北京市通州区2015年中考一模数学试卷

通州区2015年初三模拟考试
数学试卷
一、选择题（每题只有一个正确答案，共10个小题，每小题3分，共30分） 1．2-的绝对值是（ ）
A ．2±
B ．2
C ．
1
2 D ．1
2
-
2．北京市为了缓解交通拥堵问题，大力发展轨道交通.据调查，目前轨道交通日均运送乘客达到1320万人次.数据1320万用科学计数法表示正确的是（ ） A ．113210⨯万 B ．213.210⨯万 C ．31.3210⨯万 D ．41.3210⨯万 3．某几何体的三视图如图所示，这个几何体是（ ） A ．圆柱 B ．三棱柱 C. 长方体
D ．圆锥
4．下列等式一定成立的是（ ）. A .22a a a ⋅=
B .22=÷a a
C .22423a a a +=
D .()33
a a -=-
5．如图，点A 、D 在射线AE 上，直线AB ∥CD ，∠CDE ＝140°， 那么∠A 的度数为（ ） A ．140° B ．60° C ．50°
D ．40° 6．一个多边形的每一个内角均为108°，那么这个多边形是（ ）
A ．七边形
B ．六边形
C ．五边形
D ．四边形
7．某学校组织学生进行社会主义核心价值观的知识竞赛，进入决赛的共有20名学生，他
们的决赛成绩如下表所示：
那么20名学生决赛成绩的众数和中位数分别是（ ）
A ．85, 90
B ．85, 87.5
C ．90, 85
D ．95, 90
8．物理某一实验的电路图如图所示，其中K 1，K 2，K 3 为电路开关，L 1 ，L 2为能正常发光的灯泡.任意闭合开关K 1, K 2, K 3中的两个，那么能让两盏灯泡同时．．发光的概率为（ ） A ．
3
1
B ．
3
2
2
C ．
2
1
D ．
6
1 9．如图，AB 是⊙O 的直径，CD 是弦，且CD ⊥AB ，BC =6，AC =8，那么sin ∠ABD 的值是（ ）
A ．
43 B ．3
4 C ．3
5 D ．45
10．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，D 为斜边AB 的中点，动点P 从B 点出发，沿B →C →A 运动．如图（1）所示，设S △DPB = y ，点P 运动的路程为x ，若y 与x 之间的函数图象如图（2）所示，则△
A ．4 B
．
6 C ．12 D ．14
二、填空题：（每题3分，共18分）
11．分解因式：2a 2－4a +2＝________________．
12．使得分式
3
21
x -有意义的x 的取值范围是 . 13．燃灯佛舍利塔(简称燃灯塔)是通州八景之一，该塔始建于南
北朝北周宇文时期，距今已有1300多年历史.燃灯塔距运河300 米，是通州的象征.某同学想利用相似三角形的有关知识来求 燃灯塔的高度.他先测量出燃灯塔落在地面上的影长为12米， 然后在同一时刻立一根高2米的标杆，测得标杆影长为0.5米， 14．生物学研究表明在8—17岁期间，男女生身高增长速度规律呈现如下图所示，请你观察此图，回答下列问题：男生身高增长速度的巅峰期是 岁，在 岁时男生女生的身高增长速度是一样的.
如图（1）
A
B
15．如图，在扇形OAB 中，∠AOB =110°，半径OA =18，将扇形OAB 沿着过点B 的直线折叠，点O 恰好落在AB 上的点D 处，折痕交OA 于点C ，则AD 的长等于 ．
16．如图，在平面直角坐标系xOy 中，四边形ABOC 是正方形，点A 的坐标为（1，1）.
¼1AA 是以点B 为圆心，BA 为半径的圆弧；¼12A A 是以点O 为圆心，1OA 为半径的圆
弧,¼23A A 是以点C 为圆心，2CA 为半径的圆弧,¼34A A 是以点A 为圆心，3AA 为半径的圆弧,继续以点B 、O 、C 、A 为圆心按上述做法得到的曲线12345AA A A A A ……称为“正方形的渐开线”，那么点5A 的坐标是 ， 点
A 的坐标
是 .
第15题图 第16题图 三、解答题（每题5分，共25分）
17．如图，点O 是直线l 上一点，点A 、B 位于直线l 的两侧，且∠AOB =90°，OA =OB ，分别过A 、B 两点作AC ⊥l ，交直线l 于点C ，BD ⊥l ，交直线l 于点D . 求证：AC =OD .
18()1
201512tan 6012-⎛⎫
--︒-- ⎪⎝⎭
19．解不等式组5134213
3x x x ->-⎧⎪
⎨-≥-⎪⎩，并把不等式组的解集在数轴上表示出来.
20．已知：2450x x +-=，求代数式2
2(1)(1)(2)x x x +---的值．
y
通州区2013年至2014年三期
自行车投放数量统计图（单位:辆）通州区2013年至2014年三期所投放的自行车租赁点百分比统计图
21．如图，一次函数y1＝kx＋b的图象与反比例函数y2＝6
x的图象交于A（m，3），B（－3，
n）两点．
（1）求一次函数的表达式；
（2）观察函数图象，直接写出关于x的不等式6
x>kx＋b
四、解答题（每题5分，共25分）
22．为了把通州区打造成宜居的北京城市副中心，区政府对地下污水排放设施进行改造．某施工队承担铺设地下排污管道任务共2200米，为了减少施工对周边交通环境的影响，施工队进行技术革新，使实际平均每天铺设管道的长度比原计划多10%，结果提前两天完成任务．求原计划平均每天铺设排污管道的长度．
23．已知菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点E，点F在BC的延长线上，且CF=BC，连接DF，点G是DF中点，连接CG.求证：四边形ECGD是矩形.
24．为倡导“1公里步行、3公里单车、5公里汽车（地铁、轻轨）”出行模式, 2013年5月环保公共自行车正式“驶入”通州,通州区分三期投放白绿环保公共自行车.第一期投放租赁点以八通线通州北苑、梨园站为中心，共投放21个租赁点。

截止到2014年年底，全区公共自行车总数已达到10000辆.以下是根据相关数据绘制的通州区内分三期投放环保公共自行车的数量统计图（如图①），以及投放的租赁点统计图（如图②）；
B
图① 图② 根据以上信息解答下列问题：
（1）补全条形统计图和扇形统计图；
（2）请根据以上信息计算，通州区2014年底第三期投入使用的公共自行车租赁点有多少个？
（3）另有调查数据显示：地铁站周边的公共自行车站点的车桩日使用率较高，居住区和办公区附近站点的车桩日使用率较低，如果按全区站点的车桩日平均取车4人次/车桩，每人次骑行距离约3km ，折算成驾车出行每10km 消耗汽油1升，按照“消耗1升汽油=排0.63kg 碳”来计算，2014年底全区约有8000个车桩.根据以上数据,请计算公共自行车租赁这一项通州区一天大约减少碳排放_______________kg
25．如图，△ABC 内接于⊙O ，AB 是直径，⊙O 的切线PC 交BA 的延长线于点P ，OF
∥BC ，交AC 于点E ，交PC 于点F ，连接AF
.
（1）求证：AF 是⊙O 的切线；
（2）已知⊙O 的半径为4，AF=3，求线段AC 的长 .
26．（1）请你根据下面画图要求，在图①中完成画图操作并填空．
如图①，△ABC 中，∠BAC =30°，∠ACB =90°，∠P AM =∠A ． 操作：（1）延长BC ．
（2）将∠P AM 绕点A 逆时针方向旋转60°后，射线AM 交BC 的延长线于点D ．
（3）过点D 作DQ//AB ．
（4）∠P AM 旋转后，射线AP 交DQ 于点G ． （5）连结BG ．
O
F
P
E
C
A
B
结论：
AB
AG
= ． （2）如图②，△ABC 中，AB =AC =1，∠BAC =36°，进行如下操作：将△ABC 绕点A 按逆时针方向旋转α度角，并使各边长变为原来的n 倍（n >1），得到△''AB C . 当点B 、C 、'B 在同一条直线上，且四边形''ABB C 为平行四边形时（如图③），求α和n 的值．
五、解答题（第27题、28题每题7分，第29题8分，共22分）
27．二次函数2
(0)y ax bx c a =++≠的图象与一次函数1y x b =+k 的图象交于)10(，
A 、
B 两点，(1,0)
C 为二次函数图象的顶点.
（1）求二次函数2
(0)y ax bx c a =++≠的表达式；
（2）在所给的平面直角坐标系中画出二次函数2
(0)y ax bx c a =++≠的图象和一次函
数1y x b =+k 的图象；
（3）把（1）中的二次函数2
(0)y ax bx c a =++≠的图象平移后得到新的二次函数
22(0,)y ax bx c m a m =+++≠为常数的图象,.定义新函数f ：
“当自变量x 任取一值时，x 对应的函数值分别为1y 或2y ，如果1y ≠2y ，函数f 的函数值等于1y 、2y 中的较小值;如果1y =2y ，函数f 的函数值等于1y （或2y ）.” 当新函数f 的图象与x 轴有三个交点时,直接写出m 的取值范围.
28．在菱形ABCD 中，∠ABC =60°，E 是对角线AC 上任意一点，F 是线段BC 延长线上
图① 图② 图③ x
图1 图2 图3
一点，且CF =AE ，连接BE 、EF ．
（1）如图1，当E 是线段AC 的中点时，易证BE =EF . （2）如图2，当点E 不是线段AC 的中点，其它条件不变时，请你判断（1）中的结论： .
（填“成立”或“不成立”）
（3）如图3，当点E 是线段AC 延长线上的任意一点，其它条件不变时，（1）中的结论
是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由．
29．如图，在平面直角坐标系中，已知点A (2，3)、B (6，3)，连结AB . 若对于平面内一点P ，线段AB 上都存在点Q ，使得PQ ≤1，则称点P 是线段AB 的“邻近点”． （1）判断点D 719
(,)55
，是否线段AB 的“邻近点” （填“是”或“否”）；
（2）若点H (m ，n )在一次函数1-=x y 的图象上，且是线段AB 的“邻近点”，求m 的取值范围．
（3）若一次函数y x b =+的图象上至少存在一个邻近点，直接写出b 的取值范围.
2015年通州区初三数学中考模拟试卷答案
2015．4
一、选择题：（每题3分，共30分）
1. B
2. C
3. C
4. D.
5. D.
6. C.
7. B.
8.A
9. D 10. B 二、填空题：（每题3分，共18分） 11. 2(a －1)2
；12. 1
2
x ≠
； 13.48m ； 14. 13, 11; 15. 5π; 16.(6,0)，(-2015,1). 三、解答题：（每题5分，共25分）
18.
()1
201512tan 6012-⎛⎫
+-
-︒-- ⎪
⎝⎭
=21--+…………………………………….(4分)
=1- ......................................(5分) 19. 解：5134213
3x x x ->-⎧⎪
⎨-≥-⎪⎩
由①得：2
3
->x …………………………………………..(1分)
由②得：1≤x ………………………………………..(2分)
∴不等式组的解集为：12
3
≤<-x ………………….(3分)
分)
20.解：原式=()()222-1--44x x x +………………………………… 2分
= 222-2-+4-4x x x =2+4-6x x . …………………………………………3分 ∵2
450x x +-=2
45x x ∴+=. …………………………………………4分 ∴原式=2+4-61x x =-. …………………………………………5分
-2
21.解：（1）
点在的图象上
………………………………..(1分)
. ………………………………..(2分) 点
在的图象上
…………………………………..(3分)
解得
. ……………………………………..(4分)
（2）
…………………………..(5分)
四、（每题5分，共25分）
22. 解：设原计划平均每天铺设排污管道x 米，依题意得
2%)101(2200
2200=+-x
x ………………………………..(2分) 解这个方程得：x ＝100（米） …………………………..(3分) 经检验，x ＝100是这个分式方程的解， ………………..(4分) ∴这个方程的解是x ＝100
答：原计划平均每天修绿道100米． ………………..(5分) 23. 证明：（1）CF=BC ，
∴C 点是BF 中点 ……………………..(1分) 点G 是DF 中点∴CG 是△DBF 中位线 ∴CG//BD, CG=
BD 1
2
……..(2分) 四边形A BCD 是菱形
∴AC ⊥BD,DE=BD 1
2
, …………………………………..(3分)
∴∠DEC=90°，CG= DE ………………………………..(4分) CG//BD, ∴四边形 ECGD 是矩形. ………………..(5分)
24．（1）
………………………………………..(2分) （2）
（个）
答：通州区2014年底第三期投入使用的公共自行车站点有198个. ………..(3分) （3）604863.0)800043(10
1=⨯⨯⨯(kg)
答：通州区一天大约为北京减少碳排放6048kg. ……..(5分) 25．（1）证明：连接 O C ， …………………..(1分)
A
B
C
E
P
F O
E
A B G
∵AB 是⊙O 直径，∴∠BCA =90°∵OF ∥BC ∴∠AEO =90°， ∴OF ⊥AC ，∵OC =OA ，∴∠COF =∠AOF ，∴△OCF ≌△OAF ∴∠OAF =∠OCF
∵PC 是切线∴∠OCF =90°， ……………………..(2分) ∴FA ⊥OA ，∴AF 是⊙O 的切线 ……………………..(3分)
（2）∵⊙O 的半径为4，AF =3，FA ⊥OA ，∴OF
∵FA ⊥OA ，OF ⊥AC ，∴AF ·OA = OF ·EA ， ………………………..(4分) ∴3×4= 5×EA ，解得AE =125
， AC =2AE =245
………………………..(5分)
五、（27、28题7分，29题8分，共22分） 27. 解：（1）设抛物线解析式为2
)1(-=x a y ，
由抛物线过点)10(，A ，可得122+-=x x y ………..(2分) （2）如图：
………………………………………..(5分) （3）-4<m <0 ………………………………………..(7分)
28. （2）结论：成立. ………………………..(1分) （3）结论：成立. ………………………..(2分)
1
证明：过点E 作EG ∥BC 交AB 延长线于点G ，……………..(3分)
∵四边形ABCD 为菱形，
∴AB =BC ，
又∵∠ABC =60°，∴△ABC 是等边三角形，
∴AB =AC ，∠ACB =60°， …………………………..(4分)
又∵EG ∥BC ，
∴∠AGE =∠ABC =60°，
又∵∠BAC =60°，
∴△AGE 是等边三角形，
∴AG =AE=GE ，
∴BG =CE ， …………………………..(5分)
又∵CF =AE ，
∴GE =CF ， ………………………………………..(6分)
又∵∠BGE =∠ECF =60°，∴△BGE ≌△ECF （SAS ）， ∴BE =EF ． …………..(7分)
29.（1）点D 是线段AB 的“邻近点”； …………………..(2分)
（2）∵点H （m ，n ）是线段AB 的“邻近点”，点H （m ，n ）在直线y ＝x －1上，∴ n ＝m －1; …………………..(3分)
直线y ＝x －1与线段AB 交于（4，3）
① 当m ≥4时，有n ＝m －1≥3，
又AB ∥x 轴，∴ 此时点H （m ，n ）到线段AB 的距离是n －3，
∴0≤n －3≤1，∴4 ≤m ≤5，…………………………………..(4分)
② 当m ≤4时，有n ＝m －1 ∴n ≤3，
又AB ∥x 轴， ∴ 此时点H （m ，n ）到线段AB 的距离是3－n ，
∴0≤3－n ≤1， ∴ 3≤m ≤4， …………………………………..(5分) 综上所述，3≤m ≤5; ………………………………………..(6分)
(3) 31b --
≤≤+………………………………………..(8分)。