，则可设顶点式：y ＝a(x －h)2＋k ，其中对称轴为 x ＝h ，顶点坐标为(h ，k)；（3）若已知抛物线与 x 轴的交点坐标或交点的横坐标，则可采用两根式(交点式)：y ＝a(x －x 1)(x －x 2)，其中与 x 轴的交点坐标为(x 1，0)，(x 2，0)。
【例题 1】已知二次函数的图象经过(2，10)、(0，12)和(1，9)三点，求二次函数的解析式.【答案】y=2x 2-5x+12【解析】设抛物线的解析式为 y=ax 2+bx+c ，把(2，10)、(0，12)、(1，9)分别代入求出 a ，b ，c 即可．解：设抛物线的解析式为 y=ax 2+bx+c ；⎨ ⎩ ⎧4a + 2b + c = 10 把(2，10)、(0，12)、(1，9)分别代入得⎪c = 12⎪a + b + c = 9 所以，二次函数的解析式为：y=2x 2-5x+12。
考点07 二次函数与一元二次方程和不等式的关系-解析版 2023-2024学年九年级数学考点归纳与解
考点07 二次函数与一元二次方程和不等式的关系1 抛物线与x 轴的交点情况的分析二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ，b ，c 是常数，a ≠0）1.抛物线与x 轴的交点的横坐标是一元二次方程ax 2+bx +c=0的解.2.若已知二次函数y ＝ax 2+bx +c 的函数值为s ，求自变量x 的值，就是解一元二次方程ax 2+bx +c=s .3.二次函数y =a x 2+bx +c 的图像与x 轴的两个交点的横坐标x 1、x 2，是对应一元二次方程a x 2+bx +c =0的两个实数根.抛物线与x 轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定： ①有两个交点⇔Δ>0⇔抛物线与x 轴相交；②有一个交点（顶点在x 轴上）⇔Δ=0⇔抛物线与x 轴相切；③没有交点⇔Δ<0⇔抛物线与x 轴相离.二次函数y=ax 2+bx+c 的图象和x 轴交点的横坐标与一元二次方程ax 2+bx+c=0的根关系：抛物线y=ax 2+bx+c(a ≠0)与x 轴的公共点的个数一元二次方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)的根的情况b 2-4ac >0有两个有两个不相等的实数根b 2-4ac =0有一个有两个相等的实数根b 2-4ac<0没有公共点没有实数根2 抛物线与y 轴的交点情况图像与y 轴的交点即是x ＝0的情况求y 的值，也就是c 的值。
3 已知函数值求自变量的值只需要将对应的函数值的值带入函数解析式即可求出自变量的值4 根据图像确定方程根的情况二次函数y=ax 2+bx+c 的图象和x 轴交点的横坐标即是一元二次方程ax 2+bx+c=0的根。
5 图像法确定一元二次方程的近似根图像与x轴的交点纵坐标为0，在这个点的左右的点的纵坐标的值必然是一正一负，根据条件，离这个交点的最近的左右两个点的横坐标即是对应的方程的近似值。
6 二次函数与不等式（组）1.涉及一元二次不等式的，可以利用二次函数图像图象求解2.两个函数的值的大小比较，上方图象的函数值大于下方图象的函数值.考点1抛物线与x轴的交点考点2 抛物线与y轴的交点情况考点3 已知函数值求自变量的值考点4 根据图像确定方程根的情况考点5 图像法确定一元二次方程的近似根考点6 二次函数与不等式（组）考点7 根据不等式确定自变量或函数值的范围考点8 求x轴与抛物线交点的截线长考点1抛物线与x轴的交点A ．11x =，2x =C ．11x =，2x =∴方程()200ax bx c a ++=≠的两根是11x =-，27x =．故答案为：B ．【点睛】本题考查了二次函数的对称性及二次函数与一元二次方程的性质，结合图象掌握函数的性质是解题的关键．3．（2023秋·广东湛江·九年级校考期末）抛物线()()234y x x =-+与x 轴交点的坐标为（ ）A ．()3,0-和()4,0-B ．()0,3和()0,4-C ．()0,3-和()0,4D ．()3,0和()4,0-【答案】D【分析】通过解方程()()2340x x -+=即可得到抛物线()()234y x x =-+与x 轴交点的坐标．【详解】解：当0y =时，()()2340x x -+=，解得：13x =，24x =-，∴抛物线()()234y x x =-+与x 轴交点的坐标为()3,0，()4,0-，故选：D ．【点睛】本题考查了抛物线与x 轴的交点，解题的关键是求抛物线与x 轴交点的坐标问题转化成解关于x 的一元二次方程．4．（2023春·浙江杭州·九年级校考阶段练习）已知关于x 的二次函数()()y x a x b x =---的与x 轴的交点坐标是(),0c 和(),0d ，其中a ，b ，c ，d 均为常数，则关于x 的二次函数()()y x c x d x =--+与x 轴的交点坐标是（ ）A ．(),0a 和(),0b B ．(),0a -和(),0b -C ．(),0c 和(),0d D ．(),0c -和(),0d -【答案】A【分析】将()()y x a x b x =---化为一般式，根据根与系数的关系可得1c d a b +-=+，cd ab =，将()()y x c x d x =--+化为一般式，可得121x x c d +=+-，12x x cd ⋅=，即可求解．【详解】解：∵二次函数()()()21y x a x b x x a b x ab =---=-+++的与x 轴的交点坐标是(),0c 和(),0d ，∴方程()()0x a x b x =---的两个根分别为c 、d ，∴1c d a b +=++，cd ab =，∴1c d a b+-=+∵()()()21y x c x d x x c d x cd =--+=-+-+，设方程()()0x a x b x =--+的两根为1x ，2x ，∴121x x c d +=+-，12x x cd ⋅=，∴1x ，2x 分别为a 、b ，∴该函数与x 轴的交点坐标(),0a 和(),0b ，故选：A ．【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，解题的关键是掌握二次函数与x 轴的交点横坐标即为对应方程的根，掌握一元二次方程根与系数的关系．考点2 抛物线与y 轴的交点情况在2=23y x x --中，当0y =时，解得：121,3x x =-=当0x =时，=3y -，即()()()1,03,00,3A B C --、、，∴4,3AB OC ==故ABC 的面积为：12436⨯⨯=考点3 已知函数值求自变量的值考点4 根据图像确定方程根的情况A．a<0B．【答案】B【分析】由图象可知，a<【详解】解：由图象可知，b<，∴0a>A．0C．240-<b ac【答案】B【分析】采用数形结合的方法解题，根据抛物线的开口方向，对称轴的位置判断关系与抛物线与x轴的交点情况结合起来分析问题．值为（ ）A ．5B ．2C ．1D ．1或5【答案】A【分析】根据二次函数与x 轴只有一个交点，则关于x 的一元二次方程()21410a x x --+=只有一个实数根，据此求解即可．【详解】解：∵关于x 的二次函数()2141y a x x =--+图象与x 轴只有一个交点，∴关于x 的一元二次方程()21410a x x --+=只有一个实数根，∴()()2Δ441010a a ⎧=---=⎪⎨-≠⎪⎩，解得5a =，故选A ．【点睛】本题主要考查了抛物线与x 轴的交点问题，熟练掌握二次函数与一元二次方程之间的关系是解题的关键．考点5 图像法确定一元二次方程的近似根A ．5m >【答案】A 【分析】利用函数图象，的解的情况．【详解】解：观察图象可得，【点睛】本题考查了二次函数与一元二次方程，解题的关键是由二次函数的图象与考点6 二次函数与不等式（组）b<A．a<0，0a b+>C．40【答案】D【分析】根据抛物线开口方向和抛物线的对称轴位置对次项系数a 共同决定对称轴的位置：当a 与b 同号时(即0)ab >，对称轴在y 轴左侧；当a 与b 异号时(即0)ab <，对称轴在y 轴右侧．(简称：左同右异)；常数项c 决定抛物线与y 轴交点：抛物线与y 轴交于()0,c ．抛物线与x 轴交点个数由∆决定：240b ac ∆=->时，抛物线与x 轴有2个交点；240b ac ∆=-=时，抛物线与x 轴有1个交点；24<0b ac ∆=-时，抛物线与x 轴没有交点．22．（2023秋·全国·九年级专题练习）已知，抛物线2y ax bx c =++的图象如图所示，根据图象回答，当21ax bx c ++<时，x 的取值范围是（ ）A ．13x -<<B ．1x <-或3x >C ．1x <-D ．3x >【答案】A 【分析】由图象可得：当1y =时，=1x -或3x =，可得当21ax bx c ++<时，即图象在直线1y =的下方，从而可得x 的取值范围是13x -<<．【详解】解：由图象可得：当1y =时，=1x -或3x =，∴当21ax bx c ++<时，x 的取值范围是13x -<<；故选A【点睛】本题考查的是利用二次函数的图象解不等式，熟练的利用数形结合的方法解题是关键．23．（2023·全国·九年级专题练习）二次函数()20y ax bx c a =++≠的图像如图所示，则函数值0y >时，x 的取值范围是（ ）A ．1x <-B ．3x >C ．13x -<<D ．1x <-或3x >【答案】D 【分析】写出函数图象在x 轴上方部分的x 的取值范围即可．【详解】解：由图可知，当1x <-或3x >时，0y >．故选：D ．【点睛】本题考查了二次函数与不等式，此类题目，利用数形结合的思想求解是关键．24．（2022秋·浙江杭州·九年级校考期中）如图，抛物线214y x x =-+和直线22y x =，当12y y <时，x 的取值范围是（ ）A ．02x <<B ．0x <或2x >C ．0x <或>4x D ．04x <<【答案】B 【分析】先求出两图象的交点为()()0,0,2,4，可得当0x <或2x >时，抛物线的图象位于直线的下方，即可求解．【详解】解：联立得：224y x y x x=⎧⎨=-+⎩，解得：121202,04x x y y ==⎧⎧⎨⎨==⎩⎩，即两图象的交点为()()0,0,2,4，∴当0x <或2x >时，抛物线的图象位于直线的下方，∴当12y y <时，x 的取值范围是0x <或2x >．故选：B【点睛】此题考查求两个函数图象的交点坐标，根据函数图象确定自变量x 的取值范围，正确解出交点坐标及正确理解函数图象是解题的关键．考点7 根据不等式确定自变量或函数值的范围则t 的取值范围是（ ）A ．2t >B ．0t >C ．02t <<D ．2t <【答案】B【分析】将(),A t m 、()4,B t n +代入二次函数24y x x c =-+求解即可．【详解】将(),A t m 、()4,B t n +代入二次函数24y x x c =-+，∴24m t t c =-+，()()2444n t t c =+-++，∵m n <，∴()()224444t t c t t c -+<+-++，∴0t >．故选：B ．【点睛】本题考查了二次函数与不等式．26．（2022春·九年级课时练习）在平面直角坐标系中，已知点A （4，2），B （4，4）抛物线L ：y ＝﹣（x ﹣t ）2+t （t ≥0），当L 与线段AB 有公共点时，t 的取值范围是（ ）A ．3≤t ≤6B ．3≤t ≤4或5≤t ≤6C ．3≤t ≤4，t ＝6D ．5≤t ≤6【答案】B【分析】根据题意知线段AB 平行于y 轴，先根据二次函数经过点A 与点B 构建方程，进而得出二次函数与线段交点解集即可．【详解】解：根据题意知：∵点()4,2A ，()4,4B ，故对于二次函数()()20y x t t t =--+≥与线段AB 有公共点时，即当x =4时，2y 4≤≤，即()2244t t --+≤≤，当()242t t --+=时，解得123,6t t ==，当()244t t --+=时，解得434,5t t ==，∴()2244t t --+≤≤的解集为34t ≤≤或56t ≤≤；方程在13x -<<的范围内有实数根，当2x =时，7y =∵抛物开口朝下，函数243y x x =-++在2x =时有最大值7，对称轴是2x =，()213,321--=-=，31>即在13x -<<的范围，当=1x -时的函数值最小∴当=1x -时，=2y -∴t 的取值范围是27t -<≤故选：D ．【点睛】本题考查二次函数的图象及性质；能够将方程的实数根问题转化为二次函数与直线的交点问题是解题关键．考点8 求x 轴与抛物线交点的截线长A．3B．−3故选B．【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，一元二次方程根与系数的关系以及二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c 是常数，a≠0）的交点与一元二次方程ax2+bx+c=0根之间的关系．。
专题：二次函数与方程不等式的关系
专题：二次函数与方程不等式的关系知识点：二次函数与一元二次方程的关系1. 一元二次方程20ax bx c ++=是二次函数2y ax bx c =++当函数值 时的特殊情况.2.图象与x 轴的交点个数： (1)当 时，图象与x 轴交于两点()()1200A x B x ，，，12()x x ≠，其中的12x x ，是一元二次方 程 的两根．这两点间的距离为 .(2)当 时，图象与x 轴只有一个交点；(3)当 时，图象与x 轴没有交点.①当 时，图象落在x 轴的上方，无论x 为任何实数，都有 ；②当 时，图象落在x 轴的下方，无论x 为任何实数，都有 ．3. 抛物线2y ax bx c =++的图象与y 轴一定相交，交点坐标为 ；4.常用解题方法：⑴ 求二次函数的图象与x 轴的交点坐标，需转化为 ；⑵ 求二次函数的最大（小）值需要利用 将二次函数由一般式转化为 ；（3）二次函数的图象关于 对称.例题讲解：1.如图是二次函数y=ax 2+bx+c 的部分图象（1）方程ax 2+bx+c=0的解是__________．（2）不等式ax 2+bx+c<0的解是__________．2.若二次函数2(22)1y mx m x m =-+-+的图象与x 轴有两个交点，则m 的取值范围是__________．3.直线41y x =＋与抛物线22y x x k =＋＋有唯一交点，则k 是__________．4.若关于x 的二次函数21(1)4y mx m x m =+++的函数图象都在x 轴的下方，则m 的取值范围是___________．5.不等式1222≥--x x 的解集为_________6.二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象如图所示，若|ax 2＋bx ＋c |＝k (k ≠0)有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是( )A ．k ＜－3B ．k ＞－3C ．k ＜3D ．k ＞37.若m，n (m n<)是关于x的方程1－(x－a)(x－b)=0的两个根，且a b<，则a，b，m，n的大小关系是__________．8.已知方程260x x a-+=的两个不等实根均大于2，求实数a的取值范围．9.如图，抛物线y=ax2+bx+c经过A(1，1)和O(0，0)两点，则不等式ax2+bx-x＞0的解集为 .10在平面直角坐标系xoy中,抛物线y=x2-4x+3与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C.(1)求直线BC的表达式.(2)垂直与y轴的直线l与抛物线交于点P（x1,y1）, Q（x2,y2）,与直线BC交于点N（x3,y3）,若x1< x2< x3,结合函数的图象，求x 1+x2+x3的取值范围练习1.关于x 的二次函数()22818y mx m x m =+++的图象与x 轴有交点，则m 的取值范围是___________．2.若直线y=－2与抛物线y=x 2+kx －1只有一个交点，则( )A ．k=2B ．k=－2C ．k=±2D ．k 的值无法确定3.已知直线y=x+b 经过抛物线y=6x 2+5x －7与y 轴的交点，则( )A ．b=7B ．b=－7C ．b=±7D ．b=04.二次函数y=ax 2＋bx ＋c 对于x 取任何值都恒为负值的条件是( )A.0a >，△>0B.0a >，△<0C.0a <，△>0D.0a <，△<05.二次函数y=ax 2+bx 的图象经过原点和二、三、四象限，则满足a ，b 的条件为( )A ．a ＞0，b ＞0B ．a ＜0，b ＜0C ．a ＞0，b ＜0D ．a ＜0，b ＞06. 不等式11522-<+-x x 的解集为_________7.二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c(a ≠0，a ，b ，c 为常数)的图象如图所示，则ax 2＋bx ＋c ＝m 有实数根的条件是8.若关于x 的一元二次方程x 2+ax+b=0有两个不同的实数根m ，n(m ＜n)，方程x 2+ax+b=1有两个不同的实数p ，q(p ＜q)，则m ，n ，p ，q 的大小关系为( )A.m ＜p ＜q ＜nB.p ＜m ＜n ＜qC.m ＜p ＜n ＜qD.p ＜m ＜q ＜n9.已知函数y=3－(x－m)(x－n)，并且a，b是方程3－(x－m)(x－n)=0的两个根，则实数m，n，a，b的大小关系可能是( )A.m＜n＜b＜aB.m＜a＜n＜bC.a＜m＜b＜nD.a＜m＜n＜b10. 作出y=|x2-x|的图形，并讨论关于x的方程：|x2-x|=a的根的个数．11.若关于x的一元二次方程ax2+2x－5=0的两根中有且仅有一根在0和1之间(不含0和1)，求实数a的取值范围．11.已知直线l：y=kx+1与抛物线y=x2-4x(1)求证：直线l与该抛物线总有两个交点.(2)设直线l与该抛物线两交点为A，B，O为原点，当K=-2时，求△OAB的面积.。
二次函数专题(二次函数与方程、不等式的关系)
二次函数专题二次函数、一元二次方程及一元二次不等式的关系问题1：你能快速地求出一元二次方程2230x x --=的根吗？问题2：请你画出函数223y x x =--图象，研究图象上是否有一些特殊的点和一元二次方程2230x x --=的根之间有某种联系，你有什么发现吗？问题3：研究一元二次方程2230x x -+=的根的个数及其判别式与二次函数223y x x =-+的图像和x轴的交点个数，你能得到什么结论？问题4：你能结合问题2、3，得到一般化的结论吗？归纳：（1）对于二次函数c bx ax y ++=2)0(≠a 来说，当0=y 时，就得一元二次方程02=++c bx ax )0(≠a ，因此我们可以利用一元二次方程求二次函数图像与x 轴的交点坐标.进一步我们还可以探讨一元二次方程ac b 42-=∆的取值与二次函数图像与x 轴的交点坐标的情况之间的关系：①当042>-=∆ac b 时，一元二次方程02=++c bx ax 有两个不相等的实数根，抛物线c bx ax y ++=2与x 轴有两个交点；②当042=-=∆ac b 时，一元二次方程02=++c bx ax 有两个相等的实数根，抛物线c bx ax y ++=2与x 轴有唯一交点（这个唯一交点就是抛物线的顶点）；③当042<-=∆ac b 时，一元二次方程02=++c bx ax 没有实数根，抛物线c bx ax y ++=2与x轴没有交点（抛物线全部在x 轴上方或全部在x 轴下方）.（2）当一元二次方程02=++c bx ax 有两个不相等的实数根1x 、2x 时，抛物线c bx ax y ++=2与x 轴交于两点A(1x ,0)、B(2x ,0)，此时有a b x x -=+21，1x ·a c x =2.此时抛物线与x 轴两交点的距离为： AB=21x x -=221)(x x -212214)(x x x x -+=224a ac b -=a ∆= 例1 如图，是二次函数y ＝ax 2+bx+c 图象的一部分，其对称轴为直线x ＝1，若其与x 轴一交点为A （3，0），则由图象可知，不等式ax 2＋bx ＋c ＜0的解集是 .例2 二次函数y=c bx ax ++2 (a ≠0，a ，b ，c 为常数)图象如图所示，根据图象解答问题（1）写出方程02=++c bx ax 的两个根（2）写出不等式c bx ax ++2＞0的解集 （3）若方程c bx ax ++2=k 有两个不相等的实数根，求k 的取值范围.例3 若关于x 的一元二次方程0522=++ax x 的两根在1与2之间（不含1和2），则a 的取值范围是 ．例4 已知函数y 1＝x 2与函数y 2＝－12 x ＋3的图象大致如图，若y 1＜y 2，则自变量x 的取值范围是（ ）A ．－12 ＜x ＜2B ．x ＞2或x ＜－32C ．－2＜x ＜32D ．x ＜－2或x ＞32例5 已知：y 关于x 的函数y ＝(k －1)x2－2kx ＋k ＋2的图象与x 轴有交点．(1)求k 的取值范围；(2)若x 1，x 2是函数图象与x 轴两个交点的横坐标，且满足k （x 1+x 2）＝2x 1x 2． ①求k 的值；②当k ≤x ≤k ＋2时，请结合函数图象确定y 的最大值和最小值．例6 直线y=2x+3与抛物线y=x 2交于A 、B 两点，求AB 的长。
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二次函数专题
二次函数、一元二次方程及一元二次不等式的关系
问题1：你能快速地求出一元二次方程2230x x --=的根吗？
问题2：请你画出函数223y x x =--图象，研究图象上是否有一些特殊的点和一元二次方程2230x x --=的根之间有某种联系，你有什么发现吗？
问题3：研究一元二次方程2230x x -+=的根的个数及其判别式与二次函数223y x x =-+的图像和x 轴的交点个数，你能得到什么结论？
问题4：你能结合问题2、3，得到一般化的结论吗？
归纳：（1）对于二次函数c bx ax y ++=2)0(≠a 来说，当0=y 时，就得一元二次方程02=++c bx ax )0(≠a ，因此我们可以利用一元二次方程求二次函数图像与x 轴的交点坐标.进一步我们还可以探讨一元二次方程ac b 42-=∆的取值与二次函数图像与x 轴的交点坐标的情况之间的关系：
①当042>-=∆ac b 时，一元二次方程02=++c bx ax 有两个不相等的实数根，抛物线c bx ax y ++=2与x 轴有两个交点；
②当042=-=∆ac b 时，一元二次方程02=++c bx ax 有两个相等的实数根，抛物线c bx ax y ++=2
与x 轴有唯一交点（这个唯一交点就是抛物线的顶点）；
③当042<-=∆ac b 时，一元二次方程02=++c bx ax 没有实数根，抛物线c bx ax y ++=2与x 轴没有交点（抛物线全部在x 轴上方或全部在x 轴下方）.
（2）当一元二次方程02=++c bx ax 有两个不相等的实数根1x 、2x 时，抛物线
c bx ax y ++=2与x 轴交于两点A(1x ,0)、B(2x ,0)，此时有a
b x x -=+21，1x ·a
c x =2.此时抛物线与x 轴两交点的距离为： AB=21x x -=221)(x x -212
214)(x x x x -+=224a ac b -=a ∆= 例1 如图，是二次函数y ＝ax 2
+bx+c 图象的一部分，其对称轴为直线x ＝1，若其与x 轴一
交点为A （3，0），则由图象可知，不等式ax 2＋bx ＋c ＜0的解集是 .
例2 二次函数y=c bx ax ++2 (a ≠0，a ，b ，c 为常数)图象如图所示，根据图象解答问题
（1）写出方程02=++c bx ax 的两个根 （2）写出不等式c bx ax ++2＞0的解集
（3）若方程c bx ax ++2=k 有两个不相等的实数根，求k 的取值范围.
例3 若关于x 的一元二次方程0522=++ax x 的两根在1与2之间（不含1和2），则a 的取值范围是 ．
例4 已知函数y 1＝x 2与函数y 2＝－12
x ＋3的图象大致如图，若y 1＜y 2，则自变量x 的取值范围是（ ）
A ．－12 ＜x ＜2
B ．x ＞2或x ＜－32
C ．－2＜x ＜32
D ．x ＜－2或x ＞32
例5 已知：y 关于x 的函数y ＝(k －1)x2－2kx ＋k ＋2的图象与x 轴有交点．
(1)求k 的取值范围；
(2)若x 1，x 2是函数图象与x 轴两个交点的横坐标，且满足k （x 1+x 2）＝2x 1x 2． ①求k 的值；
②当k ≤x ≤k ＋2时，请结合函数图象确定y 的最大值和最小值．
例6 直线y=2x+3与抛物线y=x 2交于A 、B 两点，求AB 的长。
例7 已知直线l ：y=2x+3与抛物线c ：y=21x 2+3x+2
5 （1）求证：抛物线c 与直线l 无交点。
（2）若与直线l 平行的直线与抛物线c 只有一个公共点P ，求P 点的坐标。