二次函数与方程、不等式综合.讲义

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B 级要求
C 级要求
二次函数
1.能根据实际情境了解二次函数的意义；
2.会利用描点法画出二次函数的图像；
1.能通过对实际问题中的情境分析确定二次函数的表达式；
2.能从函数图像上认识函数的性质；
3.会确定图像的顶点、对称轴和开口方向；
4.会利用二次函数的图像求出二次方程的近似解；
1.能用二次函数解决简单的实际问题；
2.能解决二次函数与其他知识结合的有关问题；
一、二次函数与一元二次方程的联系
1. 直线与抛物线的交点
（1） y 轴与抛物线2y ax bx c =++得交点为()0c ，
. （2） 与y 轴平行的直线x h =与抛物线2y ax bx c =++有且只有一个交点()
2h ah bh c ++，.
（3） 抛物线与x 轴的交点:二次函数2y ax bx c =++的图像与x 轴的两个交点的横坐标1x 、2x ，是对应一元二次方程20ax bx c ++=的两个实数根.抛物线与x 轴的交点情况可以由对应的一元二次方程
的根的判别式判定：
①有两个交点⇔0∆>⇔抛物线与x 轴相交；
②有一个交点（顶点在x 轴上）⇔0∆=⇔抛物线与x 轴相切； ③没有交点⇔0∆<⇔抛物线与x 轴相离. （4） 平行于x 轴的直线与抛物线的交点．可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时，两
交点的纵坐标相等，设纵坐标为k ，则横坐标是2ax bx c k ++=的两个实数根.
（5） 抛物线与x 轴两交点之间的距离．若抛物线2y ax bx c =++与x 轴两交点为()()1200A x B x ，
，，，由于1x 、2x 是方程20ax bx c ++=的两个根，故1212b c
x x x x a
+=-
⋅=， ()
()
2
22
2
12121212444b c
b a
c AB x x x x x x x x a a a a -∆⎛⎫=-=
-----=
⎪⎝⎭
2. 二次函数常用的解题方法
（1） 求二次函数的图象与x 轴的交点坐标，需转化为一元二次方程； （2） 求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式； （3） 根据图象的位置判断二次函数2y ax bx c =++中a ，b ，c 的符号，或由二次函数中a ，b ，c 的
符号判断图象的位置，要数形结合； （4） 二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与x 轴
的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标. （5） 与二次函数有关的还有二次三项式，二次三项式2(0)ax bx c a ++≠本身就是所含字母x 的二次函
数；以0a >时为例，二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联系如下：
知识点睛
二次函数与方程、不等式综合
0∆>
抛物线与x 轴有两个交点
二次三项式的值可正、可零、可负
一元二次方程有两个不相等实根
0∆=
抛物线与x 轴只有一个交点
二次三项式的值为非负 一元二次方程有两个相等的实数根 0∆<
抛物线与x 轴无交点
二次三项式的值恒为正 一元二次方程无实数根.
3. 二次函数与一元二次方程根的分布（选讲）
所谓一元二次方程，实质就是其相应二次函数的零点（图象与x 轴的交点问题），因此，二次方程的实根分布问题，即二次方程的实根在什么区间内的问题，借助于二次函数及其图象利用数形结合的方法来研究是非常有益的．
设()()20f x ax bc c a =++≠的二实根为1x ，2x ，()12x x <，24b ac ∆=-，且()αβαβ<，是预先给定的两个实数．
（1） 当两根都在区间()αβ，内，方程系数所满足的充要条件： ∵12x x αβ<<<，对应的二次函数()f x 的图象有下列两种情形：
α
β
x 1x 2
a>0
O
x
y
y
x
O
x 2
x 1
β
α
当0a >时的充要条件是：0∆>，2b
a αβ<-
<，()0f α>，()0f β>． 当0a <时的充要条件是：0∆>，2b
a
αβ<-<，()0f α<，()0f β<．
两种情形合并后的充要条件是：
()()0200b a f f αβαααβ⎫
∆><-<⎪
⎬⎪>>⎭，，①
（2） 当两根中有且仅有一根在区间()αβ，内，方程系数所满足的充要条件； ∵1x αβ<<或2x αβ<<，对应的函数()f x 的图象有下列四种情形：
x 1
α
β
x
y
O
α
β
x 1
x
y
O
x
y
αβ
x 1
O
x
y
α
β
x 1
O
从四种情形得充要条件是：
()()0f f αβ⋅<②
（3） 当两根都不在区间[]αβ，
内方程系数所满足的充要条件： 当两根分别在区间[]αβ，
的两旁时； ∵12x x αβ<<<对应的函数()f x 的图象有下列两种情形：
x
y
α
β
x 2
x 1
O
O
x 1x 2
β
α
y
x
当0a >时的充要条件是：()0f α<，()0f β<． 当0a <时充要条件是：()0f α>，()0f β>． 两种情形合并后的充要条件是：
()0f αα<，()0f αβ<③ 当两根分别在区间[]αβ，之外的同侧时：
∵12x x αβ<<<或12x x αβ<<<，对应函数()f x 的图象有下列四种情形：
x
y
αβ
x 1
x 2
O x
y
αβ
x 1x 2
O
x
y
αβ
x 1x 2
O
x
y
αβ
x 1x 2
O
当12x x α<<时的充要条件是：
0∆>，2b
a
α-<，()0f αα>④
当12x x β<<时的充要条件是：
0∆>，2b
a
β->，()0f αβ>⑤
（3）区间根定理
如果在区间()a b ，
上有()()0f a f b ⋅<，则至少存在一个()x a b ∈，，使得()0f x =． 此定理即为区间根定理，又称作勘根定理，它在判断根的位置的时候会发挥巨大的威力．
f (b )
f (a )
b a
一、二次函数与方程、不等式综合
【例1】 已知二次函数2y x x a =-+(0)a >，当自变量x 取m 时，其相应的函数值小于0，那么下列结论
中正确的是（ ）
A .1m -的函数值小于0
B .1m -的函数值大于0
C .1m -的函数值等于0
D .1m -的函数值与0的大小关系不确定
【例2】 已知二次函数2(1)1y x m x m =-++-
（1）求证：不论m 为任何实数，这个函数的图象与x 轴总有交点，
（2）m 为何实数时，这两个交点间的距离最小？这个最小距离是多少？
【例3】 已知二次函数()2f x x px q =++，且方程()0f x =与()20f x =有相同的非零实根．
（1）求
2
q
p 的值； （2）若()128f =，解方程()0f x =.
例题精讲
【例4】 已知方程240ax x b ++=()0a <的两实根为1x 、2x ，方程230ax x b ++=的两实根为α、β．
（1）若a 、b 均为负整数，且||1αβ-=，求a 、b 的值； （2）若12αβ<<<，12x x <，求证：1221x x -<<<．
【巩固】已知函数1y x =，22y x bx c =++，αβ，为方程120y y -=的两个根，点()M t T ，
在函数2y 的图象上．
（1）若11
32
αβ==，，求函数2y 的解析式；
（2）在（1）的条件下，若函数1y 与2y 的图象的两个交点为A B ，，当ABM ∆的面积为
3
1
12时，求t 的值；
（3）若01αβ<<<，当01t <<时，试确定T αβ，，三者之间的大小关系，并说明理由．
【例5】 已知方程2210x px ++=的两个实根一个小于1，一个大于1，求p 的取值范围．
【巩固】设二次方程()
22120x a x a +-+-=有一根比1大，另一根比1-小，试确定实数a 的范围．
【巩固】若二次方程()22100ax x a -+=>在区间()13，内仅有较大实根，另一根不等于1，求a 的取值范围．
【例6】 实数a 在什么范围内取值时，关于x 的方程2(2)50x a x a --+-=的一个根大于0而小于2，另一
个根大于4而小于6？
【巩固】设a b ，是实数，二次方程20x ax b -+=的一个根属于区间[]11-，
，另一个根属于区间[]12，，
求2a b -的取值范围．
【例7】 若x 的二次方程242x mx n -+，因为方程()0f x =的解都位于01x <<的范围中，求正整数m n ，的
值．
【巩固】已知m 、n 均为正整数，若关于x 的方程2420x mx n -+=的两个实数根都大于1且小于2，求m 、
n 的值．
【例8】 已知方程20x bx c ++=有两个实数根s t 、，并且22x t <<，
．证明： （1）4c <；
（2）4b c <+．
【巩固】设有整系数二次函数()2f x ax bx c =++，其图像开口方向朝上，且与x 轴有两个交点，分别在
()10-，
、()1+∞，内，且()0f x =的判别式等于5，试求a b c ，，的值．
【例9】 已知方程20ax bx c ++=有两个不同实根，求证：方程202b ax bx c k x a ⎛
⎫++++= ⎪⎝
⎭至少有一个根，
在前一个方程的两根之间．（此处0k ≠）
【巩固】试证：若实数a b c ，，满足条件021a b c
m m m
++=++，这里m 时正数，那么方程20
ax bx c ++=有一个根介于0和1之间．
【例10】 如图所示，抛物线()20y ax bx c a =++≠与x 轴的两个交点分别为()10A -，
和()20B ，，当0y <时，x 的取值范围是 ．
-12
1O x
y
B
A
【巩固】如下右图是抛物线2y ax bx c =++的一部分，其对称轴为直线1x =，若其与x 轴一交点为()30B ，
，则由图象可知，不等式20ax bx c ++>的解集是 ．
31
x
y
O B
【例11】 阅读材料，解答问题．
例：用图象法解一元二次不等式：2230x x -->． 解：设223y x x =--，则y 是x 的二次函数． ∵10a =>，∴抛物线开口向上．
又∵当0y =时，2230x x --=，解得1213x x =-=，． ∴由此得抛物线223y x x =--的大致图象如图所示． 观察函数图象可知：当1x <-或3x >时，0y >．
∴2230x x -->的解集是1x <-或3x >．
（1）观察图象，直接写出一元二次不等式：2230x x --<的解集是____________； （2）仿照上例，用图象法解一元二次不等式：210x ->．
【巩固】阅读下列内容后，解答下列各题：
几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定． 例如：考查代数式()()12x x --的值与0的大小
当1x <时，1020x x -<-<，，∴()()120x x --> 当12x <<时，1020x x ->-<，，∴()()120x x --< 当2x >时，1020x x ->->，，∴()()120x x -->
综上：当12x <<时，()()120x x --<；当1x <或2x >时，()()120x x --> （
2x <- 21x -<<- 13x -<< 34x << 4x > 2x + 1x + 3x - 4x -
()()()()2134x x x x ++--
（2）由上表可知，当x 满足 时，()()()()21340x x x x ++--<； （3）运用你发现的规律，直接写出当x 满足 时，()()()7890x x x -+-<．
【例12】 先阅读理解下面的例题，再按要求解答：
例题：解一元二次不等式290x ->． 解：∵()()2933x x x -=+-，
∴()()330x x +->．
由有理数的乘法法则“两数相乘，同号得正”，有
（1）
30
30
x
x
+>
⎧
⎨
->
⎩
（2）
30
30
x
x
+<
⎧
⎨
-<
⎩
解不等式组（1），得3
x>，
解不等式组（2），得3
x<-，
故()()
330
x x
+->的解集为3
x>或3
x<-，
即一元二次不等式290
x->的解集为3
x>或3
x<-．
问题：求分式不等式51
23
x
x
+
<
-
的解集．
【巩固】小明、小亮、小梅、小花四人共同探究代数式245
x x
-+的值的情况．他们作了如下分工：小明负责找值为1时x的值，小亮负责找值为0时x的值，小梅负责找最小值，小花负责找最大值．几分钟后，各自通报探究的结论，其中错误的是（）
A.小明认为只有当2
x=时，245
x x
-+的值为1.
B.小亮认为找不到实数x，使245
x x
-+的值为0.
C.小梅发现245
x x
-+的值随x的变化而变化，因此认为没有最小值
D.小花发现当x取大于2的实数时，245
x x
-+的值随x的增大而增大，因此认为没有最大值. 【例13】不21
x x a
+<+的解为x m
>，求m的最小值．
1.
已知方程20x ax b ++=的两根均大于2，求a b ，的关系式．
2.
已知方程()210x k x k --+=有两个大于2的实根，求k 的取值范围．
3.
若关于x 的二次方程()2271320x p x p p -++--=的两根α、β满足01α<<2β<<，求实数p 的取值范围．
4.
方程()211300x x a -++=有两实根，且两根都大于5，证明104
a <≤．
课后作业
5.
解不等式：22x x x -<-<．
6. 对于满足04p ≤≤的所有实数p ，求使不等式243x px x p +>+-成立的x 的取值范围．。